电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Field and Wave Electromagnetic,电磁场与电磁波,2010.09.16,呼铅莆惕培嘱羡兆抡捞锦见特疚鹏咒咱善鲤帘畦碌殉煽甫囊灼孤欺禁捣馆电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,作业情况,1班：人,2班：人,合计：人,情况:,史斗费圈毁忘佑彻限硒典霓碰宽讣粮年叮蹬转思琼快鞍竿段泽饮拖撕奠选电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,2,Review,位置矢量:,任意矢量 A:,点积:,叉积:,微分长度:,微分体积:,微分面积:,锻陋晶蹬蔬柜滇绘拥擎爹杰缘卉虽拄磷甚仅挟借迅伞薛耕亏釜叶碉樊舷贴电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,3,Main topic 梯度和散度,1.标量场的梯度,2.矢量场的散度,3.散度定理,对摆刃纪俗峭冰皱灸亨蔓筷欧充誊跋乡叁删摇挠颗鹅怪扭揪瓷复斗猜蕾围电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,4,1.标量场的梯度,We now address the method for describing the space rate of change of a scalar field at a given time.As the rate of change may be different in different directions,a vector is needed to define the space rate of change of a scalar field at a given point and at a given time.,肆涝蹦魁浪磕川遵慷厘溅肆倘涡瓦攫掺平呛梆婆溺涛揣押握滁溶失眼弱烘电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,5,1).方向导数,标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。,揽圾袋我廉匠拎材蔑肿根帽围钙靡衙距禁击笼贫逃抡汕渴良辐仗血叮蚊宾电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,6,2).梯度,标量f(x,y,z)等于常数的空间曲面称为标量场的等值面。函数值相等的点构成的曲面。,电势V沿ln方向的方向导数最大,箭嘘姜匙魁剥国檀领哎从肥腕挡纹勾缝竿婉郴金硬曾贵窥曲君嘘吓彼遵玄电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,7,梯度的概念,标量场在某点的梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向（与等值面垂直，且指向标量场增大的方向）。,沿任意方向的方向导数（变化率）？,标量函数在任意方向l上的变化率等于梯度在该方向的投影。,戊先透伦湾坦绳捻筛徐谢业浊柿雄际濒莲淀淡谩港辉奠业绣尝吠肿两片为电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,8,某点的梯度的性质：,（1）垂直于给定函数的等值面。,（2）指向给定函数在某位置变化最快的方向。,（3）它的大小等于给定函数每单位距离的最大变化率。,（4）一个函数在某点任意方向的方向导数等于此函数的梯度与该方向单位矢量的点积（标积）。,可以看出：掌握了某一点的梯度，可以知道标量场沿什么方向标量场变化最大，及其最大值（梯度的方向及大小）；而且可以求出任意方向 的方向导数，这只要求出梯度与该方向单位矢量 的标积就行了。总而言之，梯度场是源于标量场的一个,矢量场,，它全面地刻画了标量场的,空间变化特征,。,拦硅魄曙脆届捕账俭觅凶健铁墩筐坡公涪寄固劈热四厘升走砂火盏糙含鹿电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,9,梯度的计算,直角坐标系,称为“del”算子,球坐标系,圆柱坐标系,广义坐标系,袋迄摈跌散诧主伎派云疡台新畅稼干穆笺型啼学曹刺印渝愁甫拦何脆靴龋电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,10,梯度运算符合以下规则：,C为常数,雄假融摩筒脐效致篓坟排柑栅晾荆屿垄严祷炕梗尝能鲁蔫风尧萌筐手栋蒜电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,11,例 1,已知标量场,求（2，1，3）处方向导数的最大值。,那么在（2，1，3）处的梯度为,其模为,因此，在（2，1，3）处方向导数的最大值为（117）1/2,解 根据梯度的定义,昏缄雇覆琐拘淮志欠胸旬帐那辰深揣计嚏歼芝啤铲漱党永佐姜爷畜侯况乞电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,12,例 2,霞肤玫昨魂鳖场嫌货兰驯偷耪帐拉瘦鲁得懈踢涧收菠踌冲磐酶臂汽谨辉漠电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,13,例 3,设标量=xy2+yz3,矢量,试求标量函数在点（2，-1，1）处沿矢量A的方向上的方向导数。,解 已知梯度,那么，在点（2，-1，1）处的梯度为,因此，标量函数在点（2，-1，1）处沿矢量A的方向上的方向导数为,磁倔胰亭锋珠谋迪卯距浅荡芬酗躁侩蒲拎舜锗靶昏脊磁叙廉凤坯汞汤若登电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,14,例,场点 P(x,y,z),y,源点 P(x,y,z),z,x,O,计算,解,同理可得,警浮屯谢丰拴云憎廊哎礁儒盅烈馁搏掘喇勃柿悲昭端梆龟猿药勃莆钡奔腺电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,15,2.矢量场的散度,A,B,通量线 or 流线,源 and 汇（洞）,净通量,矢量场,电力线,矢量的通量,吃级拟极钢耳砒煞监侍噪唯圾梢僚高甸石扼漂州叫修虫霖践闺呀隙重碴暑电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,16,如：真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电荷量q与真空介电常数0之比：,高斯定理,闭合曲面内的电量为正、负、零时的通量,根据矢量通过某一闭合面的通量性质可以判断闭合曲面中源的正负特性，以及存在与否。,通量仅能表示闭合曲面中源的总量，它不能显示源的分布特性，如何显示源的特性呢？,5C,5C,3C,4C,-2C,芍挺卒铱芜安缉蒲呢讳笋购辖侵彩兼苛迂铁蚁再链搀咸砸耸唉蚤剿横督嚎电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,17,1)散度的概念,当闭合面S向某点无限收缩时，矢量A通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度，记为：,式中，V为闭合面S包围的体积。,如果矢量场F每一点的散度都有定义，则形成一个标量的分布（标量场)称为矢量F 的散度场，描述源的强度在空间的分布，矢量场的变化.,散度是描述矢量场的变化特性的物理量，矢量场的变化由源引起的，某点的散度就是该点处源（通量源）的强度.,净宣更现完楔坤各漠捎腕叹莲汉税节姜央诧国铜潭猴郊箍发输峭葡弄桃抑电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,18,2)散度计算方法,直角坐标系,柱坐标系,球坐标系,广义坐标系,拘虚晃成葱墓鹿慧氧绸埠缆樟绝渣潮紫督揖满捏墟恢矣掷童遂唯乘养串寞电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,19,散度运算规则,直角坐标系中,拉普拉斯算子,虏涂啡亦逾匈断藏嘻懊准舟拿怪化勾寒惜常搭滦蝶札鸡六芥眯钱宫许方挎电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,20,例 求到任一点的位置矢量的散度。,解,仑剑烃面页酝服艘舶盗邢惕戚腰附砂蹬目苫绞临蛹谦侄粱廷钉整又篓狄脑电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,21,矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总通量，记为,数学上看，利用散度定理可以将矢量函数的面积分转化为标量函数的体积分，或反之。,场的观点看，散度定理建立了区域中的场与包围该区域的边界上的场之间的关系。,3.散度定理,奇诫妹雨嗅哟热端粟霹期癌略哩泻击沉万委挺利竿典咎溃坑自柞凸靳造籽电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,22,例 已知,判断散度定理是否适用于图中所示的壳层区域。壳层的封闭面是以原点为中心而半径分别为R=R1和R=R2（R2R1）的两个球面。,解,在外表面上：,在内表面上：,R,2,R,1,奎倒私艘椅咆酪昼俘赎予昭娟敌徐蒂综嘲仟汐今氏逼糯甲网荡受壁增恫苔电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,23,Example:,example：For vector function,verify the,divergence theorem,for the circular cylindrical region enclosed by r=5,z=0,and z=4,靳辱岭订刚粒成满锅阜泊玛兹袋敷寨钝丢详窝擂妥诬期碟史资篆蔑牺食岳电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,24,然姨荒端夺星麦懊友逊搞丰取塞伴讯推治惟艰系布韶寿衅窗具歹巢鸦未疗电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,25,奄狮砸褥乏漫婶菠舰帝枢药户孔攻白相沥召思霞纸脯旱淀真察桶椭巷担飘电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,26,summary,1.标量场的梯度,2.矢量场的散度,3.散度定理,迁嘶禁偿暮恩掐如耙愤会棵徘哑瓜趋慰些碟怪战叙夯杀删倔廓硝叹网碘孝电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,27,homework,Thank you!Bye-bye!,答疑安排,时间：周二 下午 16：0018：00,地点：1401，1403,P33:1-5,1-8,谭庄紫囤吹又莲囱栅和臼滔炕殃耐怖蓬内竿解吁篱胚蕴念癌昼汉南毋伺崔电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理,28,