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,第,28,章：锐角三角函数,人教版,九年级下册,28.1,锐角三角函数（,1,）,意大利比萨斜塔,1350,年落成时就已倾斜，其塔顶中心点偏离垂直中心点,2.1 m,1972,年比萨地区发生地震，这座高,54.5 m,的斜塔在大幅度摇摆后仍魏然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线,5.2 m,，而且还在继续倾斜，有倒塌的危险当地从,1990,年对斜塔进行维修纠偏，,2001,年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心的距离减少了,43.8 cm,导入新课,问题,1,我们用“塔身中心线与垂直中心线所成的角,”来描述比萨斜塔的程度，根据已测量的数据你能求角,的度数吗？,导入新课,在上述问题中，可以抽象出什么几何图形？上述问题可以抽象成什么数学问题？,答：这个问题可以抽象出一个直角三角形，实际是“已知直角三角形的一条直角边和斜边，求这条直角边所对锐角的度数”,导入新课,对直角三角形的边角关系，已经研究了什么？还可以研究什么？,答：我们前面研究了直角三角形中角与角之间的关系（两锐角互余）、三边之间的关系（勾股定理），还可以研究边与角之间的关系,导入新课,从实际需要看，要描述比萨斜塔的倾斜程度，我们需要研究直角三角形中边与角之间的关系：从数学内部看，我们已经研究了直角三角形的边与边的关系、角与角的关系，边与角之间有什么关系呢？本节课我们一起来学习“锐角三角函数”,锐角的正弦、余弦、正切,导入新课,我们先研究有一个锐角为,30,的直角三角形问题,问题,2,为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌现测得斜坡与水平面所成角的度数是,30,，为使出水口的高度为,35 m,，那么需要准备多长的水管？,新课讲解,你能用数学语言来表达这个实际问题吗？如何解决这个问题,答：把上述实际问题抽象成数学问题为：在,Rt,ABC,中，,C,=90,，,A,=30,，,BC,=35 m,，求,AB,新课讲解,依据“直角三角形中，,30,角所对的直角边是斜边的一半”得到答案：“需要准备,70 m,长的水管”,在上面的问题中，如果使出水口的高度为,50 m,，那么需要准备多长的水管？,答：,依据“直角三角形中，,30,角所对的直角边是斜边的一半”得到答案：“需要准备,100 m,长的水管”,新课讲解,对于有一个锐角为,30,的任意直角三角形，,30,角的对边与斜边有怎样的数量关系？,答：,在直角三角形中，如果一个锐角等于,30,，那么不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于,新课讲解,问题,3,在直角三角形中，如果锐角的大小发生了改变，其对边与斜边的比值还是 吗？例如，如图，任意画一个,Rt,ABC,，使,C,=90,，,A,=45,，计算,A,的对边与斜边的比,由此你能得出什么结论？,新课讲解,答：,在,Rt,ABC,中，,C,=90,，因为,A,=45,，所以,Rt,ABC,是等腰直角三角形,由勾股定理，得,AB,2,=,AC,2,+,BC,2,=2,BC,2,， ,因此 ,结论：,在一个直角三角形中，当一个锐角等于,45,时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对角与斜边的比都等于 ,新课讲解,问题,4,由上述两个结论可知，在,Rt,ABC,中，,C,=90,，当,A,=30,时，,A,的对边与斜边的比都等于 ，它是一个固定值；当,A,=45,时，,A,的对边与斜边的比都等于 ，它也是一个固定值由此你能猜想出什么一般的结论呢？,新课讲解,答：,在,Rt,ABC,中，当锐角,A,的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，,A,的对边与斜边的比都是一个固定值,问题,5,如图，任意画,Rt,ABC,和,Rt,ABC,，使得,C,=,C,=90,，,A,=,A,=,，那么,与,有什么关系？你能解释吗？,新课讲解,解：,=,；因为,C,=,C,=90,，,A,=,A,=,，所以,Rt,ABC,Rt,ABC,所以 ，即 ,新课讲解,在直角三角形中，当锐角,A,的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，它的对边与斜边的比都是一个固定值这个固定值随锐角,A,的度数的变化而变化，由此我们给这个“固定值”以专门名称,如图，在,Rt,ABC,中，,C,=90,，我们把锐角,A,的对边与斜边的比叫做,A,的,正弦,（,sine,），记作,sin,A,，即,新课讲解,sin,A,=,当,A,=30,时，,A,的正弦为多少？,A,=45,呢？,答：,sin 30=,，,sin 45=,注意：正弦的三种表示方式：,sin,A,（省去角的符号），,sin 30,，,sin,DEF,新课讲解,问题,6,如图，在,Rt,ABC,中，,C,=90,，当,A,确定时，,A,的对边与斜边的比随之确定此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？为什么？,新课讲解,所以 ，即 ；,，即 ,答：,当,A,确定时，,A,的邻边与斜边的比、,A,的对边与邻边的比都是确定的,证明：,如图，因为,C,=,C,=90,，,A,=,A,=,，所以,Rt,ABC,Rt,ABC,新课讲解,我们把,A,的邻边与斜边的比叫做,A,的,余弦,（,cosine,），记作,cos,A,，即,cos,A,=,；,把,A,的对边与邻边的比叫做,A,的,正切,（,tangent,），记作,tan,A,，即,tan,A,=,A,的正弦、余弦、正切都是,A,的,锐角三角函数,（,trigonometric function of acute angle,）,新课讲解,例,1,如图，在,Rt,ABC,中，,C,=90,，求,sin,A,和,sin,B,的值,分析：求,sin,A,就是要确定,A,的对边与斜边的比；求,sin,B,就是要确定,B,的对边与斜边的比,新课讲解,解：,如图（,1,），在,Rt,ABC,中，由勾股定理，得,因此 ，,如图（,2,），在,Rt,ABC,中，由勾股定理，得,因此,，,新课讲解,例,2,如图，在,Rt,ABC,中，,C,=90,，,AB,=10,，,BC,=6,，求,sin,A,，,cos,A,，,tan,A,的值,解：,由勾股定理，得,因此 ， ，,新课讲解,1,在,ABC,中，若三边,BC,、,CA,、,AB,满足,BC,CA,AB,=51213,，则,cos,B,=,（,）,A,B,C,D,C,巩固练习,2,在,Rt,ABC,中，,C,=90,，,a,=3,，,c,=5,，求,sin,A,和,tan,A,的值,解：在,Rt,ABC,中，,a,=3,，,c,=5,，, ,sin,A,=,，,tan,A,=,巩固练习,1,正弦、余弦、正切的定义,如图，在,Rt,ABC,中，,C,=90,，,A,，,B,，,C,的对边分别为,a,，,b,，,c,（,1,）正弦：锐角,A,的对边与斜边的比叫做,A,的正弦，记作,sin,A,，即,sin,A,=,课堂小结,（,2,）余弦：锐角,A,的邻边与斜边的比叫做,A,的余弦，记作,cos,A,，即,cos,A,=,；,（,3,）正切：锐角,A,的对边与邻边的比叫做,A,的正切，记作,tan,A,，即,tan,A,=,2,锐角三角函数的定义,A,的正弦、余弦、正切都是,A,的锐角三角函数，即,sin,A,，,cos,A,，,tan,A,都叫做锐角,A,的三角函数,课堂小结,
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