教育专题：第二章第4讲函数的单调性与最值

考纲要求,考纲研读,1.,会求一些简单函数的值域,2,理解函数的单调性、最大值、,最小值及其几何意义,.,利用函数单调性、图象等方法求,一些简单函数的值域或最值；或,以最值为载体求参数的范围，并,能解决实际生活中的一些优化,问题,.,第,4,讲,函数的单调性与最值,1,函数的单调性的定义,设函数,y,f,(,x,),的定义域为,A,，区间,I,A,，如果对于区间,I,内,的任意两个值,x,1,，,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,_,，那么就说,y,f,(,x,),在区间,I,上是单调增函数，,I,称为,y,f,(,x,),的,_,；,如果对于区间,I,内的任意两个值,x,1,，,x,2,，当,x,1,f,(,x,2,),单调减区间,f,(,x,1,)0,f,(,x,),1,函数,y,x,2,6,x,的减区间是,(,),D,A,(,，,2,C,3,，,),B,2,，,),D,(,，,3,2,函数,y,(2,k,1),x,b,在实数集上是增函数，则,(,),A,1,2,B,k,0,D,b,0,3,已知函数,f,(,x,),的值域是,2,3,，则函数,f,(,x,2),的值域为,(,),D,A,4,1,C,4,10,5,B,0,5,D,2,3,解析：,f,(,x,2),的图象是把,f,(,x,),的图象向右平移,2,个单位因此,f,(,x,2),的值域不变,单调减区间是,_,0,，,),6,4,若函数,f,(,x,),(,m,1),x,2,mx,3(,x,R,),是偶函数，则,f,(,x,),的,5,(2012,年安徽,),若函数,f,(,x,),|2,x,a,|,的单调递增区间是,3,，,),，则,a,_.,例,1,：,已知,函数,f,(,x,),x,2,(,x,0,，,a,R,),考点,1,利用定义判断函数的单调性,a,x,(1),判断函数,f,(,x,),的奇偶性；,(2),若,f,(,x,),在区间,2,，,),是增函数，求实数,a,的取值范围,当,a,0,时，,f,(,x,),既不是奇函数也不是偶函,数,解：,(1),当,a,0,时，,f,(,x,),x,2,为偶函数,【,互动探究,】,2,x,x,1,在区间,(0,1),上,1,试用函数单调性的定义判断函数,f,(,x,),的单调性,考点,2,利用导数判断函数的单调性,函数，在区间,(6,，,),上为增函数，试求实数,a,的取值范围,解题思路：,本题可用分离参数的,方法结合不等式恒成立问题,求解，也可求出整个函数的递增,(,减,),区间，再用所给区间是所求区,间的子区间的关系求解,解析：,函数,f,(,x,),的导数为,f,(,x,),x,2,ax,a,1.,令,f,(,x,),0,，解得,x,1,或,x,a,1.,当,a,1,1,即,a,2,时，函数,f,(,x,),在,(1,，,),上为增函数，不合题意,当,a,1,1,，即,a,2,时，函数,f,(,x,),在,(,，,1),上为增函数，在,(1,，,a,1),内为减函数，在,(,a,1,，,),上为增函数,依题意应有：当,x,(1,4),时，,f,(,x,),0.,当,x,(6,，,),时，,f,(,x,),0.,所以,4,a,1,6,，解得,5,a,7,，,所以,a,的取值范围是,5,7,【,互动探究,】,mf,(,x,)0,恒成立，则实数,m,的取值范围是,_.,m,0,得,0,x,4,，又由,u,4,x,x,2,(,x,2),2,4,知函数,u,在,(2,4),上是减函数，根据复合函数的单调性知函数,f,(,x,),log,2,(4,x,x,2,),的单调递减区间是,(2,4),故选,C.,答案：,C,【,失误与防范,】,易忽略,x,需满足,4,x,x,2,0,这个条件,求函数值域的常用方法有：配方法、分离变量法、单调性法、,图象法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，,都必须考虑函数的定义域,1,在研究函数的单调性时，对单调区间的表述要准确如函,有的函数既无最大值也无最小值，如,y,.,2,并不是,所有的函数都有最值，有的函数只有最大值而无最,小值，如,y,x,2,；有的函数只有最小值而无最大值，如,y,x,2,；,1,x,