材料力学 第9章 压杆稳定

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,版权所有,2000,2006,(,c),华中科技大学力学系,华中科技大学力学系,材 料 力 学,Copyright,2000,2006,(,c) Dept. Mech., HUST , China,Tel:,027-87543837,Mechanics of Materials,1,第九章 压杆稳定,9.1,引言,9.2,细长压杆的欧拉,(Euler),临界载荷,9.3,中,、小柔度压杆的临界应力,9.4,压杆的稳定条件,9.5,压杆的合理设计,9.6,用能量法求压杆的临界载荷,2,9.1,引言,稳定性 稳定平衡 不稳定平衡 随遇平衡 结构屈曲,稳定性是指结构或者物体保持或者恢复原有平衡状态的能力。,稳定平衡,不稳定平衡,刚球的（不）稳定平衡、随遇平衡,3,9.1,引言,刚杆的稳定平衡和不稳定平衡,A,B,F,（,a),A,B,F,（,b),当给刚杆一横向扰动时：,力,F,产生的力偶为：,弹簧力为：,其产生的方向力偶为：,如果,不稳定平衡,如果,稳定平衡,如果,两种状态下都可以平衡,刚杆的平衡状态跟力,F,的大小联系在一起。,4,9.1,引言,F,F,Q,F=,F,cr,（可变形）细长压杆的稳定性问题,如图所示两端铰支的细长杆受轴向压,力作用。当轴向压力超过一定数值时，,压杆的平衡由稳定向不稳定转变，这,个载荷称为临界载荷,F,cr,。,F,小于,F,cr,时，稳定平衡。,给杆件一个横向扰动，杆件仍能恢复,原来的平衡状态。（轴向平衡）,F,大于等于,F,cr,时，压杆处于不稳定平衡。,杆件既能在轴线上达到平衡，又能,在弯曲状态下达到平衡（,F=,F,cr,),。,给杆件一个横向扰动，杆件由轴向平衡,转向弯曲状态，从而造成失稳。,5,9.1,引言,q,F,当轴向压力达到或者超过压杆的临界载荷时，一旦受到横向的微,小扰动，压杆将由轴向的稳定平衡状态转为不稳定的平衡，产生,失稳现象，压杆发生显著的弯曲变形甚至破坏,这种失效方式称为,稳定性失效，或屈曲失效。（,buckling),其它形式的屈曲失效,承受面内压力的板件结构；受外压作用的圆管；受横力作用的狭长,矩形截面梁，等。,6,9.2,细长压杆的欧拉,(Euler),临界载荷,A,B,y,C,y,x,l,F,x,I,min,=b,3,h/12 (hb),一、两端球铰细长压杆的欧拉临界载荷,如图两端为球铰的细长压杆承受轴力,F,的作用。,假设力,F,已经达到临界值,F,cr,，且压杆处于弯曲平衡状态，现在,看此时杆的挠曲线满足什么条件。,考察,C,点有：,因为是球铰，杆在抗弯能力最弱的纵向平面内弯曲。,即上式中的,I,应取最小值,I,min,。比如说对于矩形截面梁有：,令：,7,9.2,细长压杆的欧拉,(Euler),临界载荷,则压杆的平衡微分方程可化为：,齐次二阶常微分方程。,上式通解为：,A,，,B,为待定常数。,由球铰的位移边界条件有：,代入通解：,方程有非零解的条件是：,即：,8,9.2,细长压杆的欧拉,(Euler),临界载荷,上式的解为：,又：,所以有：,最小值即为临界载荷：,两端球铰细长压杆的欧拉临界载荷,对应的压杆的弯曲线为：,9,y,x,y,x,x,y,9.2,细长压杆的欧拉,(Euler),临界载荷,两端球铰的前三阶,buckling mode,10,9.2,细长压杆的欧拉,(Euler),临界载荷,二、一端固定，一端球铰细长压杆的临界载荷,A,C,B,x,F,F,By,y,x,y,如图一端固定一端球铰的细长压杆，设在临界,载荷,F,作用下处于微弯平衡，考察点,(,x,y,),有：,代入挠曲线微分方程有：,令：,有：,其通解为：,11,9.2,细长压杆的欧拉,(Euler),临界载荷,所以有：,由位移边界条件有：,A,C,B,x,F,F,By,y,x,y,分别代入上面两式：,12,9.2,细长压杆的欧拉,(Euler),临界载荷,A,，,B,，,F,By,有非零解的条件是：,即：,由图解法有：,代入：,有：,13,9.2,细长压杆的欧拉,(Euler),临界载荷,三、其它杆端约束下细长压杆的临界载荷,A,C,B,x,F,F,By,y,x,y,y,x,临界载荷的拐点确定法,如图一端固定，一端铰支的细长压杆，其,拐点位于离铰支座,0.7l,处。,拐点处弯矩为零，所以可看成,长度为,0.7l,的两端球铰的情况。,14,9.2,细长压杆的欧拉,(Euler),临界载荷,B,B,C,A,F,cr,F,cr,C,D,F,cr,类似的，一端自由一端固定的细长压杆的临界载荷为：,一端滑动固定一端固定的细长压杆,的临界载荷为：,不同杆端约束下细长压杆的临界载,荷可统一写为：,15,9.2,细长压杆的欧拉,(Euler),临界载荷,表示杆端约束情况，称为长度系数。,称为相当长度。,固定端,-,自由端,球铰,-,球铰,滑动固定端,-,固定端,球铰,-,固定端,16,由欧拉临界压力公式,可得欧拉临界应力公式,:,其中,A,为压杆的横截面面积,; i,为横截面的最小惯性半径，即,比如说矩形截面的最小惯性半径为：,令：,则有欧拉临界应力为：,压杆的柔度或长细比。,柔度是一个无量纲量，它综合反映了压杆长度，约束条件，截面形状尺寸对临界应力的影响。柔度越大，临界应力就越小,杆件越容易失稳。,17,9.3,中、小柔度压杆的临界应力,一般来说，压杆在不同纵向平面内具有不同的柔度值，,压杆的临界应力应该按最大柔度值来计算。,欧拉临界应力公式适用于压应力小于比例极限 的场合。,即：,令：,当：,称为大柔度杆（或者细长杆）,所以欧拉临界应力公式适用于大柔度杆。,与材料性质有关。,对于,Q235,钢：,E=200Gpa,所以对于,Q235,钢制成的压杆，只有柔度,大于,100,时，才能应用欧拉临界应力公式。,18,9.3,中、小柔度压杆的临界应力,时称为中柔度压杆或中长压杆。,此时中长压杆的临界应力超过了比例极限，因此欧拉公式不适用。,一般由直线或者抛物线经验公式计算。,中长压杆的临界应力的直线经验计算公式：,适用范围：,令：,则当：,时，,压杆称为中柔度压杆。,时称为短粗杆。,短粗杆只有强度问题，没有稳定性问题。,19,A,B,C,D,临界应力总图,中柔度杆的临界应力也可用抛物线公式计算：,9.3,中、小柔度压杆的临界应力,20,a,b,y,x,F,F,l,F,F,x,z,l,1,例：由,Q235,钢制成的矩形截面压杆，两端用销钉支承。,求临界压力。,解：不同纵向面内柔度不同，在,XOY,平面内：,21,在,XOZ,平面内：,压杆的：,所以：,大柔度压杆。,22,