固体物理--声子：晶格振动 4.2 基元中含有两个原子的情况

4,.,2,一维双原子链,*,第,4,章 声子（,I,）：晶格振动,固体,物理,导论,1,基元含有两个或多个原子的色散分支,在基元含有,2,个原子的晶体中，对于某一给定传播方向上的每一种极化模式，其色散关系将演化为两个分支，分别称为,声学支,和,光学支,。于是就有纵声学,(LA),模式和横声学,(TA),模式，以及纵光学,(LO),模式和横声学,(TO),模式,2,如果基元中含有,p,个原子，则色散关系应含有,3,p,支，,3,个声学支和,3,p,-3,个光学支,锗和,KBr,的基元都含有两个原子，有,6,分支，分别为一,LA,支、一,LO,支、两,TA,支和两,TO,支,3,分支的计算方法源于自由度数目的计算。例如，若每个原胞有,p,个原子，对于,N,原胞晶体，共有,pN,个原子；每原子,3,个自由度，于是晶体共有,3,pN,个自由度。在第一布里渊区内，单一分支允许的,K,值数目是,N,个。因此,LA,支和两,TA,支共有,3,N,个模式，从而占去了总自由度数目中的,3,N,个，余下的,(3,p,-3),N,个自由度则属于光学支,4,一维双原子链的运动方程,原子链的运动方程,5,上述方程具有波动形式的解,把上式代入运动方程，得,即,6,要使上述关于,u,、,v,的齐次方程具有非平庸解，则必须要求,从上式解出,w,2,，得,即,7,其中利用了下列函数的泰勒展开式,在长波极限（,Ka,0,）下,光学支,声学支,8,其中已假定,M,1,M,2,在第一布里渊区的边界,(,K,=,p,/,a,),处,(,光学支,),(,声学支,),9,两支格波的特征,把 代入有关,u,、,v,的齐次方程，可得到,对于光学支，在长波极限,(,Ka,0,),下,10,对于光学支，在长波极限下两个原子反向运动，但它们的质心固定不动。如果两个原子带异号电荷，就可以用光波电场来激发这种类型的运动，因此这一支称为光学支,11,对于声学支，在长波极限,(,Ka,0,),下,对于声学支，在长波极限 下，两个原子（以及它们的质心）一起运动，振幅和相位都相同,12,对于某些频率，将不存在类波解，这些频率介于 和 之间。这是多原子晶格中弹性波的一个特性,在第一布里渊区的边界处有一根频率空隙,