chp9概率模型

第九章 概率模型,9.1,传送系统的效率,9.2,报童的诀窍,9.3,随机存贮策略,9.4,轧钢中的浪费,9.5,随机人口模型,确定性因素和随机性因素,随机因素可以忽略,随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现,随机因素影响必须考虑,概率模型,统计回归模型,马氏链模型,随机模型,确定性模型,随机性模型,传送带,挂钩,产品,工作台,工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走，若工作台数固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多。,背景,在生产进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高,传送带效率,的途径,9.1,传送系统的效率,问题分析,进入稳态后为保证生产系统的周期性运转，应假定工人们的,生产周期相同,，即每人作完一件产品后，要么恰有空钩经过他的工作台，使他可将产品挂上运走，要么没有空钩经过，迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。,可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的,比例,，作为衡量传送带效率的数量指标。,工人们生产周期虽然相同，但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致，可以认为是随机的，并且在一个周期内,任一时刻的可能性相同,。,模型假设,1）,n,个工作台,均匀排列，,n,个工人生产相互独立，生产周期是常数；,2,）生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是,等可能,的；,3,）一周期内,m,个均匀排列的挂钩,通过每一工作台的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；,4,）每人在生产完一件产品时都,能且只能触到一只挂钩,，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走；若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统。,模型建立,定义,传送带效率,为一周期内运走的产品数（记作,s,待定）与生产总数,n,（,已知）之比，记作,D=s,/,n,若求出一周期内每只挂钩非空的概率,p,，,则,s=mp,为确定,s,，,从,工人,考虑还是从,挂钩,考虑，哪个方便？,设每只挂钩为空的概率为,q,，,则,p,=1-,q,如何求概率,设每只挂钩不被一工人触到的概率为,r,，,则,q=,r,n,设每只挂钩被一工人触到的概率为,u,，,则,r,=1-,u,u,=1/,m,p,=1-(1-1/,m,),n,D,=,m,1-(1-1/,m,),n,/,n,一周期内有,m,个挂钩通过每一工作台的上方,模型解释,若(,一周期运行的,),挂钩数,m,远大于工作台数,n,则,传送带效率,(,一周期内运走产品数与生产总数之比）,定义,E,=1-,D,(,一周期内未运走产品数与生产总数之比）,提高效率的途径：,增加,m,习题,1,当,n,远,大于,1,时,E,n,/2,m,E,与,n,成正比，与,m,成反比,若,n,=10,m,=40,D,87.5%,(89.4%),9.2,报童的诀窍,问题,报童售报：,a,(,零售价,),b,(,购进价,),c,(,退回价,),售出一份赚,a-b,；,退回一份赔,b-c,每天购进多少份可使收入最大？,分析,购进太多,卖不完退回赔钱,购进太少,不够销售赚钱少,应根据需求确定购进量,每天需求量是随机的,优化问题的目标函数应是长期的日平均收入,每天收入是随机的,存在一个合适的购进量,等于每天收入的期望,建模,设每天购进,n,份，,日平均收入为,G,(,n,),调查需求量的随机规律,每天需求量为,r,的概率,f,(,r,),r,=0,1,2,准备,求,n,使,G,(,n,),最大,已知售出一份赚,a-b,；,退回一份赔,b-c,求解,将,r,视为连续变量,结果解释,n,P,1,P,2,取,n,使,a-b,售出一份赚的钱,b-c,退回一份赔的钱,0,r,p,9.3,随机存贮策略,问题,以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。,（,s,S,),存贮策略,制订下界,s,上界,S,，,当周末库存小于,s,时订货，使下周初的库存达到,S,;,否则，不订货。,考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订,（,s,S,),存贮策略,使(,平均意义下,),总费用最小,模型假设,每次订货费,c,0,每件商品购进价,c,1,每件商品一周贮存费,c,2,每件商品缺货损失费,c,3,(,c,1,c,3,),每周销售量,r,随机、连续，概率密度,p,(,r,),周末库存量,x,订货量,u,周初库存量,x+u,每周贮存量按,x+u-r,计,建模与求解,（,s,S,),存贮策略,确定,(,s,S,),使目标函数,每周总费用的平均值最小,平均费用,订货费,c,0,购进价,c,1,贮存费,c,2,缺货费,c,3,销售量,r,s,订货点，,S,订货值,建模与求解,1,）设,xs,求,u,使,J,(,u,),最小，确定,S,建模与求解,S,P,1,P,2,0,r,p,2,）对库存,x,，,确定订货点,s,若订货,u,u+x=S,总费用为,若不订货,u,=0,总费用为,订货点,s,是,的最小正根,建模与求解,不订货,最小正根的,图解法,J,(,u,),在,u+x=S,处,达到最小,x,I,(,x,),0,S,I,(,S,),s,I,(,S,),+c,0,I,(,x,),在,x=S,处,达到最小值,I,(,S,),I,(,x,),图形,建模与求解,J,(,u,),与,I,(,x,),相似,I,(,S,),的最小正根,s,9.4,轧钢中的浪费,轧制钢材两道工序,粗轧,(,热轧,),形成钢材的雏形,精轧,(,冷轧,),得到钢材规定的长度,粗轧,钢材长度正态分布,均值可以调整,方差由设备精度确定,粗轧钢材长度大于规定,切掉多余 部分,粗轧钢材长度小于规定,整根报废,随机因素影响,精轧,问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小,背景,分析,设已知精轧后钢材的规定长度为,l,，,粗轧后钢材长度的均方差为,记粗轧时可以调整的均值为,m,，,则粗轧得到的钢材长度为正态随机变量，记作,xN,(,m,2,),切掉多余部分的概率,整根报废,的概率,存在最佳的,m,使总的浪费最小,l,P,0,p,(,概率密度,),m,x,P,m,P,P,建模,选择合适的目标函数,切掉多余部分的浪费,整根报废的浪费,总浪费,=,+,粗轧一根钢材平均浪费长度,粗轧,N,根,成品材,PN,根,成品材长度,l PN,总长度,mN,共浪费长度,mN,-,lPN,选择合适的目标函数,粗轧一根钢材平均浪费长度,得到一根成品材平均浪费长度,更合适的目标函数,优化模型：求,m,使,J,(,m,),最小（已知,l,）,建模,粗轧,N,根,得成品材,PN,根,求解,求,z,使,J,(,z,),最小（已知,）,求解,例,设,l,=2(,米,),=20(,厘米,),，,求,m,使浪费最小。,=,l,/=10,z,*,=-1.78,*,=,-,z,*,=11.78,m,*,=,*,=2.36(,米,),求解,1.253,0.876,0.656,0.516,0.420,0.355,0,227.0,-3.0,0.5,56.79,-2.5,1.0,18.10,-2.0,1.5,7.206,-1.5,2.0,2.5,3.477,1.680,-1.0,-0.5,z,z,F,(,z,),F,(,z,),1.0,2.0,0,-1.0,-2.0,10,5,F,(,z,),z,9.5,随机人口模型,背景,一个人的出生和死亡是随机事件,一个国家或地区,平均生育率平均死亡率,确定性模型,一个家族或村落,出生概率死亡概率,随机性模型,对象,X,(,t,),时刻,t,的人口,随机变量,.,P,n,(,t,),概率,P,(,X,(,t,)=,n,),n,=0,1,2,研究,P,n,(,t,),的变化规律；得到,X,(,t,),的期望和方差,若,X,(,t,)=,n,对,t,到,t,+,t,的出生和死亡概率作以下假设,1),出生一人的概率与,t,成正比，记,b,n,t,;,出生二人及二人以上的概率为,o,(,t,).,2),死亡一人的概率与,t,成正比，记,d,n,t,;,死亡二人及二人以上的概率为,o,(,t,).,3),出生和死亡是相互独立的随机事件。,b,n,与,n,成正比，记,b,n,=,n,出生概率,；,d,n,与,n,成正比，记,d,n,=,n,，,死亡,概率,。,进一步假设,模型假设,建模,为得到,P,n,(,t,),P,(,X,(,t,)=,n,),的变化规律，考察,P,n,(,t+,t,)=,P,(,X,(,t+,t,)=,n,).,事件,X,(,t+,t,)=,n,的,分解,X,(,t,)=,n,-1,t,内出生一人,X,(,t,)=,n,+1,t,内死亡一人,X,(,t,)=,n,t,内没有出生和死亡,其它,(,出生或死亡二人，出生且死亡一人，),概率,P,n,(,t+,t,),P,n-1,(,t,),b,n-1,t,P,n+,1,(,t,),d,n+,1,t,P,n,(,t,),1-,b,n,t,-,d,n,t,o,(,t,),一组递推微分方程,求解的困难和不必要,(,t,=0,时已知人口为,n,0,),转而考察,X,(,t,),的期望和方差,b,n,=,n，,d,n,=,n,微分方程,建模,X,(,t,),的期望,求解,基本方程,n-,1,=k,n+,1,=k,求解,比较：确定性指数增长模型,X,(,t,),的方差,E,(,t,),-,(,t,),-=r,D,(,t,),E,(,t,),+,(,t,),E,t,0,n,0,D,(,t,),X,(,t,),大致在,E,(,t,),2,(,t,),范围内（,(,t,),均方差）,r,增长概率,r,平均增长率,