信号与系统_1.6－1.8

,*,单击此处编辑母版标题样式,1,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,信号与系统,Signals&Systems,山东农业大学,信息学院,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,信号与系统,Signals&Systems,山东农业大学,信息学院,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,1,信号与系统,Signals&Systems,山东农业大学,信息学院,*,1,奇异信号：,即,本身,、其,导数,或其,积分,有,不连续点,的函数。,1,、斜变信号,2,、,单位阶跃信号,3,、符号函数,4,、,单位冲激信号,5,、冲激偶信号,阶跃信号与冲激信号,2,单位斜变信号,单位阶跃信号,3,用阶跃信号表示矩形脉冲,4,符号函数,可用阶跃表示,定义：,5,Dirac,定义,:,单位冲激信号,冲激偶信号,6,冲激函数的性质：,移位的冲激函数,冲激信号的,抽样特性,7,8,9,冲激偶的性质,:,10,11,信号的分解,信号分解实际上是对信号进行某种或几种运算来实现的。信号分析时，我们往往是将所分析的信号进行分解，分解为一些简单的基本信号的组合。根据所包含的简单基本信号的成分和参数，对所分析信号以深入了解。,这里我们将介绍信号的几种常见的分解表示。它们是：交直流分解、奇偶分解、虚实分解和冲激分解；最后还会提到更一般的重要分解表示：正交分解。,12,（,4,）冲激（脉冲）分解：,对于连续时间信号，可分解为发生在不同时刻的冲激信号的积分。,由前面和微分学的知识我们知道,13,当上式中 记为 ，,为一表示时间的参变量，和式变成积分，约等于变成等于。,14,以上积分式称为卷积积分。式子说明：一连续时间信号可表示为此信号与单位冲激信号的卷积积分。或者说，单位冲激信号与一信号的卷积积分，仍是此信号。也有用此式作为单位冲激信号的定义。,15,（,5,）正交函数分量,：,1、函数的内积,设,x、y,均是定义在区间（,t,1,t,2,),上的函数，它们的内积定义为：,2、函数的正交,设,x、y,均是定义在区间（,t,1,t,2,),上的函数，它们的内积为零，即,则称,x、y,在区间（,t,1,t,2,),上是相互正交的。,16,3、正交函数集,设,g,i,(t)|i=1,2,是定义在区间（,t,1,t,2,),上的函数集,，,它的各分量间两两正交，即,4、函数的正交分解,设,x,是为定义在区间（,t,1,t,2,),上的一个函数，同区间上有一正交函数集：,g,i,(t)|i=1,2,。则函数,x,可以分解表示为此正交函数集中各分量的组合，即,则称,g,i,(t)|i=1,2,是区间（,t,1,t,2,),上的一个正交函数集。,17,式中的,c,i,是组合系数，它与函数,x,和分量,g,i,(t),有关：,本课程将主要应用到的正交函数集是三角函数集：,18,1.,6,、系统模型及其分类,一、系统的表示,为了便于分析，需要对系统给以描述，我们通常用系统的模型来表示系统。在电系统中，人们常常用具有理想特性的元器件符号联接的图形；或者是将系统物理特性进行数学抽象-数学建模，形成的数学表达式表示系统。,1、系统的电路图表示,19,2、系统方程,根据元器件的物理特性和电路的基本定理，可以建立系统方程。例如，根据电路图中表示的输入输出，可以列出系统方程。,方程中只涉及到输入输出信号，称此方程为系统的输入输出方程。系统方程是二阶微分方程，则称所表示的系统是二阶系统。,对于高阶系统，分析时求解高阶微分方程往往较复杂，也可以将系统用联立的一阶微分方程组来表示，此时的方程组，称为系统的状态方程。,20,系统的描述,系统的数学模型,系统的方框图,（,block diagram,）,相加、倍乘（标量乘法）、,积分（或微分）,基本运算单元：,系统的方框图,常用,21,前述系统方程,22,令辅助函数为 满足：,23,系统的分类,有许多不同的分类方法，这里主要根据系统的特性与所处理的信号不同分类。,1、,连续时间系统,与,离散时间系统,若系统的输入输出都是连续时间信号，且内部又无连续和离散信号间的转换，这样的系统是连续时间系统。连续时间系统的系统方程是微分方程。,若系统的输入输出都是离散时间信号，这样的系统是离散时间系统。离散时间系统的系统方程是差分方程。,由于数字技术的发展，特别是计算机的应用，现在有许多连续时间和离散时间系统的混合系统。,24,2、,即时系统,与,动态系统,若系统在某时刻的输出只与此时刻的输入有关，与此前的输入或系统状态无关，这样的系统称为,即时系统,。即时系统的系统方程是代数方程。如纯电阻网络、数字系统中的组合逻辑电路，都是即时系统。即时系统又称无记忆系统。,若系统在某时刻的输出不仅与此时刻的输入有关，还与此前的输入或系统状态有关，这样的系统称为,动态系统,。动态系统的系统方程是微分方程或差分方程。如含有电感和电容的网络、数字系统中的时序逻辑电路，都是动态系统。动态系统中一定包含有记忆元件，如电感、电容或触发器等。,25,3、,集总参数系统,与,分布参数系统,若构成系统的元器件均是集总参数元件，这样的系统称为,集总参数系统,。集总参数系统的系统方程通常是常微分方程。如：,若系统含有分布参数元器件，这样的系统称为,分布参数系统,。分布参数系统的系统方程通常是偏微分方程。此时系统的输入输出信号不单是时间的函数，还是空间位置的函数。如描述弦上运动的一维波动方程：,4、,线性系统,与,非线性系统,26,5、,时不变系统,与,时变系统,若系统参数不随时间变化，这样的系统是,时不变系统,，否则是,时变系统,。本课程主要讨论时不变系统。时不变系统的系统方程是常系数微分或差分方程。,若系统的输入输出之间满足叠加性与齐次（均匀）性，这样的系统是,线性系统,，否则是,非线性系统,。本课程主要讨论线性系统。线性系统的系统方程是线性微分或差分方程。,27,6、因果与非因果系统,响应不会产生于激励作用于系统之前的系统，称为因果系统，反之是非因果系统。,例如：,系统,系统是因果的。,若,在独立变量是时间的应用中，因果性是系统物理可实现的充分必要条件。,系统是非因果的。,28,7、稳定与不稳定系统,系统对于有界的输入，必定产生有界的输出，此系统称为稳定的，否则系统是不稳定的。,即对所有的时间,必定有,例如：系统输入输出关系为：,随着时间趋于无穷，输出也趋于无穷，是不稳定的。,当,x(t)=1，,是有界的，,29,若系统输入输出关系为：,只要,x(t),是有界的，,所以系统是稳定的。,30,8、,可逆系统,与,不可逆系统,对于不同的输入有不同的输出，此系统是,可逆系统,，否则是,不可逆系统,。,原系统,逆系统,同一个系统有着多重特性，根据不同的特性可归于不同的类别。今后本课程主要讨论线性时不变系统的分析及其特性。,31,1.,7,线性时不变系统,一、线性,线性包含叠加性与均匀（齐次）性。,1、叠加性：,系统,若,称系统满足叠加性。,称系统满足齐次性。同时满足叠加性与齐次性的系统称为线性系统。,2、齐次性,32,例如：,设系统的输入输出之间的关系为：,系统是线性系统。,综合叠加性与齐次性，线性可表示为：,系统,33,再例如：,设系统的输入输出之间的关系为：,系统也不满足齐次性。,系统不满足叠加性，所以不是线性系统。而且,34,由线性，可以得到系统的一个结果是：在全部时间上系统输入为零，必然输出为零，即零输入产生零输出。,即在零输入时，系统输出不为零。这部分不为零的输出，称为系统的零输入响应。,而,35,例如：,设系统的输入输出之间的关系为：,系统是时变的。,因为,再如：,设系统的输入输出之间的关系为：,所以系统是时不变的。,二、时不变性,系统,36,判断一个系统是否满足某种特性，只要能找到一个例子不满足，就可证明其不满足此特性。,例如：,设系统的输入输出之间的关系为：,即如图所示：,系统,37,系统,所以系统是一时变系统。,综合线性与时不变性，可表示为：,38,系统同时满足线性与时不变性，称为线性时不变系统，记为,LTI,(linear-time-invariant),系统。,设,LTI,系统的输入,x(t),与输出,y(t),之间的关系由下图描述，试作出当输入分别为,x,1,(t),与,x,2,(t),时，输出,y,1,(t),与,y,2,(t),的波形图。,例如：,39,三、连续时间系统的微积分性,1、微分性,LTI,系统,2、积分性,LTI,系统,40,四、因果性与稳定性,LTI,系统的因果性与稳定性，在后续章节将会讲到。,系统还有其他重要特性，比如频率响应特性,。,本课和后续课程将会学到与用到。,以上系统特性，虽是以连续时间系统为例介绍的，但是离散时间系统也有同样的特性。,41,42,