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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,ppt精选,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,ppt精选,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,第七节,正弦定理和余弦定理,1,ppt精选,2,ppt精选,【知识梳理】,1.正弦定理与余弦定理,定理,正弦定理,余弦定理,内容,=,=,=2R(R是ABC外接圆的半径),在ABC中,有,a,2,=_;,b,2,=_;,c,2,=_,b,2,+c,2,-2bccosA,c,2,+a,2,-2cacosB,a,2,+b,2,-2abcosC,3,ppt精选,定理,正弦定理,余弦定理,变形,公式,a=_,b=_,c=_;,sinAsinBsinC=_;,sinA= ,sinB=,sinC=,;,cosA=,;,cosB=,;,cosC=_,2RsinA,2RsinB,2RsinC,abc,4,ppt精选,定理,正弦定理,余弦定理,解决的,问题,已知两角和任一边,求其他边和角,已知两边和其中一边的对角,求其他边和角,已知三边,求各角,已知两边和它们的夹角,求第三边和其他角,5,ppt精选,2.在ABC中,已知a,b和A时,解的情况,A为锐角,A为钝角或直角,图形,关系式,a=bsinA,bsinAab,ab,解的,个数,_,_,_,_,_,一解,两解,一解,一解,无解,6,ppt精选,【考点自测】,1.(思考)给出下列命题：,三角形中三边之比等于相应的三个内角之比；,在ABC中，若sin Asin B，则AB；,在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素；,正弦定理对钝角三角形不成立；,在ABC中，,其中正确的是( ),A. B.,C. D.,7,ppt精选,【解析】,选C. 错误. 由正弦定理知abc,sin Asin Bsin C.,正确.由正弦定理知sin A= ，sin B= ，由sin Asin B,得ab，即AB.,错误.当已知三个角时不能求三边.,错误.正弦定理对任意三角形都成立.,正确. 由正弦定理结合比例的性质可证明.,8,ppt精选,2.已知ABC的三个内角之比为ABC=321，那么对应的,三边之比abc=( ),A.321 B. 21,C. 1 D.2 1,【解析】,选D.由ABC=321及A+B+C=180，可解得,A=90，B=60，C=30，所以abc=sin Asin B,sin C=1 ,即abc=2 1.,9,ppt精选,3.在ABC中，a15，b10，A60，则cos B等于( ),【解析】,选D.因为 所以,所以sin B,又因为ab，A60，,所以B60，,所以cos B,10,ppt精选,4.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a,2bcos C，则此三角形一定是( ),A等腰直角三角形 B直角三角形,C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形,【解析】,选C.因为a2bcos C，所以由余弦定理得：a,整理得b,2,c,2,，则此三角形为等腰三角形,11,ppt精选,5.(2014金华模拟) 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为,a，b，c，若sin A= sin C，B=30，b=2，则边c=,.,【解析】,依题意得，sin A sin C，即a c，根据余弦,定理可得b,2,a,2,c,2,2accos B，即43c,2,c,2,2 c,2, ，,解得c2.,答案：,2,12,ppt精选,6.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若b,2,+c,2,-a,2,-bc,=0,则A=_.,【解析】,由,b,2,+c,2,-a,2,bc =0,得,b,2,+c,2,-a,2,=bc,所以,cos A=,所以A=60.,答案：,60,13,ppt精选,考点1,正弦定理的简单应用,【典例1】,(1)在ABC中，A=60, a= ,b=2,那么满足条件,的ABC( ),A.有一个解 B.有两个解,C.无解,D.不能确定,(2)(2014丽水模拟)如图，在ABC中，AB=,AC=2，BC=2 ，点D在BC边上，ADC=75，,则AD的长为_.,14,ppt精选,(3)在ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若,A=2B，则cos B=_.,【解题视点】,(1)通过具体计算的方法或数形结合的方法求解.,(2)根据等腰三角形三线合一的性质求出角B，再利用正弦定理求解.,(3)由两边之比联想用正弦定理，化为两角的正弦值之比，再利用二倍角公式化简.,15,ppt精选,【规范解答】,(1)选A.方法一：因为,又A=60，且ab，所以B60，故B45，所以有一个解.,方法二：结合草图，因为A60,a= ,b=2所以ab,故三角,形有一个解.,16,ppt精选,(2)过点A作AEBC，垂足为E，则在,RtABE中，,故B=30.,在ABD中，ADB=180-ADC=180-75=105.,由正弦定理得,答案：,17,ppt精选,(3)由正弦定理得 又A=2B，,所以,所以cos B= .,答案：,18,ppt精选,【互动探究】,把本例(3)条件改为“在锐角ABC中，a,b,c分,别是三个内角A,B,C的对边，A=2B”,试求 的取值范围.,19,ppt精选,【解析】,由正弦定理得,因为ABC是锐角三角形，,所以,所以,即,所以,所以,即 的取值范围是,20,ppt精选,【易错警示】,注意角的范围的确定,本例【互动探究】由ABC 是锐角三角形判断角B的范围时，要注意应保证三个内角都是锐角，否则易出现范围过大的情况.,21,ppt精选,【规律方法】,1.正弦定理的应用技巧,(1)求边：利用公式,或其他相应变形公式求解.,(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式,或其他相应变形公式求解.,(3)相同的元素归到等号的一边：即,可应用这些公式解决边或角的比例关系问题.,22,ppt精选,2.判断解的个数的两种方法,(1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断.,(2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.,提醒：,利用正弦定理解三角形时，要注意解的个数的判断.,23,ppt精选,【变式训练】,已知在ABC中,a=x,b=2,B=45,若三角形有两解,则x的取值范围是(),A.x2 B.x2,C.2x2 D.2x2且xsin452,所以2x2 .,24,ppt精选,【加固训练】,1.在ABC中，a=10，B=60,C=45,则c等于( ),A.10+ B.10( -1),C. +1 D.10,【解析】,选B.A=180-(BC)=180-(60+45)=75.,由正弦定理，得,25,ppt精选,2.,在,ABC,中，若,B=2A,，,ab,1 ,则,A=_.,【,解析,】,因为,ab,1,，所以,sin Asin B,1,，,即,sin Asin 2A,1,，所以,cos A, ，故,A=30.,答案：,30,26,ppt精选,考点2,余弦定理的应用,【典例2】,(1)(2013青岛模拟) 已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是( ),A.8a10 B.2 a,C.2 a10 D. a8,(2)(2013安徽高考)设ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=( ),27,ppt精选,【解题视点】,(1)根据锐角三角形三边关系,并结合余弦定理求解.,(2)将条件统一为边，然后把三边用一个量表示，最后根据余弦定理求解.,28,ppt精选,【规范解答】,(1)选B.若a是最大边，则,所以3a ；,若3是最大边，则,所以2 aBC,3b=20acosA,则sinAsinBsinC为(),A.432 B.567,C.543,D.654,43,ppt精选,【解析】,选D.由题意知：a=b+1,c=b-1,所以3b=20acosA=,整理得：7b,2,-27b-40=0，解得b=5或b=- (舍去),可知：a=6,c=4.结合正弦定理可知答案.,44,ppt精选,2.(2014衢州模拟),在ABC中，角A，B，C所对的边分别,为a,b,c，若acos B+bcos A=csin C,b,2,+c,2,-a,2,= bc，则,角B=,.,【解析】,由b,2,+c,2,-a,2,= bc，得,所以A=30.由正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A=,sin Csin C，即sin(A+B)=sin Csin C=sin C，解得,sin C=1(sin C=0舍去)，所以C=90，所以B=60.,答案：,60,45,ppt精选,3.(2014金华模拟)在ABC中，sin,2,Asin,2,B+sin,2,C-,sin Bsin C，则A的取值范围是_.,【解析】,因为sin,2,Asin,2,B+sin,2,C-sin Bsin C，,所以由正弦定理得a,2,b,2,+c,2,-bc，即b,2,+c,2,-a,2,bc,故,cos A=,又,A(0,，,),，故,0,A .,答案：,0A,46,ppt精选,【加固训练】,1.(2014嘉兴模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为,a,b,c,满足,(1)求角C.,(2)求 的取值范围.,47,ppt精选,【解析】,(1),化简得a,2,+b,2,-c,2,=ab，,所以,48,ppt精选,49,ppt精选,2.(2014长沙模拟)在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，求证：,【证明】,方法一：由余弦定理得a,2,=b,2,+c,2,-2bccos A,b,2,=a,2,+c,2,-2accos B，,所以a,2,-b,2,=b,2,-a,2,-2bccos A+2accos B.,整理，得,由正弦定理，得,即,50,ppt精选,方法二：右边,故,51,ppt精选,【规范解答4】,正、余弦定理在三角形中的应用,【典例】,(14分)(2013江西高考)在ABC中,角A,B,C所对的,边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA- sinA)cosB=0.,(1)求角B的大小.,(2)若a+c=1,求b的取值范围.,52,ppt精选,【审题】,分析信息,形成思路,信息提取,思路分析,(1),cosC+(cosA- sinA)cosB,=0,求角,B,的大小,利用三角形内角和为三角恒等变换角B,(2),a+c=1,求b的取值范围,角B由余弦定理可得b,2,关于a,c的等式由a+c=1消去c得b,2,关于a的函数,同时求a的范围求b的取值范围,53,ppt精选,【解题】,规范步骤,水到渠成,(1)在ABC中，因为ABC，,所以-cos(A+B)+cos Acos B-,sin Acos B=0，,3分,即sin Asin B- sin Acos B=0,因为sin A0，所以sin B- cos B=0,5分,cos B0，所以tan B= ,又0B，,所以B .,7分,54,ppt精选,(2)由余弦定理，有b,2,=a,2,+c,2,-2accos B，,因为a+c=1,cos B= ，所以c=1-a，代入上式整理得,11分,又因为c=1-a，由0c1得,0a0，故cos B= ，所以B=45,58,ppt精选,感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，,如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！,
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