5-5 阿贝尔群

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,离散数学,Discrete Mathematics,信息科学与技术学院网络工程系,赵永斌,5-5,阿贝尔群和循环群,学习本节要熟悉如下术语（,4,个）：,阿贝尔群、循环群、生成元、,阶,要求：,掌握,3,个定理,一、阿贝尔群（,Abel,群）,1,、,定义,5-5.1,设,为一群,若,运算满足,交换律,则称,G,为,交换群,或,阿贝尔群,(,Abel group,),。阿贝尔群又称,加群,，常表示为,（这里的,+,不是数加，而泛指可交换二元运算）。加群的幺元常用,0,来表示，元素,x,的逆元常用,-x,来表示。,例题,1,设,S=a,b,c,d,，在,S,上定义一个双射函数,f:f(a)=b,f(b)=c,f(c)=d,f(d)=a,对于任一,x,S,，构造复合函数,f,2,(x)=f,o,f(x)=f(f(x),f,3,(x)=f,o,f,2,(x)=f(f,2,(x),f,4,(x)=f,o,f,3,(x)=f(f,3,(x),如果用,f,0,表示,S,上的恒等映射，即,f,0,(x)=x x,S,很明显地有,f,4,(x)=f,0,(x),，记,f,1,=f,，构造集合,F=f,0,f,1,f,2,f,3,，那么,是一个阿贝尔群。,解,对于,F,中任意两个函数的复合，可以由下表给出,o,f,0,f,1,f,2,f,3,f,0,f,1,f,2,f,3,f,0,f,1,f,2,f,3,f,1,f,2,f,3,f,0,f,2,f,3,f,0,f,1,f,3,f,0,f,1,f,2,可见，复合运算,o,关于,F,是封闭的，并且是可结合的。,由表的对称性，可知复合运算,o,是可交换的。因此,是一个阿贝尔群。,f,0,的逆元就是它本身，,f,1,和,f,3,互为逆元，,f,2,的逆元也是它本身。,再看,5-4,节,P191,例题,1,已经验证了,是群。,由运算表的对称性知运算是可交换的，因此,是阿贝尔群。,0,6,0,12,0,18,0,24,0,30,0,0,6,0,12,0,18,0,24,0,30,0,0,6,0,12,0,18,0,24,0,30,0,6,0,12,0,18,0,24,0,30,0,0,12,0,18,0,24,0,30,0,0,6,0,18,0,24,0,30,0,0,6,0,12,0,24,0,30,0,0,6,0,12,0,18,0,30,0,0,6,0,12,0,18,0,24,0,练习,P200,（,1,）,设,是一个独异点，并且对于,G,中的每一个,x,都有,x*x=e,，其中,e,是幺元，证明,是一个阿贝尔群。,证明,x*x=e,说明,G,中的,每一个元素,x,都是自身的逆元,，所以,是一个群。,任取,x,，,yG,，则,x*yG,因为,x*y=,（,x*y,）,-1,=y,-1,*x,-1,=y*x,所以,是一个阿贝尔群。,此题的推论：若群中每个元素的逆元都是它自己，则该群必是可交换群。,例题,2,设,G,为所有,n,阶非奇（满秩）矩阵的集合，矩阵乘法运算,作为定义在集合,G,上的二元运算，则,是一个不可交换群。,解,任意两个,n,阶非奇矩阵相乘后，仍是一个非奇矩阵，所以运算,是封闭的。,矩阵乘法运算,是可结合的。,N,阶单位阵,E,是,G,中的幺元。,任意一个非奇矩阵,A,存在唯一的逆阵,A,-1,，使,A,-1,A=AA,-1,=E,。,但矩阵乘法运算,是不可交换的，因此,是一个不可交换群。,2,、,定理,5-5.1,设,为一群,是阿贝尔群的充要条件是对任意的,a,b,G,，有,（,ab,）（,ab,）,=,（,aa,）（,bb,）,证明,:1,）,先证充分性,从条件“,（,ab,）（,ab,）,=,（,aa,）（,bb,）,”出发，推出“,是阿贝尔群,”,的,结论：,对于元素,a,b,G,，,有,(,ab)(ab)=(aa)(bb),因为,右端,=,a,(ab),b,=,(aa)(bb),=,(,ab)(ab),=,a,(,ba),b,即,a,(ab),b,=,a,(,ba),b,由可约性得，用,a,-1,左,上式，再用,b,-1,右,上式，,(ab),=,(,ba),2,）,再证必要性,从“,是阿贝尔群,”,的,结论出发，推出,“,(,ab)(ab)=(aa)(bb),”,条件：略,二、循环群,1,、,定义,5-5.2,设,为群，如果在,G,中存在元素,a,使,G,以,a,为生成集，即,G,的任何元素都可表示为,a,的幂（约定,e=a,0,）,称,为,循环群,(,cyclic group,),，这时,a,称为循环群,G,的,生成元,（,generater,）。,例如，,60,就是,群,的生成元，因此，该群是循环群。,2,、,定理,5-5.2,设任何一个循环群必定是阿贝尔群。,证明思路,:,循环群,是阿贝尔群,设,是一个循环群，,a,是该群的生成元，则对于任意的,x,y,G,，必有,r,s,I,，使得,x=a,r,和,y=a,s,而且,x,y=a,r,a,s,=a,r+s,=a,s+r,=a,s,a,r,=y,x,因此，运算,可交换，是阿贝尔群。,3,、,定义,5-5.3,设,为群，,a,G,，如果,a,n,=,e,且,n,为满足此式的最小正整数,则称,a,的,阶,(,order,),为,n,，如果上述,n,不存在时,则称,a,有,无限阶,.,4,、,定理,5-5.3,设,为循环群，,a,G,是该群的生成元，如果,G,的阶数是,n,，即,|G|=n,，则,a,n,=e,且,G=a,a,2,a,3,.,a,n-2,a,n-1,a,n,=e,其中，,e,是群,的幺元。,n,是使,a,n,=e,的最小正整数。,证明思路,:,先证,a,的阶为,n,设对于某个正整数,m,mn,有,a,m,=e,。那么，由于,是一个循环群，所以对于,G,中任意的元素都能写为,a,k,(,k,I,),而且,k=,mq+r,其中,q,是某个整数,0,rm,则有,a,k,=a,mq+r,=(a,m,),q,a,r,=(e),q,a,r,=a,r,因此，,G,中每一元素都可写成,a,r,(0,rm),，,G,中最多有,m,个元素。与,|G|=n,矛盾。所以,a,m,=e,是不可能的。,再用反证法证明,a,，,a,2,，,.,，,a,n,互不相同。,设,a,i,=a,j,，其中,1,ij,n,，就有,a,j-i,=e,，而且,1,j,-,i,n,，这已经有上面证明是不可能的。所以,a,，,a,2,，,.,，,a,n,都不相同。,因此,G=a,a,2,a,3,.,a,n-2,a,n-1,a,n,=e,例题,3,设集合,G=,，在,G,上定义二元运算*如下表所示。试说明,是一个循环群。,*,解,由上表可知,运算*是封闭的，,是幺元。,和,的逆元分别是,和,。可以验证运算*是可结合的。所以,是一个群。在这个群中，由于,*=,2,=,，,3,=,，,4,=,以及,*,=,2,=,，,3,=,，,4,=,故群,是由,或,生成的，因此,是一个循环群。,从,上例可知：一个循环群的生成元可以不是唯一的,。,又如整数加群,，任取,iI,，,若,i0,，则,i=1+1+1=1,i,若,i=0,，因为,0,是单位元，由定义，有,0=1,0,；,若,i0,，设,i=-j,i=-j=(-1)+(-1)+(-1)=(-1),j,=(1,-1,),j,=1,-j,=1,i,i,个,1,相加,所以，群的,，任何元素都可以写成,1,的幂，即是循环群，,1,是循环群的生成元。,j,个,-1,相加,-1,也是循环群,的生成元。,作业：,P200 (3)(4),本节内容到此结束,谢谢大家！,