3.4基本不等式

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.4,基本不等式,:,2002,年国际数学大会（,ICM-2002,）在北京召开，此届大会纪念封上的会标图案，其中央正是经过艺术处理的“弦图”。,它标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。,一、问题引入,情景设置,新课探究,新课探究,一般地，对于任意实数 ，我们有,当且仅当 时等号成立,思考：,如何证明？,证明：,当且仅当 时， 此时,平方,当且仅当,a=b,时，取“,=”,号,能否用不等式的性质进行证明？,小组合作：,在右图中，,AB,是圆的直径，,点,C,是,AB,上的一点，,设,AC,=,a,BC,=,b,。,过点,C,作垂直于,AB,的弦,DE,，,连接,AD,、,BD,。,基本不等式的,几何意义是：“,半径不小于半弦。,”,E,P98,探究,2.,代数意义：,几何平均数小于等于算术平均数,2.,代数证明,:,3.,几何意义：,半弦长小于等于半径,（,当且仅当,a=b,时,，,等号成立,）,二,、,新课讲解,算术平均数,几何平均数,3.,几何证明,:,从数列角度看,:,两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项,1.,思考,:,如果当 用 去替换,中的,能得到什么结论,?,基本不等式,探究3,基本不等式：,当且仅当,a,=b,时，等号成立,.,当且仅当,a=b,时，等号成立,.,重要不等式：,注意：,（,1,）不同点：两个不等式的,适用范围,不同。,（,2,）相同点：当且仅当,a=b,时，等号成立。,证明,:,要证,只要证,( ),要证,，只要证,( ),要证,，只要证,（,),显然,:,是成立的,当且仅当 时,中的等号成立,.,证明,:,当,时, .,探究,o,a,b,A,B,P,Q,1.,如图,AB,是圆,o,的直径，,Q,是,AB,上任一点，,AQ=,a,BQ,=,b,过点,Q,作垂直于,AB,的弦,PQ,，连,AP,BP,则半弦,PQ=,_ _,半径,AO=,_,几何意义：,圆的半径不小于圆内半弦长,探究4,动态演示,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗,?,2.PQ,与,AO,的大小关系怎样,?,2.,基本不等式,（均值定理）,1.,两个正数的算术平均数,不小于,它们的几何平均数,.,2.,两个正数的等差中项,不小于,它们的等比中项。,此定理又可叙述为：,1.,重要不等式,2.,基本不等式（均值定理）,注意：,基本不等式成立的要素：,（,1,）：看是否均为正数,（,2,）：看不等号的方向,（,3,）：看等号是否能取到,简言之：一正二定三相等,基本不等式,当且仅当,时等号成立,当且仅当,时等号成立,结论,1,：,两个正数积为定值，则和有最小值,结论,2,：,两个正数和为定值，则积有最大值,例,1,（,1,）用篱笆围一个面积为,100,的矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？,（,2,）用一段长为,36m,的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园面,积最大？最大面积是多少？,解法一：,(2),设矩形菜园的宽为,x,m,，则长为,(36-2,x),m,，其中,0,x,18 ,解法二：,其面积为,:,当且仅当,2,x=36-,2,x,，即,x=,9,时菜园面积最大，,即菜园长,18m,，,宽为,9 m,时菜园面积最大为,162 m,2,.,例题讲解,例,2,某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为,4800m,3,深为,3m,如果池底每平方米的造价为,150,元,池壁每平方米的的造价为,120,元,怎样设计水池能使总造价最低,?,最低总造价是多少,?,解：,【,例,2,】,某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为,4800m,3,深为,3m,，如果池底每,1m,2,的造价为,150,元，池壁每,1m,2,的造价为,120,元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？,设水池底面一边的长度为,x,m,， 则水池的宽为,水池的总造价为,y,元，根据题意，得,因此，当水池的底面是边长为,40m,的正方形时，水池,的总造价最低，最低总造价是,297600,元,例题讲解,结论,1,：,两个正数积为定值，则和有最小值,已知,x,1,求,x,的最小值以及取得最小值时,x,的值。,解：,x,1 x,1,0,x, （,x,1,） ,1,2,1,3,当且仅当,x,1,时取“”号,.,于是,x,2,或者,x,0,（,舍去）,答：最小值是,3,，取得最小值时,x,的值为,2,例,2:,构造积为定值,通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式,.,例题讲解,例,3,已知,x0,y0,且,x+y,=1,求,的最小值,例题讲解,(1),基本不等式取等号的条件,(2) “1”,的代换在不等式中的应用,正确？,错,赵老师花,10,万元购买了一辆家用汽车,如果每年使用的保险费,养路费,汽油费约为,0.9,万元,年维修费第一年是,0.2,万元,以后逐年递增,0.2,万,.,则这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少,?,综合应用,分析：,“年平均费用”,的含义？,解：设使用,x,年后，年平均费用为,y,万元，则,即当,x=10,时，,y,有最小值,3,万元,答：使用,10,年后，年平均费用最少。,变式训练,知识要点：,基本不等式的条件,:,结构特征,:,思想方法技巧：,（,1,）数形结合思想,（,2,）换元法,课堂总结,一正、二定、三相等,和、积,.,理解均值不等式的关系,:,