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单击此处编辑母版标题样式,2016年3月7日星期一,#,返回,上页,下页,目录,01 十月 2024,1,第三节 数量积 向量积,*,混合积,第七章,（,Scalar Product,、,Vector Product&Mixed Product of Vectors,）,四、小结与思考练习,一、向量的数量积,二、向量的向量积,三、向量的混合积,*,01 十月 2024,2,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线移动,引例,设一物体在常力,F,作用下,位移为,s,则力,F,所做的功为,01 十月 2024,3,启示,实例,两向量作这样的运算,结果是一个数量,.,定义,1,、定义,数量积也称为“,点积,”、“,内积,”,.,01 十月 2024,4,记作,故,2.,性质,为两个,非零,向量,则有,结论,两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积,.,01 十月 2024,5,关于数量积性质的证明：,证,证,思考？,性质,2,对于零向量也是成立的吗？,01 十月 2024,6,所以性质,对于任意向量都是成立的,01 十月 2024,7,证,:,则,如图,.,设,例,1,证明三角形余弦定理,01 十月 2024,8,(1),交换律,(2),结合律,(3),分配律,事实上,当,时,显然成立,;,3.,运算律（利用数量积的定义即得证）,01 十月 2024,9,设,则,当,为非零向量时,由于,5.,两向量夹角的余弦的坐标表示,得,4.,数量积的坐标表示,01 十月 2024,10,另：两向量垂直的充要条件为（用坐标表示法）,解,01 十月 2024,11,AMB,.,解,:,则,求,故,已知三点,例,3,01 十月 2024,12,思考题,1,思考,题,2,书上,P21,01 十月 2024,13,二、两向量的向量积,引例,设,O,为杠杆,L,的支点,有一个与杠杆夹角为,符合右手规则,矩是一个向量,M,:,的力,F,作用在杠杆的,P,点上,则力,F,作用在杠杆上的力,01 十月 2024,14,定义,向量,方向,:,(,叉积,),记作,且符合右手规则,模,:,向量积,称,引例中的力矩,思考,:,右图三角形面积,S,1.,定义,01 十月 2024,15,综上：,01 十月 2024,16,为非零向量,则,3.,运算律,(2),分配律,(3),结合律,(,证明略,),证明,:,右手定则,2.,性质,01 十月 2024,17,设,则,4.,向量积的坐标表示式,01 十月 2024,18,(,行列式计算见线性代数,),向量积的行列式计算法,01 十月 2024,19,01 十月 2024,20,角形,ABC,的面积。,解,:,如图所示,求三,例,4,已知三点,01 十月 2024,21,解,:,求一个垂直于平面,II,的向量,n,设平面,II,过空间三点,例,5,由题可知以上两个向量不共线且它们均位于平面,II,内，因而,垂直于平面,II,，故可取向量,01 十月 2024,22,解,:,记,01 十月 2024,23,三,.,向量的混合积,向量的混合积的概念,.,向量的混合积的坐标形式,.,向量的混合积的几何意义,.,01 十月 2024,24,1.,向量的混合积的概念,01 十月 2024,25,2.,向量的混合积的坐标形式,01 十月 2024,26,01 十月 2024,27,按第二行展开,01 十月 2024,28,2.,向量的混合积的几何意义,01 十月 2024,29,01 十月 2024,30,01 十月 2024,31,例,解,01 十月 2024,32,混和积的应用,1,01 十月 2024,33,内容小结,设,1.,向量运算,加减,:,数乘,:,点积,:,（结果是一个标量）,叉积,:,01 十月 2024,34,2.,向量关系,:,01 十月 2024,35,思考与练习,1.,设,计算,并求,夹角,的正弦与余弦,.,2.,已知向量,的夹角,且,在顶点为,三角形中,求,AC,边上的高,BD,.,3.,答案,答案,答案,01 十月 2024,36,1.,设,计算,并求,夹角,的正弦与余弦,.,答案,01 十月 2024,37,解：,2.,已知向量,的夹角,且,01 十月 2024,38,3.,在顶点为,三角形中,求,AC,边上的高,BD,.,解：,三角形,ABC,的面积为,而,故有,
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