9位移计算1-2012

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,虚功原理与结构位移计算,第 九 章,1,9-1,应用虚功原理求刚体体系的位移,一、结构位移计算概述,计算位移的目的：（,1,）刚度验算，（,2,）超静定结构分析的基础,产生位移的原因：（,1,）荷载,（,2,）温度变化、材料胀缩,（,3,）支座沉降、制造误差,以上都是绝对位移,以上都是相对位移,广义位移,位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便,2,2,二、变形体体系的虚功原理,设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于别的原因产生符合约束条件的微小的连续变形，则外力在位移上所作的虚功恒等于各个微段的应力合力在变形上所作的虚功，简写为：,外力虚功,=,内力虚功,为微段上的广义力，即横截面上的内力。,为相应的广义位移，即微段截面的相对轴向变形、,相对剪切变形和相对转角。,载荷和支座反力所做的外力虚功为,：,为支座反力,，,为相应的支座位移,。,则杆件系统,变形体虚功原理,的表达式为,(,刚体体系的虚功原理,是其特例,),因为,：,因此杆件体系的内力虚功为,：,28,对于杆件，取微段,ds,，,则微段上的内力在微段变形上的内力虚功为,：,3,广义力与广义位移,作功有两方面因素：力、位移。,广义力,S,-,与力有关的因素。广义位移,-,与位移有关的因素。,它们的乘积是虚功，即：,T,=,S,1,）,广义力是,单个力,，,则广义位移是该力的作用点的,位移在力作用方向上的分量,P,m,2,）广义力是一个,力偶,，则广义位移是它所作用的截面的,转角,。,3,）若广义力是等值、反向的,一对力,P,P,P,t,t,A,B,B,A,这里,是与广义力相应的广义位移。,表示,AB,两点间距的改变，即,AB,两点的相对位移,。,4,）若广义力是,一对等值、反向的力偶,m,A,B,m,m,A,B,这里,是与广义力相应的广义位移。,表示,AB,两截面的相对转角,。,4,4,a,b,A,B,C,P=1,A,B,C,a,b,三、刚体体系的虚功原理,已,知,求,虚功方程为：,设虚力状态,小结：,（,1,）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相,应的支座反力。,构造一个平衡力系,；,（,2,）特点是用静力平衡条件解决几何问题。,对刚体体系此法优点似不明显。,刚体体系的虚力原理,应用于几何可变体系产生刚体位移的情形。机动法作静定结构的影响线应用的是,刚体体系的虚位移原理。,其原理是一样的，即刚体体系的虚功原理。,虚力原理,虚设力系求位移,虚位移原理,虚设位移求力,5,5,四、支座位移时静定结构的位移计算,（,1,）,C,点的竖向位移,（,2,）,杆,CD,的转角,A,B,C,D,A,B,C,D,1,A,B,C,D,1,已知位移,求,:,所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致。,求解步骤,（,1,）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；,（,3,）解方程得,定出方向。,（,2,）建立虚功方程,6,6,B,A,B,A,1,A,B,虚功方程：,B,A,B,A,1,A,例,1,、刚性悬臂梁在截面,B,处由于某种原因产生相对转角,d,，,试求,A,点在,i,i,方向的位移 。,例,2,、刚性悬臂梁在截面,B,处由于某种原因产生相对剪位移,d,，,试求,A,点在,i,i,方向的位移 。,7,7,例,3,、刚性悬臂梁在截面,B,处由于某种原因产生轴向位移,d,试求,A,点在,方向的位移 。,B,A,B,A,B,A,1,由平衡条件：,虚功方程：,当截面,B,同时产生三种相对位移时，在,i,i,方向所产生的位移,，即是三者的叠加，有：,8,8,9-2,结构位移计算的一般公式的推导,推导位移计算公式的两种途径,由变形体虚功原理来推导,能量方法。,由刚体虚功原理来推导,局部累加方法,。,一、局部变形时的位移计算公式,基本思路：,ds,R,ds,ds,R,ds,（,1,）三种变形：,在刚性杆中，取微段,d,s,设为变形体，分析局部变形所引起的位移。,9,9,ds,R,ds,ds,R,ds,1,（,2,）微段两端相对位移：,续基本思路：设,微段的变形以截面,B,左右两端的相对位移的形式出现，,即刚体位移,，于是可以利用刚体虚功原理求位移。,（,3,）应用刚体虚功原理求位移,d,即前例的结论。,或,10,10,二、结构位移计算的一般公式,一根杆件各个微段变形引起的位移总和：,如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：,若结构的支座还有位移，则总的位移为：,11,11,适用范围与特点：,2,） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。,关于公式普遍性的讨论：,（,1,）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。,（,2,）变形原因：荷载与非荷载。,（,3,）结构类型：各种杆件结构。,（,4,）材料种类：各种变形固体材料。,1,） 适于小变形，叠加原理成立。,12,12,其中上面带一横杠的量是虚设的平衡力系状态。刚体体系的单位荷载法是这个公式的特例。,对于一实际给定的受力或变形状态的结构，拟求其某一未知位移,，只需在,方向设置一个单位载荷,P=1,，以此荷载及其支座反力、内力作为虚设的平衡力系，应用虚功原理即可求出,：,，平均切应变：,，弯曲应变：,轴向应变：,轴力以拉力为正；,剪力以使微段顺时针转动为正；,弯矩只规定乘积的正负号，使杆件同侧纤维受拉时，乘积为正；,16,线弹性材料直杆在,荷载作用下,与轴力、剪力、弯矩相应的弹性应变为,：,对于,静定结构,，,荷载作用,和,温度变化,可使结构产生变形。,支座移动,仅使结构产生刚体位移，因而 没有相应的内力虚功。,温度作用时,，设杆件形心轴处的温度变化为,t,0,，上下边缘处的温度变化的差值为,t,，则温度变化引起的杆件应变为：,无剪切变形,9-3,单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式,13,9-4,荷载作用下的位移计算,研究对象：静定结构、线性弹性材料。,重点在于解决荷载作用下应变 的表达式。,一、计算步骤,（,1,）在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载,内力应力应变 过程推导应变表达式。,（,2,）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知,k-,为截面形状系数,1.2,(3),荷载作用下的位移计算公式,17,工字形截面计算时假设腹板抗剪，且剪应力在腹板上均匀分布。,14,18,关于平均剪应变和截面形状系数的,k,的说明：,设微段,ds,横截面上状态,1,的剪力为： ，,状态,2,的剪力为： 。,相应的平均剪应力分别为：,平均剪应变并非通过平均剪应力按剪切胡克定律求得，而是按能量等效的原则求得，即状态,1,的,平均剪应力,在状态,2,的,平均剪应变,上作功应等于状态,1,的,实际剪应力,在状态,2,的,实际剪应变,上作功。即：,为,y,以下面积对中性轴的面积矩,(,静矩,),为,y,点处的截面宽度,为,与状态,1,的平均剪应力相应的在能量等效意义上的状态,2,的平均剪应变，为状态,2,的名义平均剪应变的,k,倍。温度改变位移计算时没有这个问题。,15,二、各类结构的位移计算公式,（,1,）梁与刚架,（,2,）桁架,（,3,）拱,19,16,q,A,C,B,(a),实际状态,P=1,A,C,B,(b),虚设状态,AC段,CB段,例,1.,试计算悬臂梁,A,点的竖向位移,。,1,）列出两种状态的内力方程：,20,17,AC段,CB段,2),将上面各式代入位移公式分段积分计算,AC段,在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。,CB段,21,18,CB段,设为矩形截面,k,=1.2,22,19,3,）讨论,比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。,设材料的泊松比,由材料力学公式 。,设矩形截面的宽度为,b,、,高度为,h,，,则有,代入上式,23,20,P,P,1,1,1,1.5,1.5,-4.74,-4.42,-0.95,4.5,1.5,3.0,1,0.5,0.5,-1.58,-1.58,0,0,1.5,1.5,2P,2P,例2 计算屋架顶点的竖向位移。,0.25,l,0.25,l,0.25,l,0.25,l,A,D,C,E,F,G,B,24,21,1,1,1,1.5,1.5,-4.74,-4.42,-0.95,4.5,1.5,3.0,1,0.5,0.5,-1.58,-1.58,0,0,1.5,1.5,AD,DC,DE,材料,杆件,l,A,钢筋砼,钢,CE,AE,EG,A,B,C,D,E,F,G,25,22,P,P=1,例,3,：求图示曲杆（,1/4,圆弧）顶点的竖向位移,。,解：,1,）虚拟单位荷载,虚拟荷载,3,）位移公式为,ds,=Rd,d,ds,钢筋混凝土结构,G0.4E,矩形截面,k,=1.2,I/A=h,2,/12,1200,1,D,D,M,N,D,400,1,D,M,Q,D,2,=,D,M,N,AR,I,2,4,1,2,=,=,D,D,M,Q,R,h,GAR,EI,k,可见剪切变形和轴向变,形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略,.,2,）实际荷载,h,10,1,R,如,26,23,P,l,/2,l,/2,EI,A,B,x,1,x,2,例,4,：求图示等截面梁,B,端转角。,解：,1,）虚拟单位荷载,m,=1,积分常可用图形相乘来代替,2,）,M,P,须分段写,27,24,