系统误差 (2)

#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第,5,章 系统误差,教学目标,测量过程中系统误差往往伴随着随机误差一起出现，但系统误差更具有隐蔽性。,本章讨论系统误差的来源、分类以及对测量结果的影响,发现和检验系统误差的方法,消除系统误差的基本方法,教学重点和难点,系统误差产生的原因,系统误差的特征,系统误差的发现,系统误差的统计检验,系统误差减少和消除的方法,第一节,系统误差概述,系统误差的定义,系统误差产生的原因,系统误差的分类与特征,对随机误差所进行的数学处理和估计，是以测量数据中不含有系统误差为前提的。因而研究系统误差的规律性，并尽可能地消除系统误差对测量结果的影响，否则对随机误差的估计就会丧失精确性而变得毫无意义。,系统误差虽然有着确定的规律性，即它的出现具有必然性。但它的规律性不容易被人们发现，因为系统误差是隐藏在测量数据之中的。而重复测量又不能降低它对测量结果的影响，因此系统误差的潜伏性，使得它比随机误差更具危险性。所以研究系统误差的规律性，用一定的法则和判据及时发现系统误差的存在并加以消除，就显得十分重要。,在某些测量实践中，系统误差的数值相当大，甚至要比随机误差大得多。例如：在高精度比较测量中，由基准件（如量块）误差所产生的系统误差可占测量总误差的一半以上。因此，消除系统误差往往成为提高测量精度的关键。,对系统误差的认识，限制和消除，目前还没有普遍适用的法则和方法，而是依赖于所研究问题的特殊规律，以及测量者的学识、经验、技巧和测量技术的发展。因此研究系统误差的规律性就具有迫切性和现实性。,系统误差,（,systematic error,）,定义：,在重复性条件下对同一被测量进行,无限多次,测量结果的平均值减被测量的真值。（,GUM B 2.22,条）,系统误差是,固定不变或按一定规律变化,的误差。 “同随机误差一样，系统误差也是,不可能被消除,的，但通常也可以被减小。”,（,GUM 3.2.3,条）,对待系统误差的基本措施是要,设法发现,并予以一定的补偿,。,一、系统误差产生的原因,在测量过程中，影响测量偏离真值的所有误差因素中，只要是由确定性变化规律的因素造成的，都可以归结为是系统误差的原因,系统误差产生的原因从各种可能影响测量结果的要素中去寻找,系统误差是可以设法预测的,测量装置的因素,测量方法的因素,测量环境的因素,测量人员的因素,测量装置和测量人员的因素,测量装置的因素,计量校准后发现的偏差,仪器设计原理的缺陷,仪器制造和安装的不正确,标准环规的直径偏差,齿轮杠杆测微仪直线位移和转角不成比例的误差,标尺的刻度误差、刻度盘和指针的安装偏心、仪器导轨的误差,测量人员的因素,由于测量者固有的测量习性，如读出刻度上读数时，习惯于偏于某一个方向，记录动态测量数据时总有一个滞后的倾向等,用均值电压表测量交流电压时，由于计算公式出现无理数 和 ，取近似公式 ，由此产生的误差,测量环境的因素,测量方法的因素,测量环境和测量方法的因素,测量时的实际温度对标准温度的偏差，对测量结果可以按确定规律修正的误差等等,采用近似的测量方法或近似的计算公式等所引起的误差,系统误差的特征与分类,在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规律变化，,故多次测量同一量值时，系统误差不具有抵偿性,，这是系统误差与随机误差的本质区别。,根据系统误差在测量过程中所具有的不同变化特性，将系统误差分为,恒定系统误差,和,可变系统误差,两大类。,恒定系统误差,在整个测量过程中，误差大小和符号均固定不变的系统误差,某量块的公称尺寸为,10mm,，实际尺寸为,10.001mm,误差为,-0.001mm,若按公称尺寸使用,则始终会存在,-0.001mm,的系统误差,某千分尺零位位置不指零，也会在使用过程中造成对每次测量量值读数的一个常量的零值误差,可变系统误差,在整个测量过程中，误差的大小和符号随着测量位置或时间的变化而发生有规律的变化,线性变化系统误差,周期性变化系统误差,复杂规律变化系统误差,在整个测量过程中，随着测量位置或时间的变化，误差值成比例地增大或减小，称该误差为线性变化系统误差,刻度值为,1mm,的标准刻尺，存在刻划误差 ，每一刻度间距实际为 ，若用它与另一长度比较，得到比值为 ，则被测长度的实际值为 ，由于测量值为 ，故产生的系统误差,是随测量值 的大小而线性变化的,线性变化系统误差,多项式变化的系统误差,非线性的系统误差可用多项式来描述它的非线性关系。例如：电阻与温度的关系为：,若以,R,t,来代替,R,20,，则所产生的电阻误差, R,为：, R,的误差曲线为一抛物线（随温度变化的）, ,在整个测量过程中，随着测量位置或时间的变化，误差按周期性规律变化的，称其为周期性变化系统误差,仪表指针的回转中心与刻度盘中心有一个偏离值 ，则指针在任一转角 处引起的读数误差为 。此误差变化规律符合正弦曲线规律，当指针在,0,0,和,180,0,时误差为零，而在,90,0,和,270,0,时误差绝对值达最大,某齿轮、光学分度头中分度盘等安装偏心引起的齿轮齿距误差、分度误差，都是属于正弦规律变化的系统误差,周期性变化系统误差,这一规律的前提是按顺时针或逆时针的顺次考察，否则测量误差将不具有这一规律性；如当重复使用同一刻度进行测量时，由度盘偏心带入测量结果中的误差是固定不变的系统误差。而当随机地逐次取用任一刻度进行测量时，度盘偏心引入测量结果的误差则不具有确定的规律性。,可见，在讨论误差的规律性时，前提条件具有关键性的意义。系统误差所表现出的规律性，是在确定的测量条件下，系统误差因素所具有的确定规律性的反映，因此，掌握误差因素对认识误差规律性来说至关重要。,复杂规律变化系统误差,在整个测量过程中，随着测量位置或时间的变化，误差按确定的更为复杂的规律变化，称其为复杂规律变化系统误差,如导轨的直线度误差；刻度分划不规则的示值误差。,复杂规律一般可建立诸如代数多项式、三角多项式或其他正交函数多项式等数学模型来描述,曲线,a,是恒定系统误差，曲线,b,是线性变化系统误差，曲线,c,是非线性变化系统误差，曲线,d,是周期性变化系统误差，曲线,e,是复杂规律变化系统误差。,各种系统误差的示意图,系统误差对测量结果的影响,1,对测量最佳值的影响,测量数据,则这组测量数据的算术平均值,系统误差一般不具有抵偿性，即,系统误差会影响对算术平均值的估计,系统误差,随机误差,真值,2.,对测量结果分散性的影响,测量数据的残余误差,对于恒定系统误差， 为零，说明恒定系统误差不会影响对残差的计算，因而不会对标准差的估计产生影响,对于可变系统误差的情形，上式第二项一般不为零，说明可变系统误差还会对标准偏差的估计产生影响,恒定系统误差以大小和符号固定的形式存在于每个测量值中。它在数据处理中只,影响算术平均值,，而,不影响残差及标准差,。因此除了要设法找出该恒定系统误差的大小和符号，对其算术平均值加以修正外，不会影响其他数据处理的过程。,由于它对,算术平均值和残差,均产生影响，所以应在处理测量数据的过程中，必须要同时设法找出该误差的变化规律，进而消除其对测量结果的影响。,可变系统误差,恒定系统误差,小结,第二节 系统误差的发现与统计检验,发现系统误差的常用方法,因为系统误差的数值往往比较大，必须清除系统误差的影响，才能有效地提高测量准确度。为了消除或减少系统误差，首先碰到的问题是如何,发现系统误差,。,在测量过程中形成系统误差的因素是复杂的，通常人们难于查明所有的系统误差，即使经过修正系统误差，也不可能全部消除系统误差的影响。,用标准器具（物质）检定,组内统计检验（残差统计法）,组间系统误差检验,实验对比法,改变产生系统误差的条件进行不同条件下的对比测量以发现系统误差，这种方法适用发现不变的系统误差。其基本思想是改变产生系统误差的条件，进行不同条件的测量。,例如，采用不同方法测同一物理量，若其结果不一致，表明至少有一种方法存在系统误差。,还可采用仪器对比法、参量改变对比法，改变实验条件对比法、改变实验操作人员对比法等，测量时可根据具体实验情况选用。,在计量检定中，常设 （标准器具量值），对均值 进行检定，判断其是否含有系统误差。,用标准器具（物质）检定,在计量工作中，常用,标准器具,或标准物质作为检定工具，来检定某测量器具的标称值或测量值中是否含有显著的系统误差。标准器具所提供的标准量值的准确度应该比被检定测量器具的要高出,1,2,个等级或至少高几倍以上。,现对被检量重复测量 次，假设测量服从正态分布,用标准器具（物质）检定步骤,2,、构造统计量,3,、在给定显著水平下，查 分布表的临界值,4,、作出决策。若 ，判定被检量算术平均值与期望的标准值之间存在显著的差异，即被检量含有恒定的系统误差。,5,、加修正值。对测得值 加一个修正值 ，即,1,、计算均值 ，按贝塞尔公式计算标准差,【,例,5-1】,【,解,】,计算,故仪器有显著系统误差,修正值,用量值为,3.05,的标准器具检定某台仪器，重复测量,15,次，数据依次见下，试分析该仪器的系统误差。,2.9,，,3.0,，,3.1,，,3.0,，,3.1,，,3.2,，,3.1,，,2.8,，,2.9,，,2.9,，,3.0,，,3.0,，,2.9,，,2.9,，,2.8,0,5,10,15,2.75,2.8,2.85,2.9,2.95,3,3.05,3.1,3.15,3.2,3.25,Y: 2.973,二、组内统计检验（残差统计法）,变值系统误差的残差观察法,i,v,i,i,v,i,1,）可否直接对测值进行观察来发现,变值,系统误差？,2,）可否直接对测值进行观察来发现,定值,系统误差？,常用的系统误差检验方法,残差散点图上并没有标明测量真值的位置。因此，只分析残差是无法发现恒定系统误差的,用残差散点图观察系统误差是否存在，还缺乏定量的检验界限,两个常用从残差出发的系统误差检验方法,和检验法,小样本序差法,将测量列中前,K,个残差相加，后,n-K,个残差相加。当,n,为偶数时，取 ，,n,为奇数时，取,和检验法,（,检验显著递增和递减误差）,前半残差和,后半残差和,引入统计量,若,存在显著的线性变化或递增、递减系统误差 。,记序差,序差平方和,残差平方和,（突出分散性）,引入统计量,若,则存在显著的周期性变化系统误差。,小样本序差法,：,用于发现周期性系统误差,【,例,】,在研究光电显微镜中，曾对其读数电表的示值精度进行检定，所得,15,次重复测量的读数,2.9,，,3.0,，,3.1,，,3.0,，,3.1,，,3.2,，,3.1,，,2.8,，,2.9,，,2.9,，,3.0,，,3.0,，,2.9,，,2.9,，,2.8,，试判断有无系统误差。,【,解,】,先作出残差散点图，判断图中前半残差符号偏正，后半残差符号偏负，数值由小变大，又由大变小。因此，可能存在周期或递减误差，但还需要定量的检定准则来帮助判定。,0,5,10,15,-0.2,-0.15,-0.1,-0.05,0,0.05,0.1,0.15,0.2,0.25,有,故认为数据存在显著的递减系统误差。,和检验法,查表得,有,故认为存在显著的周期性系统误差。,结论：该组数据存在显著的递减和周期性系统误差。,小样本序差法,三、多台仪器间的比对测试,缺少标准器具的检定手段时，可以考虑选择几个实验室之间进行比对测试，在严格规定比对测试的规范基础上，可以通过对几个参加实验室的测试数据的汇总、统计分析，得出一些说明实验室之间测试结果是否有显著差异的结论。,在检查仪器的测量稳定性试验中，需要对仪器的某标准测量值进行不同时间段的多次重复测量，得到多组数据,组间,t,检验法,组间,F,检验法,两组数据,统计量,给定显著水平，若 ，则与有显著差别，即存在系统误差；反之则无根据怀疑两组间有系统误差。,1,、组间,t,检验法（组数,m=2,，正态）,2,计算数据比较法,对同一量值在,测量条件不同,，,测量次数也不同,的情况下进行两组（或多组）测量。设测量次数分别为,n,1,和,n,2,次，得两组算术平均值 和,我们可以证明两算术平均值之差的方差为：,由于两组测值是服从正态分布的随机变量，故其,算术平均值的差值也服从正态分布,，因此，可用,区间的概率估计原理,来判断是否有,定值,系统误差，即：,两组算术平均值,之差为,：,例,1,惰性气体（氩）的发现。,瑞利（,Rayleigh,）测定氮气的密度：,化学方法，平均密度：,2.29971,，标准差：,0.00041,；,大气分离，平均密度：,2.31022,，标准差：,0.00019,。,取,置信概率,=99.73%,来判断，则,故可判断其中一定有系统误差，经检查由于操作技术等明显因素产生系统误差的可能性很小。进一步仔细分析，结果,发现了惰性气体（氩）,的存在。,【,例,】,对某电阻器进行,10,次测量，其均值和标准差估计值分别为 和,两周后又用对电阻器进行,5,次测量，其均值和标准差估计值分别为 和试分析该两组测量结果是否有显著差异。（显著水平）,【,解,】,查,t,分布临界值表有,两组数据的标准差,由于,故可断定在下两组均值之间有显著差异。,第三节,系统误差的减小与消除,补偿,和减少系统误差的途径有以下,3,个方面：,（,1,）从误差根源上消除；,（,2,）在测量过程中采取一定措施,避免系统误差,引入测量结果；,（,3,）设法掌握系统误差的具体大小数值，从测量结果中修正。,应该指出，,系统误差的消除，一般只能达到一定限度,，而,不能够完全消除,。,限度以外的微小误差,已,具有随机性,，一般可采用随机误差的处理方法来估计其对测量结果的影响。,对比检定法（修正值法）,在确信没有明显变值系统误差，可以改用更好的测量条件（如改用,更高精度,的仪器或基准），进行检定性测量。并以检定性测量的结果作为约定真值，求出,两者算术平均值之差,，则该差值即为被判断的测量条件下的系统误差。 这时即可同时得到该测量点的定值系统误差,修正值,，也可,检定多点而制成修正值表,。 通过修正后可,补偿,和减少,系统误差，即可,得到修正系统误差后的测量结果,。,改进测量方法,在测量过程中，根据具体的测量条件和系统误差的性质，采取一定的技术措施，选择适当的测量方法，使测得值中的系统误差在测量过程中相互抵消或补偿而不带入测量结果之中，从而实现减弱或消除系统误差的目的。,恒定系统误差,替代法,交换法,抵消法,线性系统误差,周期性系统误差,对称补偿法,半周期法,等臂天平称重,先将被测量 放于天平一侧，标准砝码放于另一侧，调至天平平衡，则有,移去被测量 ，用标准砝码 代替，若该砝码不能使天平重新平衡，如能读出使天平平衡的差值 ，则有,便消除了天平两臂不等造成的系统误差。,由于（存在恒定统误差的缘故）,恒定系统误差替代法举例,根据误差产生原因，将某些条件交换，以消除系统误差。,恒定系统误差交换法,等臂天平称重,先将被测量 放于天平一侧，标准砝码放于另一侧，调至天平平衡，则有,若将与交换位置，由于（存在恒定统误差的缘故），天平将失去平衡 。原砝码,P,调整为砝码,才使天平再次平衡。于是有,则有,消除了天平两臂不等造成的系统误差。,恒定系统误差抵消法,进行两次反向测量，该两次测量读数时出现的系统误差大小相等，符号相反，即,取两次测值的平均，有,在使用直角尺检定某量仪导轨运动的垂直度时，可用它分别读数一次取算术平均值的方法，以使直角尺垂直误差得到补偿。,在使用丝杠传动机构测量微小位移时，为消除测微丝杠与螺母间的配合间隙等因素引起的空回误差，往往采用往返两个方向的两次读数区算术平均值作为测得值，以补偿空回误差的影响,线性系统误差,-,对称补偿法,线性系统误差一般多随时间呈线性变化，测量时测量顺序对称测量，可达到,补偿减小线性系统误差的目的。例：测高准确度块规两面的,平行性,：,图中：,0,高准确度块规,测量次序：,1-2-3-4-5,5-4-3-2-1,相同点两次测值相加。,周期性系统误差,-,半周期法,仪器度盘安装偏心、测微表针回转中心与刻度盘中心的偏心,e,引起的刻度示值，误差呈周期性变化，即误差,消除周期系统误差的基本方法是半周期法。,复杂规律变化的系统误差,构造合适的数学模型，进行实验回归统计后，对该误差进行补偿和修正。,改用组合测量等方法，使系统误差以尽可能多的组合方式出现于被测量中，使之具有偶然误差的抵偿性，即以系统误差随机化的方式消除其影响。这种方法叫组合测量法。如用于检定线纹尺的组合定标法和度盘测量中的定角组合测量法以及力学计量中检定砝码的组合测量法等,思考与练习题,5-10,对某量进行两组等权测量，其数据如下：,甲组：,25.94,，,25.97,，,26.03,，,25.98,，,26.04 26.02,，,26.04,，,25.98,，,25.96,，,26.07,乙组：,25.93,，,25.94,，,26.02,，,25.98,，,26.01 25.90,，,25.93,，,26.04,，,25.94,，,26.02,(1),试用残差统计法判断各组中是否有系统误差；,(2),假设各组无系统误差，试用,t,检验法检查两族之间是否有系统误差（ ）。,5-11,为检验某种测量锌含量的方法是否存在系统误差，用含锌量,25.04%,的标准物质作样品，重复测,30,次，得平均测值,25.22%,，标准差,0.46%,，试判断有无系统误差（ ）。现用此法测得某试样的平均值,27.19%,，试修正该试样的分析结果。,