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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.3 函数的基本性质,函数的单调性,01 十月 2024,观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：,1,、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？,2,、,随,x,的增大，,y,的值有什么变化？,画出下列函数的图象，观察其变化规律：,1,、从左至右图象上升还是下降,_?,2,、,在区间,_,上，随着,x,的增大，,f(x),的值随着,_,f(x) = x,(-,+),增大,上升,O,x,y,画出下列函数的图象，观察其变化规律：,O,x,y,x,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,O,x,y,x,y,O,1,、在区间,_,上，,f(x),的值随着,x,的增大而,_,2,、 在区间,_,上，,f(x),的值随,着,x,的增大而,_,(-,0,减小,(0,+),增大,一、函数单调性定义,一般地，设函数,y=f(x),的定义域为,I,，,如果对于定义域,I,内的某个区间,D,内的任意两个自变量,x,1,，,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f(x,1,)f(x,2,),，那么就说,f(x),在区间,D,上是,增函数,1,增函数,一般地，设函数,y=f(x),的定义域为,I,，,如果对于定义域,I,内的某个区间,D,内的任意两个自变量,x,1,，,x,2,，当,x,1,f(x,2,),，那么就说,f(x),在区间,D,上是,减函数,2,减函数,增函数、减函数的概念：,增函数、减函数的概念：,一般地，设函数,f,(,x,),的定义域为,I,.,1.,如果对于定义域,I,内的某个区间上的任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，那么就说,f,(,x,),在这个区间上是,增函数,.,增函数、减函数的概念：,一般地，设函数,f,(,x,),的定义域为,I,.,1.,如果对于定义域,I,内的某个区间上的任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，那么就说,f,(,x,),在这个区间上是,增函数,.,2.,如果对于定义域,I,内的某个区间上的任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，那么就说,f,(,x,),在这个区间上是,减函数,.,增函数、减函数的概念：,一般地，设函数,f,(,x,),的定义域为,I,.,1.,如果对于定义域,I,内的某个区间上的任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，那么就说,f,(,x,),在这个区间上是,增函数,.,2.,如果对于定义域,I,内的某个区间上的任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，那么就说,f,(,x,),在这个区间上是,减函数,.,一般地，设函数,f,(,x,),的定义域为,I,.,增函数、减函数的概念：,1.,如果对于定义域,I,内的某个区间上的任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，那么就说,f,(,x,),在这个区间上是,增函数,.,2.,如果对于定义域,I,内的某个区间上的任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，那么就说,f,(,x,),在这个区间上是,减函数,.,一般地，设函数,f,(,x,),的定义域为,I,.,增函数、减函数的概念：,1.,如果对于定义域,I,内的某个区间上的任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，那么就说,f,(,x,),在这个区间上是,增函数,.,2.,如果对于定义域,I,内的某个区间上的任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，那么就说,f,(,x,),在这个区间上是,减函数,.,增函数、减函数的概念：,一般地，设函数,f,(,x,),的定义域为,I,.,1.,如果对于定义域,I,内的某个区间上的任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，那么就说,f,(,x,),在这个区间上是,增函数,.,2.,如果对于定义域,I,内的某个区间上的任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，那么就说,f,(,x,),在这个区间上是,减函数,.,增函数、减函数的概念：,一般地，设函数,f,(,x,),的定义域为,I,.,1.,如果对于定义域,I,内的某个区间上的任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，那么就说,f,(,x,),在这个区间上是,增函数,.,2.,如果对于定义域,I,内的某个区间上的任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，那么就说,f,(,x,),在这个区间上是,减函数,.,增函数、减函数的概念：,一般地，设函数,f,(,x,),的定义域为,I,.,1.,如果对于定义域,I,内的某个区间上的任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，那么就说,f,(,x,),在这个区间上是,增函数,.,2.,如果对于定义域,I,内的某个区间上的任意,两个自变量的值,x,1,x,2,，当,x,1,x,2,时，都有,f,(,x,1,),f,(,x,2,),，那么就说,f,(,x,),在这个区间上是,减函数,.,一般地，设函数,f,(,x,),的定义域为,I,.,增函数、减函数的概念：,1,、,函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的,局部性质,；,注意：,2,、,必须是对于区间,D,内的,任意,两个自变量,x,1,，,x,2,；当,x,1,x,2,时，,总有,f(x,1,)f(x,2,),分别是增函数和减函数,.,如果函数,y=f(x),在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数,y=f(x),在这一区间具有（严格的）,单调性,，区间,D,叫做,y=f(x),的,单调区间,.,二,函数的单调性定义,提问：,判断：,1.,定义在,(a,b),上的函数,f(x),若存在,x,1,x,2,且,ax,1,x,2,b,有,f(x,1,)f(x,2,),那么,f(x),在,(a,b),上是增函数,( ),o,x,y,x,1,f(x,1,),x,2,f(x,2,),2.,若函数在,(-1,0),上是增函数,在,(0,1),也,是增函数,那么在,(-1,0)(0,1),上一定是,增函数,.,o,x,y,-1,1,x,1,x,2,f(x,1,),f(x,2,),y,o,x,o,y,x,y,o,x,y,o,x,y,o,x,在,增函数,在,减函数,在,增函数,在,减函数,在,(,-,+,),是减函数,在,(,-,0,),和,(,0,+,),是减函数,在,(,-,+,),是增函数,在,(,-,0,),和,(,0,+,),是增函数,y,o,x,-2,3,2,1,-1,y,-3,-4,4,O,x,2,-2,3,1,-3,-1,5,-5,例,1,右图是定义在,闭区间,5, 5,上,的函数,y,f,(,x,),的图,象，根据图象说出,y,f,(,x,),的单调区间，,以及在每一单调区,间上，,y,f,(,x,),是增函数还是减函数,函数,y,f,(,x,),的单调区间有,5,2),，,2, 1),，,1, 3),，,3, 5,，,解：,其中,y,f,(,x,),在,5,2),，,1, 3),上是减函数，,在区间,2, 1),，,3, 5,上是增函数,要,了解函数在某一区间上是否具有单调性，从,图象,上进行,观察,是一种常用而又较为,粗略,的方法。,严格,地说，它需要根据单调函数的,定义,进行,证明,。,例,2,、物理学中的玻意耳定律 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积,V,减小时，压强,p,将增大。试用函数的单调性证明之。,证明：,根据单调性的定义，设,V,1,，,V,2,是定义域,(0,，,+),上的任意两个实数，且,V,1,V,2,，则,由,V,1,，,V,2,(0,，,+),且,V,1,0, V,2,- V,1,0,又,k0,于是,所以，函数 是减函数,.,也就是说，当体积,V,减少时，压强,p,将增大,.,取值,定号,变形,作差,结论,判,断函数单调性的方法步骤,1,任取,x,1,，,x,2,D,，且,x,1,x,2,；,2,作差,f(x,1,),f(x,2,),；,3,变形（通常是因式分解和配方）；,4,定号（即判断差,f(x,1,),f(x,2,),的正负）；,5,下结论（即指出函数,f(x),在给定的区间,D,上的单调性）,利用定义证明函数,f(x),在给定的区间,D,上的单调性的一般步骤：,练习,:,证明：函数,f ( x ) = 3x+2,在,R,上,是单调增函数。,证明：设,x,1,，,x,2,是,R,上的任意两个值，且,x,1,x,2,，,则,f ( x,1,),f ( x,2,),=,（,3x,1,+2,）（,3 x,2,+2,）,= 3,（,x,1,x,2,）,x,1,x,2,，,x,1,x,2, 0,f ( x,1,),f ( x,2,) 0,即,f ( x,1,) f ( x,2,),所以,函数,f ( x ) = 3x+2,在,R,上是单调增函数。,变式,2,：,函数,f,(,x,),kx,b,(,k,0),在,R,上是增,函数还是减函数？并证明,变式,1,：,函数,f,(,x,),3,x,2,在,R,上是增函数,还是减函数？,例,3,证明函数 在,(0,+),上,是减函数,.,证明：,设 是（,0,，,+,）上的任意两个,实数，且 ，则,又由 ， 得,于是 ，即,所以， 在（,0,，,+),上是减函数,.,取值,作,差,变形,定号,下结论,由 ，得,变题,:,证明函数 在,(-,0),上,是减函数,.,由 ， 得,又由 ， 得,于是 ，即,所以， 在 上是减函数,.,证明：,设 是 上的任意两个,实数，且 ，则,（,- ,，,0,）,（,- ,，,0,）,（,- ,，,0,）,变式,2,：,讨论函数,f,(,x,), 在定义域上的,单调性,结论,：,函数,f,(,x,), 在其定义域上不具有,单调性,判定函数在某个区间上的单调性的,方法步骤,:,3.,定号：,判断上述差的符号,;,4.,下结论,1.,取值：,设,x,1,x,2,给定的区间，且,x,1,x,2,;,2.,作差、变形,计算,f,(,x,1,),f,(,x,2,),至最简,;,(,若差,0,，,则为增函数,;,若差,0,，,则为减函数,).,练习题：,1.,证明：函数 在区间 上,是减函数。,2.,证明：函数 在区间 上,是增函数。,3.,已知函数 在 上是增函数，且,，求 的取值范围。,1,两个定义：增函数、减函数,课堂小结,1,两个定义：增函数、减函数,2,两种方法：,判断函数单调性的方法,有图象法、定义法,课堂小结,练习,p32,练习,1,，,2,，,3,，,4,
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