态和力学量表象

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 态和力学量表象,1,态的表象,2,算符的矩阵表示,3,量子力学公式的矩阵表述,4,么正变换,5 Dirac,符号,6,Hellmann - Feynman,定理及应用,7,占有数表象,1,2,3,4,5,6,7,1,态的表象,几何学中选用坐标系不是唯一的,:,直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等,但它们对空间的描写是完全是等价的。,三维空间中的矢量及基矢量,也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。,量子力学中描述体系的状态也不是唯一的：,描写状态的波函数可以是坐标的函数，,力学量则用作用于坐标函数的算符表示。,表象,：,量子力学中态和力学量的具体表示 方式称为表象。,坐标表象、动量表象、其它力学量表象,（一）动量表象,（三）讨论,（二）力学量表象,在坐标表象中，体系的状态用波函数,(x,t,),描写，这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。,动量本征函数：,组成完备系，任一状态,可按其展开,展开系数,（一）动量表象,证,动量表象中的归一化条件为：,|,C(p,t,)|,2,d p,：是在,(x,t,),所描写的状态中，测量粒子的,动量所得结果在,p p + d p,范围内的几率,|,(x,t,)|,2,d x,：是在,(x,t,),所描写的状态中，测量粒子的位,置所得结果在,x x + d x,范围内的几率,(x,t,),与,C(p,t,),一 一 对应，描述同一状态,(x,t,),是该状态在坐标表象中的波函数,C(p,t,),是该状态在动量表象中的波函数,C(p,t,),物理意义,或者：,在,t,时刻，粒子的动量出现在,p p + d p,范围内的几率,若,(x,t,),描写的态是具有确定动量,p,的自由粒子态，即：,则相应动量表象中的波函数：,所以，在动量表象中，具有确定动量,p,的粒子的波函数是以动量,p,为变量的,函数。即：动量本征函数在自身表象中是一个,函数。,x,在自身表象即坐标表象中对应,有确定值,x,本征函数是,(x-x,),同样,这可由本征,值方程看出：,那末，在任一力学量,Q,表象中，,(x,t,),所描写的态又如何表示呢？,推广上述讨论：,x, p,都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象,任何力学量,Q,都可以建立一种表象，称为力学量,Q,表象,问题,（,1,）具有分立本征值的情况,（,2,）含有连续本征值情况,（二）力学量表象,（,1,）具有分立本征值的情况,设 算符,Q,的本征值为：,Q,1, Q,2, .,Q,n, .,，,相应本征函数为：,u,1,(x), u,2,(x), .,u,n,(x,), .,。,将,(x,t,),按,Q,的,本征函数展开：,若, u,n,都是归一化的，,则,a,n,(t,),也是归一化的,。,由此可知，,| a,n,|,2,表示,在,(x,t,),所描述的状态,中测量,Q,得,Q,n,的几率。,a,1,(t), a,2,(t), .,a,n,(t,), .,就是,(x,t,),所描写状态在,Q,表象中的表示。,写成,矩阵形式,证：,共轭矩阵,归一化可写为,（,2,）含有连续本征值情况,例如氢原子能量就是这样,一种力学量，即有分立也,有连续本征值。,设力学量,Q,的本征值和本征函数分别为：,Q,1, Q,2, .,Q,n, ., q,u,1,(x), u,2,(x), .,u,n,(x,), .,u,q,(x,),则,归一化则变为：,|a,n,(t)|,2,是在,(x,t,),态中测量力学量,Q,所得结果为,Q,n,的几率；,|a,q,(t)|,2,dq,是在,(x,t,),态,中测量力学量,Q,所得结果在,q q + d q,之间的几率。,在这样的表象中，,仍可以用一个列矩阵表示：,归一化仍可表为：,+,= 1,同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同，,波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态,。,（三）讨论,这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量,A,在直角坐标系由三分量,Ax Ay,Az,描述；在球坐标系用三分量,Ar,A,A,描述。,Ax Ay,Az,和,Ar, A, A,形式不同，但描写同一矢量,A,。,基本矢量,态矢量,波函数,是态矢量,在,Q,表象中沿各基矢方向上的,“,分量,”,。,Q,表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的抽象的函数空间，称为,Hilbert,空间,。,把状态,看成是一个矢量,态矢量,选取力学量,Q,表象,-,相当于选取特定的坐标系,u,1,(x), u,2,(x), .,u,n,(x,), .,是,Q,表象 的基本矢量简称基矢。,Hilbert,空间,:,以力学量本征函数为基矢所,构成的空间,（一）力学量算符的矩阵表示,（二）,厄密算符的矩阵在,表象中的情况,（三）,有连续本征值的情况, 算符的矩阵表示,返回,1.,表象：,量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象,。,坐标表象、动量表象、其它力学量表象,复习,基矢,态矢量,把状态,看成是一个矢量,态矢量,选取力学量,Q,表象,-,相当于选取特定的坐标系,2.,态矢量在,Q,表象下的表示：,设 算符,Q,的本征值为：,Q,1, Q,2, .,Q,n, .,，,相应本征函数为：,u,1,(x), u,2,(x), .,u,n,(x,), .,。,Q,表象的基本矢量,i j k,相当于矢量,相当于矢量,的分量,A,x,、,A,y,、,A,z,力学量算符,F,在,Q,表象下的表示是什么？,量子力学公式在,Q,表象下的表示是什么？,问题,（一）力学量算符的矩阵表示,在坐标表象中：,在 表象中：,于是有：,可见 必是,一矩阵。,一、算符的矩阵表示,以,u,m,*,左乘上式并积分，得,写成矩阵形式如下,在,Q,表象下,其中,算符在,Q,表象中是一个矩阵，其矩阵元为,F,mn,例,1,：求,L,x,在,L,2,L,z,共同表象，,=1,子空间中的矩阵表示。,令：,u,1,=Y,11,u,2,=Y,10, u,3,=Y,1-1,L,x,矩阵是,33,矩阵,则,L,x,的矩阵元可如下计算：,计算中使用公式,由此得,L,x,矩阵元,(L,x,),11,= (L,x,),22,= (L,x,),33,= 0,(L,x,),13,= (L,x,),31,= 0,(L,x,),12,= (L,x,),21,= (L,x,),23,= (L,x,),32,=,/2,1/2,L,z,在自身表象中具有最简,单形式，是一个对角矩阵，,对角元素就是,L,z,的本征值。,同理可得,L,y,L,z,写,成,矩,阵,1.,以二阶矩阵为例：,（二）厄密算符的矩阵在,Q,表象中的特点,一个矩阵取其厄密共轭，相当于矩阵转置后再取复共轭，即,当一个矩阵等于它的厄密共轭矩阵，即,时，称厄密自共轭矩阵，简称厄密矩阵,其矩阵元满足下述关系,表示：厄密矩阵的对角元（ ）为实数,各个非对角元素，对于主对角线是复数共厄反射对称,厄密算符力学量对应的矩阵必是厄密矩阵对角元,是实数厄密算符的本征值必定是实数,（,2,）厄密算符在,Q,表象中的矩阵为厄密矩阵,所以厄密算符的矩阵,表示是一厄密矩阵。,例,2,：在例,1,中给出了,L,x, L,y,在,L,2,L,z,表象中的矩阵形式，下面我们验证一下这两个矩阵是厄密矩阵。,厄密矩阵,（,3,）算符在自身表象中的形式,Q,的矩阵形式,算符在自身表象中是一对角矩阵,对角元素就是算符的本征值,结论,：,（,1,）只有连续本征值,如果,Q,只有连续本征值,q,，只需将,u, a, b,的角标从可数的,n, m,换成连续变化的,q,，求和换成积分，见下表。,分立谱,连续谱,算符,F,在,Q,表象仍是一个矩阵，矩阵元由下式确定：,矩阵的行列是不是可数的，而是用连续下标表示,（三）,Q,有连续本征值的情况,其中，,q,为本征值，,u,q,（,x,）为对应的本征函数,例,3,： 求,F,算符在坐标表象中的矩阵元,例,4,：,求,F,算符在,动量表象中的矩阵元,要计算此积分，需要,知道,F,的具体形式,.,2,、有连续本征值和分立本征值,在连续谱情况下，所有矩阵都是象征性的。,作业,求,L,y,在,L,2,L,z,共同表象，,=1,子空间中的矩阵表示。,P116 4.1 4.2,一、归一化条件在,Q,表象中的矩阵表示,二、平均值公式,三、本征方程,四、,Schrodinger,方程的矩阵形式,3,量子力学公式的矩阵表述,返回,设,是归一化的，有,其矩阵形式：,一、归一化条件在,Q,表象中的矩阵表示,坐标表象平均值公式,在,Q,表象中平均值公式,右式写成矩阵相乘形式,二、平均值公式在,Q,表象中的矩阵表示,简写成,行矩阵,F,矩阵,列矩阵,写成矩阵形式,表成显式,三、本征值方程在,Q,表象中的矩阵表示,整,理,改,写,上式是一个齐次线性方程组,方程组有不完全为零解的条件是系数行列式等于零,久,期,方,程,解久期方程,:,得到一组,值：,1,2,.,n,. F,的本征值,将其分别代入原方程组就能得到相应于各,i,的本征矢,求解微分方程问题就转化,成求解代数方程根的问题,另一角度,在,Q,表象中的矩阵形式,得久期方程：,例题：已知力学量 在某表象中的矩阵为,求 的本征值和归一化的本征函数,解： 矩阵形式的本征方程：,本征值,例,2,：,本征函数,u,m,(x,),在自身表象中的矩阵表示。,同样将,u,m,(x,),按,的本征函数展开：,显,然,有,所以,u,m,(x,),在自身表象中的矩阵表示如下,：,例如：,L,2,L,z,的共同本征函数,Y,11, Y,10, Y,1-1,.,在,L,2,L,z,的共同表象中的矩阵形式就特别简单,。,例,2,：求,L,x,本征态在,L,z,表象中的矩阵表示，只讨论,(,=1),情况。,L,x,的本征方程为：,解,欲得,a,1, a,2, a,3,不全为零的解，,必须要求系数行列式等于零,(-,2,+,2,) = 0,解得本征值,= 0,.,取,=,代入本征方程得：,解得：,a,1,=(1/2,1/2,) a,2,a,3,=(1/2,1/2,) a,2,则,=1, L,x,=,的本征态,可记为：,同理得另外两个本征值相应本征函数,由归,一化,条件,定,a,2,为简单计,取实数,写 到,Q,表 象,按力学量算符,Q,的本征函数展开,左乘,u,m,*(t),对,x,整个空间积分,四、,Schrodinger,方程的矩阵形式, H,都是矩阵,简写,作 业,周世勋：,量子力学教程,4.4,4,么正变换,返回,（一）不同表象之间的变换和么正变换矩阵,（二）,变换矩阵的性质,（三）么正变换的性质,(1),设算符,A,的正交归一本征函数：,（一）不同表象之间的变换和么正变换矩阵,设算符,B,的正交归一本征函数：,表示,B,表象中的基矢,用,A,表象中的基矢,n,来表示,或：,A,表象中的基矢,n,变换到,B,表象中的基矢,3,、变换矩阵的性质,S,+,S = S S,+,=I S,+,= S,-1,所以,么正矩阵的条件,么正变换：由么正矩阵所表示的变换,由,A,表象变换到,B,表象的变换,（厄密矩阵的条件：,S,+,= S,）,（,2,）,F,由,A,表象变换到,B,表象的变换的公式,F,在,B,表象中的矩阵,F,在,A,表象中的矩阵,S,为,A,基矢变换到,B,基矢的矩阵,（,3,）态矢量,U,（,x,，,t,）由,A,表象变换到,B,表象的变换,态,U,在,A,、,B,表象中态矢量,U,（,x,，,t,）为,4,、么正变换的性质,（,1,）么正变换不改变算符的本征值,（,2,）么正变换不改变矩阵,F,的迹,矩阵的迹：该矩阵对角元素之和，即,Sp,F,是对角矩阵,B,表象是自身的表象,F,的对角元即为,F,的本征值,本征值问题：寻找一个么正变换，把算符,F,从,原来的表象变换到自身的表象，,即：使,F,的矩阵对角化,5 Dirac,符号,(,一）引,言,(,二,),态矢量在具体表象中的表示,（三）,算符在具体表象中的表示,（四）总结,返回,在几何或经典力学中,：,矢量,A,规律与坐标系无关,不指明具体坐标系,如牛顿第二定律,可以用直角坐标系来表示,球坐标系,不指明具体坐标系,量子力学： 态、力学量、规律可以用, 各种表象表示,也可以不用具体表象,一、引言,刃矢（刃）,（右矢）,1.,矢量符号：,刃矢,A,2.,态矢量：,3.,刃矢和刁矢的关系：刃和刁是两种性质不同的矢量，两,者不能相加，它们在同一种表象中,的相应分量互为共厄复数。,即，分量形式：,| A ,在,Q,表象中的分量,a,1,a,2,a,n,或,| n ,表示能量本征态；,例,1,.,例,2.,坐标,x,的本征矢的正交归一条件,:,动量,p,的本征矢的正交归一条件,:,态的归一是,两态正交是,任意一个刃矢或刁矢可以用,F,算符的本征函数系（完全系）展开,基刃或基刁,二、态矢量在具体表象中的表示,1.,态矢量在,F,表象中（本征函数,k,，本征矢,I,k,或,I,k,）展开,写成列矢量形式,2.,投影算符,P,k,：,物理意义：,P,k,对任意态矢量,I,运算后，就得到态,矢,I,在基矢,I,k,方向上的分量,3.,本征矢（基矢）的封闭性,展开式,两边左乘,是任意态矢量，所以,成立,。,本征矢,|n ,的封闭性,I,分 立 谱,对于连续谱,|q ,，,q,取连续值，任一状态,| ,展开式为：,II,连 续 谱,左乘,是任意态矢，所以有,同理，对于,|x,和,|p ,分 别 有,这就是连续本征值的本征矢的封闭性。,由于,称为单位算符，在运算中可插入（乘到）公式任何地方而不改变原公式的正确性。,例如：在,| ,左侧插入算符,同理,即得态矢按各种力学量本征矢的展开式,4.,在,F,表象中（基矢为,I,k,），两个态矢,I,与,I,的标积,4.,在,F,表象中（基矢为,I,k,），两个态矢,I,与,I,的标积,三、算符在具体表象中的表示,设：,I,经算符,F,运算后变为,I,，即,这里未涉及具体表象，在,Q,表象中（基矢为,I,j,或,k,I,），,F,的矩阵元为：,用,k,I,左乘（,1,）式,把公式,变到,Q,表象,Dirac,符号的特点是简单灵活,如果要把上式写至,Q,表象，则只需在适当位置插入单位算符。,（,1,）,X,表象描述与,Dirac,符号,Dirac,符号,项目,X,表象,四、总结,（一）引言,（二）,H - F,定理,（三）实例,6 Hellmann - Feynman,定理及应用,返回,关于量子力学体系能量本征值问题，有不少定理，其中应用最广泛的要数,Hellmann - Feynman,定理（简称,H-F,定理）该定理的内容涉及能量本征值及各种力学量平均值随参数变化的规律。,（,1,）当体系的能量本征值已求出，借助于,H-F,定理可以得出关于各种力学量平均值的许多信息，而不必利用波函数去进行烦琐的计算,；,（,2,）利用,H-F,定理可以很巧妙地推出维里定理。,（一）引言,设体系的,Hamilton,量,H,中含有某参量,，,E,n,是,H,的本征值，,n,是归一的束缚态本征函数（,n,为一组量子数），则,证,据题设，,n,满足本征值方程：,其共轭方程为：,对,求导数并左乘,n,|,得：, = 1,证毕,由共轭方程,知，上式等,号左边第二,项为,0,，,H - F,定理很有实用价值，,H,中的,等都可以选为参数,。,（二）,H - F,定理,（,1,）证明一维谐振子, = ,。,证,一维谐振子,Hamilton,量：,方法,I,：,取,作为参数,由,HF,定理,简记为,（三）实例,方法,II,令, = ,由,HF,定理,方法,III,取, =,由,HF,定理,（,2,）对类氢离子任何一个束缚态,nlm,，求,1/r , 1/r,2,的平均值。,解,1,）求,1/r,取,Z,为变分参数,由,HF,定理,2,）求：,类氢离子径向波函数,u,nl,满足的径向方程为：,改写成,该方程可看成是一维定态方程，其等效,Hamilton,量和本征值为：,取,为变分参数,由,HF,定理,（,3,）证明维里定理,即,证,I.,在坐标表象,将,视为参数,由,HF,定理,II.,在动量表象,由,HF,定理,（,4,）对类氢原子定态，证明：,证,对类氢原子,由,HF,定理,由例（,2,）知：,（一）算符,a, a+, N.,（二）占有数表象,7,占有数表象,返回,本节我们从新的角度讨论这一问题，引进占有数表象。,（一）算符,a, a+, N.,（,1,）坐标表象下的线性谐振子,（,2,）定义新算符,a, a+, N.,令,证明二者满足如下对易关系,证,证毕,（,3,）用算符,a, a+,表示振子,Hamilton,量,由,a, a,+,定义式 将算符,x, p,用新算符,a, a+,表示出来,代入振子,Hamilton,量,2,=,/,（,4,）,a, a+, N,的物理意义,I. a, a+,的物理意义,将,a,作用在能量本征态,n,(x,),上,由,n,的递推公式,用,Dirac,符号表示,粒子,湮灭算符,粒子,产生算符,其中,|n, |n-1, |n+1,等都是,H,的本征基矢，,E,n, E,n-1, E,n+1,。是相应本征值。,因为 振子能量只能以,为单位变化，所以,能量单位可以看成是一个粒子，称为,“,声子,”,。,状态,|n ,表示体系在此态中有,n,个粒子（声子）称为,n,个声子态。,显然有,振子基态的基矢,用产生算符,a,+,表示的振子基矢,II. N,的意义,上式表明，,n,是,N,算符的本征值，描,写粒子的数目，故,N,称为粒子数算符。,以,|n ,为基矢的表象称为占有数表象,湮灭算符,a,的矩阵元,矩阵形式为：,产生算符,a,+,的矩阵元,（二）占有数表象,算符,N,的矩阵元,