2.3等差数列的前n项和-课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2,2,实例探究,:,高斯,(17771855),德国著名数学家。,1+2+3+98+99+100=,？,高斯,10,岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？,首项与末项的和：,1+100=101,，,第,2,项与倒数第,2,项的和,2+99=101,，, ,第,50,项与倒数第,50,项的和：,50+51=101,，,于是所求的和是：,10150=5050,。,实例探究: 高斯(17771855) 德国著名数学家。1+,问题,:,如何求一般等差数列的前,n,项和？,等差数列的前,n,项和,数列,a,n,中，,a,1,+,a,2,+,a,3,+,a,n,称为数列,a,n,的前,n,项和，记为,S,n,.,S,n,=,a,1,+,a,2,+,a,3,+,a,n,S,n,=,a,n,+,a,n,-1,+,a,n,-2,+,a,2,+,a,1,如果把两式左右两端相加，将会有什么结果？,问题:如何求一般等差数列的前n项和？等差数列的前n项和数列,倒序相加法,探究发现,如何求一般等差数列,a,n,的前,n,项和,S,n,？,S,n,=,a,1,+(,a,1,+,d,)+,a,1,+(,n,-1),d,S,n,=,a,n,+(,a,n,-,d,)+,a,n,-(,n,-1),d,2,S,n,=,n,(,a,1,+,a,n,),a,n,=a,1,+(,n,-1),d,倒序相加法探究发现如何求一般等差数列an的前n项和Sn？,等差数列前,n,项和公式,公式,1,公式,2,观察公式,2,看其与二次函数有何联系？,等差数列前n项和公式公式1公式2观察公式2,看其与二次函数有,将公式,2,： 变形可得,当,d,0,时，,S,n,是一个,常数项为零,的二次函数,.,当,d,=0,时，,S,n,=,na,1,，,a,n,是一个常数列，,将公式2：,三、公式的应用：,例,1.,根据下列各题中的条件，求相应的等差数列,a,n,的,S,n,知三求二,(1),a,1,=5,a,n,=95,n,=10.,求,S,10,(2),a,1,=100,d,=-2,n,=50.,求,S,50,(3),a,1,=14.5,d,=0.7,a,n,=32.,三、公式的应用：例1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列,前,9,项,例,2.,等差数列,-10,，,-6,，,-2,，,2,，,前多少项和是,54?,变式：,1645,(1),求等差数列,13,，,15,，,17,，,81,的各项和。,a,51,+,a,52,+,a,80,=393,(2),在等差数列,a,n,中，,a,4,=0.8,，,a,11,=2.2,求,a,51,+,a,52,+,a,80,三、公式的应用：,前9项例2.等差数列-10，-6，-2，2，前多少项和是5,2,n,(3),设,等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，若,a,6,=S,3,=12,，则,a,n,的通项,a,n,=_,(4),已知,数列的通项,a,n,=-5,n,+2,，则其前,n,项和为,_,(5),已知等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，,a,5,=15,，,a,10,=25.,(1),求通项,a,n,；,(2),若,S,n,=112,，求,n,.,a,n,=7+(,n,-1),2=2,n,+5,n,=8,2n(3)设等差数列an的前n项和为Sn，若a6=S3=,3.,已知,a,3,+,a,7,-,a,10,=8,a,11,-,a,4,=4,则,S,13,=_,100,例,3.,在等差数列,a,n,中，,(,1,),a,3,+,a,33,=6，求,S,35,；,(,2,),a,33,=10，求,S,65,.,变式：,在等差数列,a,n,中,-30,156,2.,已知,a,1,-,a,4,-,a,8,-,a,12,+,a,15,=2,，则,S,15,=_,三、公式的应用：,1.,已知,a,6,+,a,9,+,a,12,+,a,15,=20,，则,S,20,=_,3.已知a3+a7-a10=8,a11-a4=4,则S13=,四、小结,本节课学习了以下内容：,1,、等差数列的前项和公式,1,：,2,、等差数列的前项和公式,2,：,3,、当,d,0,时，等差数列的前,n,项的和是一个常数项为零的二次函数,四、小结 1、等差数列的前项和公式1：2、等差数列的前项和,五、等差数列前,n,项和问题,例,1,、已知,数列,a,n,的前,n,项和为：,S,n,=3,n,2,-2,n,，求这个数列的通项公式,.,这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？,解：,S,n,=3,n,2,-2,n,，,a,1,=S,1,=3-2=1,，,当,n,2,时，,a,n,=S,n,-S,n,-1,=3,n,2,-2,n,-3(,n,-1),2,-2(,n,-1)=6,n,-5,，,当,n,=1,时，,a,1,=1,也满足上式,.,a,n,=6,n,-5,，而,a,n,+1,-,a,n,=6,数列,a,n,成等差数列，且首项为,1,，公差为,6,方法点评：,a,1,=,S,1,是求数列通项的必经之路，,a,n,=,S,n,-,S,n-,1,，一般是针对,n,2,时的自然数,n,而言的，因此，要注意验证,n=,1,时是否也适合，若不适合时，则应,分段,写出通项公式,由数列的前,n,项和求数列的通项公式的步骤：,1,、令,n,=1,，求,a,1,，即,a,1,=S,1,.,2,、当,n,2,时，,a,n,=S,n,-S,n,-1,.,3,、验证,n,=1,时，,a,n,=S,n,-S,n,-1,是否成立,.,4,、得出结论,.,五、等差数列前n项和问题例1、已知数列an的前n项和为：,变式：已知,数列,a,n,的前,n,项和为：,S,n,=4,n,2,+2(,n,N*),，则求,a,n,解：,S,n,=,4,n,2,+2,，,a,1,=S,1,=4+2=6,，,当,n,2,时，,a,n,=S,n,-S,n,-1,=4,n,2,+2-4(,n,-1,),2,+2=,8,n,-4,，,当,n,=1,时，,a,1,=,8-4=46,不满足,.,变式：已知数列an的前n项和为：Sn=4n2+2(nN,2,2,练习,练习,例,3.,在等差数列,a,n,中，已知第,1,项到第,10,项的和为,310,，第,11,项到第,20,项的和为,910,，求第,21,项到第,30,项的和。,解：设等差数列的首项为,a,1,，公差为,d,，由题意，得,即：,解得：,a,21,=4+,20,6=124,，,例3.在等差数列an中，已知第1项到第10项的和为310,从上例中我们发现：,S,10,，,S,20,-S,10,，,S,30,-S,20,也成等差数列，你能得出更一般的结论吗？,等差数列前,n,项和的性质：,等差数列中：,S,k,，,S,2,k,-S,k,，,S,3,k,-S,2,k,，,，,S,n,k,-S,(,n-1,),k,也成等差数列,.,即等差数列依次每,k,项之和仍成等差数列，其公差是,k,2,d,从上例中我们发现：S10，S20-S10，S30-S20也成,练习：,1,、等差数列,a,n,的前,m,项和为,30,，前,2,m,项和为,100,，则数列的前,3,m,项的和为多少？,S,3,m,=210,2,、等差数列,a,n,，,S,10,=10,，,S,20,=100,，求,S,40,S,40,=520,练习：S3m=2102、等差数列an，S10=10，S2,已知两个等差数列,a,n,b,n,，它们的前,n,项和分别是,S,n,T,n,，则,等差数列前,n,项和的性质：,已知两个等差数列an,bn，它们的前n项和分别是S,已知两个等差数列,a,n,b,n,，它们的前,n,项和分别是,S,n,T,n,，若,练习,已知两个等差数列an,bn，它们的前n项和分别是Sn,例,1,、等差数列,a,n,中，,a,1,=25,，,S,17,=,S,9,，问数列前多少项之和最大，并求此最大值,六、等差数列前,n,项和的最值问题,例1、等差数列an中，a1=25，S17=S9，问数列前,解二：,S,17,=,S,9,，,S,17,-,S,9,=0,即,a,10,+,a,11,+,a,17,=0.,a,10,+,a,17,=,a,11,+,a,16,=,a,13,+,a,14,.,a,13,+,a,14,=0,a,1,=250,，,a,13,0,，,a,14,0,， 前,n,项之和为,S,n,， 且,S,7,=,S,13,，问,n,为何值时,S,n,最大？,例2、在等差数列an中，a10， 前n项之和为Sn，,1,、已知等差数列,a,n,中，,a,1,=-2,并且,S,3,=S,7,，试求,S,n,的最小值及此时的,n,的值。,练习,1、已知等差数列an中，a1=-2,并且S3=S7，试求,2,、已知等差数列,a,n,中，,a,1,0,并且,S,4,=S,9,，试求,S,n,的最大值时,n,的值。,6,或,7,3,、等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,已知,a,3,=,24,，,S,11,=,0,求,(1),数列,a,n,的通项公式,(2),当,n,为何值时，,S,n,最大，,S,n,最大值为多少,n,=5,或,6,时,最大值为,120.,练习,2、已知等差数列an中，a10,并且S4=S9，试求S,2,裂项法求和,裂项法求和,一般地，每一项都能拆分为两项的差，累加后能抵消若干项的数列可用,裂项求和法,求和,一般地，每一项都能拆分为两项的差，累加后能抵消若干项的数列可,2,2,2,求通项公式,1,、已知,a,1,=3,且,a,n,=S,n,-1,+2,n,(,n,2,，,n,N*),，求,a,n,和,S,n,.,求通项公式1、已知a1=3且an=Sn-1+2n(n2，n,2,练习,练习,2,感谢聆听,感谢聆听,