数学家生日蛋糕

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,end,实验四,数学家的生日蛋糕,积分,一、引例：数学家的生日蛋糕,某数学家的学生要送一个特大的蛋糕来庆贺他90岁生日。为了纪念他提出的,口腔医学的悬链线模型,，学生们要求,蛋糕店老板将蛋糕边缘半径作成下列,悬链线函数,r=2-(exp(2h)+exp(-2h)/5,0h1,(,单位：米)。,蛋糕的成本取决于,蛋糕的重量和表面积（底面除外），问如何计算重量和表面积？,解,设高为,H，,半径,r,比重为,k,若蛋糕是单层圆盘的，则蛋糕的重量和表面积分别为：,W=k,Hr,2,S=2,Hr+,r,2,若蛋糕是双层的，每层高,H/2，,下层半径,r,1,上层半径,r,2,，,则,W=k,H(r,1,2,+r,2,2,)/2,S=,H(r,1,+r,2,)+,r,2,2,如果蛋糕是,n,层的，每层高,H/n，,半径分别,r,1,r,n,则,r,H,r,1,r,2,若蛋糕边缘是曲线,r=r(h),0hH，,各层半径近似为,r,i,=r(i-1/2)H/n),i=1,n,那么,当,n,，,二、数学理论复习：积分,函数,f(x),在区间,a,b,上的积分定义为,其中,a=x,0,x,1,x,n,=b,x,i,=,x,i,-,x,i,-1,i,(,x,i,-1,x,i,),i=1,2,n,若在,a,b,上,F,(x)=f(x),则,二重积分定义为,三、数值积分：梯形法和重积分,1、,梯形法,在,x,i,-1,x,i,上,f(x),近似为一直线，用弦线代替，则,设,f(x),在,a,b,上大于0，,a=x,0,x,1,x,n,=b,则,a,x,i,-1,b,x,i,通常将,a,b,区间,n,等分，,h=(b-a)/n,x,i,=a+,ih,称为梯形公式,2,、重积分,重积分的数值计算可通过单积分组合计算,我们利用梯形法，先将,a,b,区间,m,等分，,h,x,=(b-a)/m,x,i,=a+,ih,x,i=0,1,m,再将,c(,x,i,),d(,x,i,),区间,n,等分,h,y,(i)=(d(,x,i,)-c(,x,i,)/n,y,ij,=c(,x,i,)+,jh,y,(i),则,G(,x,i,),A,a,b,d(x),c(x),其中,M,文件,dblquad2.m,给出二重积分数值计算法。,I=dblquad2(,f_name,a,b,c_lo,d_hi,m,n),其中,f_name,为被积函数,f(x,y),字符串,其中,x,为标量,y,为向量,c_lo,和,d_hi,是,y,的下上限,;,a,b,为,x,的下上限；,m,n,为,x,和,y,方向的等分数(缺省值100)。,四、使用,MATLAB,解 将被积函数及,y,的上下限函数写为,M,函数文件，再调用,dblquad2,即可求解。,例1,trapz,梯形法积分,quad,变步长数值积分,int,符号积分,quad8,高精度数值积分,dblquad,矩形区域的二重积分,1、梯形积分法,trapz,是最基本的数值积分方法,精度低。,z=,trapz,(x,y),返回积分的近似值，其中,x,表示积分区间的离散化向量;,y,是与,x,同维数的向量,表示被积函数。,例2,解,clear;x=-1:0.1:1;y=exp(-x.2);,trapz,(x,y),2、变步长数值积分,z=quad8(,fun,a,b,tol,),返回积分的近似值，,其中,fun,表示被积函数的,M,函数名,a、b,表示积分下上限,tol,为精度,缺省值为1,e-30。,注1：,quad,用法与,quad8,相同，但,quad8,精,度较高，且对假收敛和假奇异积分,具有一定适应性，而,quad,较差。,注2：,trapz,quad,quad8,都不能用于求广义,积分。,3,、重积分,矩形区域二重积分.,z=,dblquad,(,fun,a,b,c,d),其中,fun,表示被积函数,f,的,M,函数名,a,b,表示变量,x,的下上限，,c,d,表示变量,y,的下上限。,dblquad,只能求矩形区域的二重积分，不如上述,M,函数,dblquad2,适用面广。,4、符号积分,int,(s),符号表达式,s,的不定积分；,int,(s,v),符号表达式,s,关于变量,v,的不定,积分；,int,(s,a,b),符号表达式,s,的定积分,a,b,分别,为下上限；,int,(s,v,a,b),符号表达式,s,关于变量,v,从,a,到,b,的定积分。,例 3(引例)现在来求大蛋糕重量和表面积：,解,syms,h;r=2-(exp(2*h)+exp(-2*h)/5;,vpa(,int,(pi*r2,h,0,1),5),rn,=subs(r,h,1);,vpa,(,int,(2*pi*r,h,0,1)+pi*,rn,2,5),例 4 一半径为5,m,的球形水罐充满了水，底部有一半径为,b=0.1m,的小孔漏水，问多少时间以后，水面下降至离底部0.5,m?,解 水从孔漏出的速度由下列能量方程决定,g(z+R)=u,2,/2 ，u,是速度,z,表示从球心,测量的水面高度,g,为重力加速度。,考虑在时间,dt,内水面变化,dz,，,漏水的体积为,uAdt,=-,x,2,dz,其中,x,为高度,z,水面的半径,A=,b,2,由于,R,2,=z,2,+x,2,得,dt,=,在顶部,z=R,水降到0.5,m,时，,z=0.5-R，,从而,t=,5m,0.5,m,0,