高数对坐标的曲线积分课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高等数学,A,电子教案,一代、二换、三定限,代：,将积分曲线的参数方程代入被积函数，,换：,换弧微元,定限：,定积分限，下限,小参数，,t,的下限,.,上限,大参数, t,的上限,.,复习,:,对弧长的曲线积分计算方法,P193,第二节,一、对坐标的曲线积分的概念与性质,二、 对坐标的曲线积分的计算法,对坐标的曲线积分,第十一章,一、 对坐标的曲线积分的概念与性质,1.,引例,:,质点受,变力,F,沿曲线,L,所作的功,.,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,变力沿曲线所作的功,，,解决办法,:,设一个质点在,xoy,平面内受到力,恒力所作的功,的作用，,点,A,沿,其中,P(x,y),Q(x,y,),在,L,上连续，求变力所做的功,.,1),“,大化小,”,.,任分,L,成,n,个小弧段,2),“,常代变,”,3),“,近似和,”,4),“,取极限,”,(,其中,为,n,个小弧段的最大长度,),1.,定义,类似地定义,函数,Q(x,y,),在有向曲线弧,L,上,对坐标,y,的曲线积分,.,函数,P(x,y,),在有向曲线弧,L,上,对坐标,x,的曲线积分,.,2,、存在条件：,3,、组合形式,:,4.,推广,P(x,y,z,),在有向曲线弧 上,对坐标,x,的曲线积分,.,Q(x,y,z,),在有向曲线弧 上,对坐标,y,的曲线积分,.,R(x,y,z,),在有向曲线弧 上,对坐标,z,的曲线积分,.,4.,推广,5.,性质,性质（,1,）,性质（,2,）,性质（,3,）,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关,.,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理,一代、二换、三定限,曲线积分化成参变量的定积分,代,将,L,的参数方程 代入被积函数,换,定限,下限,起点参数值,上限,终点参数值,方法：,对坐标的曲线积分的计算法,特殊情形,将曲线积分化为定积分时，下限的参数值对应曲线起点，上限的参数值对应曲线终点,将曲线积分化为定积分时，下限的参数值对应曲线起点，,上限的参数值对应曲线终点,一代、二换、三定限,代,将,L,的参数方程代入被积函数,换,定限,下限,起点参数值,上限,终点参数值,对坐标的曲线积分的计算法,(,第二类,),例,1,.,计算,其中,L,为沿抛物线,解法,1,取,x,为参数,则,解法,2,取,y,为参数,则,从点,的一段,.,例2,解,注意,被积函数相同,起点和终点也相同,但是由于积分路径不同,导致积分结果不同,.,例,2,解,例,3,解,例,3,解,例,3,解,注意,被积函数相同,起点和终点,也相同,虽然积分路径不同,但是,积分结果相同,.,例,3,由例,2,被积函数相同,起点和终点也相同,但是由于积分路径不同,导致积分结果不同,.,由例,3,被积函数相同,起点和终点也相同,虽然积分路径不同,但是积分结果相同,.,作业：,P203,3,（,1,）、（,3,）、（,4,）、（,5,）,一代、二换、三定限,代：,将积分曲线的参数方程代入被积函数，,换：,换弧微元,定限：,定积分限，下限,小参数，,t,的下限,.,上限,大参数, t,的上限,.,对弧长的曲线积分计算方法,两种特殊情形,视,L,为特殊的参数方程,:,视,L,为特殊的参数方程,:,一代、二换、三定限,代,将,L,的参数方程代入被积函数,换,定限,下限,起点参数值,上限,终点参数值,对坐标的曲线积分的计算法,(,第二类,),特殊情形,将曲线积分化为定积分时，下限的参数值对应曲线起点，上限的参数值对应曲线终点,性质（,3,）,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关,.,例,4,解,直线段,AB,的方程是,化为参数方程得,所以,补例,解,P203,P203,P203 3,P203 3,P204,四、小结,1,、对坐标曲线积分的概念,2,、对坐标曲线积分的计算,思考题,思考题解答,曲线方向由参数的变化方向而定,.,作业：,P203,3,、（,6,）（,8,）,4,、（,1,）（,2,）（,3,）,原点,O,的距离成正比,设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,解,:,F,的大小与,M,到,F,的方向,力,F,的作用,求力,F,所作的功,.,例,5,取,利用椭圆的参数方程,:,三、两类曲线积分之间的联系,（可以推广到空间曲线上 ）,可用向量表示,有向曲线元；,练 习 题,练习题答案,证,根据定义,由于,先证,因为,L,为光滑弧,同理可证,性质（,3,）,即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关,.,证,当每小段曲线弧的方向改变时,其在坐标轴上的投影的绝对值不变但符号改变,故结论成立,.,（对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的,方向,!,）,两类曲线积分之间的联系：,其中,（可以推广到空间曲线上 ）,可用向量表示,有向曲线元,；,（可以推广到空间曲线上 ）,可用向量表示,有向曲线元；,例,6,.,将,积分,化为对弧长的积,分,解：,其中,L,沿上半圆周,