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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/2/13,#,第四章 指数函数、对数函数与幂函数,4,.,1,.,1,实数指数幂及其运算,一、有理数指数幂,二、实数指数幂,三、用信息技术求实数指数幂,四、课堂小结,五、课后作业,情境与问题,国家统计局有关数据显示，我国科研和开发机构基础研究经费支出近些年呈爆炸式增长：2013年为221.59亿元，2014年、2015年、2016年的年增长率分别为16.84%，14.06%，14.26%。,你能根据这三个年增长率的数据，算出年平均增长幸，并以2013年的经费支出为基础，预测2017年及以后各年的经费支出吗？,一,、,有理指数幂,初中我们已经学习了整数指数幂的知识，例如25=22222=32，,3,0,=,1,一般地，,a,n,中的,a,称为,底数,，,n,称为,指数,整数指数幂运算的运算法则,有,a,m,a,n,=，,(,a,m,),n,=，,(,ab,),m,=.,a,m+n,a,mn,a,m,b,m,尝试与发现,1.,阅读,课本,1-2,页，类比,二次方根和三次方根，给出四次方根和五次方根的定义,。,2.,思考：,n,次方根的定义,一般地，给定大于1的正整数,n,和实数,a,，如果存在实数,x,，,使得,x,n,=,a,，,则,x,称为,a,的,。,n,次方根,例如，因为方程,x,4,=81的实数解为3与-3，因此3与-3都是81的4次方根：因为2,5,=32，而且,x,5,=32只有一个实数解，所以32的5次方根为2,根据方程,x,n,=a,解的情况不难看出：,(,1,),0,的任意正整数次方根均为0，记为 .,(,2,),正数,a,的偶次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为,a,的,n,次算术根，记为 ，负的方根记为-；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当,a,0且,n,为偶数时，在实数范围内没有意义。,(,3,),任意实数的奇数次方根都有且只有一个,，记为 。而且正数的奇数数次方根是一个正数，负数的奇数数次方根是一个负数.,当 有意义的时候，称为根式，,n,称为根指数,，,a,称为被开方数,.,一般地，根式具有以下性质：,(1,),(2,),当,n,为奇数时，当,n,为偶数时，,例如，,尝试与发现,你能想出一个新的二次根式符号的表示方法，使 成为(,a,m,),n,=,a,mn,的特例,，成为,a,m,b,m,=(,ab,),m,的特例吗,？,请同学们阅读课本第,5,页，小组之间讨论交流一下。,一般地，如果,n,是正整数，那么：当 有意义时，规定,当 没有意义时，称 没有意义.,对于一般的正分数 ，也可作类似规定，即,但值得注意的是，这个式子在 不是既约分数（即,m,，,n,有大于1的公约数）时可能会有歧义.,例如，是有意义的，而 是没有意义的。因此，以后如果没有特别说明，,一般总认为分数指数幂中的指数都是既约分数。,负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似，即若,s,是正分数，,a,s,有意义且,a,0时，规定,a,-s,=,现在我们已经将整数指数幂推广到了分数指数幂(即有理数指数幂,),.,一般情况下，当s,与t都是有理数时,，有运算法则：,a,s,a,t,=a,s+t,(a,s,),t,=a,st,(ab),s,=a,s,b,s,求证：如果,a,b,0，,n,是大于1的自然数，那么,证明,假设 ，即,或,根据不等式的性质与根式的性质，得,a,b,矛盾，因此假设不成立，从而,利用例1的结论，可以证明（留作练习）：,（1）如果,a,s,0，s是正有理数，那么,a,s,b,s,；,（2）如果,a,1，s是正有理数，那么,a,s,1，,a,-s,1，,s,t,0，且,s,与,t,均为有理数，那么,a,s,a,t,二、实数指数幂,尝试与发现,有理数,指数幂还可以推广到无理数指数幂,，,我们,应该,怎样理解2,这个数,呢？请同学们阅读课本,6-7,页，思考这个问题。,一般,地，当,a,0且,t,是无理数时，,a,t,都是一个确定的实数，我们可以用与上述类似的方法找出它的任意精度的近似值。因此，当,a,0，,t,为任意实数时，可以认为实数指数幂,a,t,都有意义.,可以证明，对任意实数,s,和,t,，类似前述有理指数释的运算法则仍然成立,。,典型例题,例,1,用根式的形式表示下列各式,(,x,0),；,(2,).,解,：,(,1,),.,(,2),.,典型例题,例,2,计算下列各式的值,：,(,1,)(,2,),解：,(1),(,2,),典型例题,例,3,化简下列各式,：,(,1,),(,2,),解,:,(1),原式,=,(2),原式,=,三、用信息技术求实数指数幂,实数指数幂的值可以通过计算器或计算机软件方便地,求得。在,GeoGebra中，在“运算区”利用符号“”，就可以得到实数指数幂的精确值或近似值.,如图,4-1-1,所,示，前面三个是在符号计算模式下的输入和所得到的结果，后面两个是在数值计算模式下得到的结果。下面我们来求本节情境与问题中的年平均增长率。,假设年平均增长率为x，则应该有,(1+16.84%)(1+14.06%)(1+14.26%)=(1+x),3,从而x=,由此可预测2017年的科研和开发机构基础研究经费支出为,221.59(1+15.05%)4388.24（亿元）,其他年份的预测值可用类似的方法算出.,四,、,课堂小结,(1),根式,的定义,(2),分数指数,幂的概念,(3),有理,指数幂的运算性质,五,、,课后作业,必做,:,(1),课本,P8,练习,A,(2),课本,P8,练习,B T1,T2,。,选,做：,课本,P9,练习,B T3,谢谢大家,
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