信号的量化误差 (2)

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章,数字信号处理中的有限字长效应,9.1,有限字长效应及量化误差,9.2,数字滤波器系数量化误差分析,9.3,定点运算,IIR,和,FIR,数字滤波器误差分析,9.4,浮点运算数字滤波器和,FFT,算法中的有限字长效应,1,内容提要,量化误差,(1) A/D,变换器中的量化误差。,(2),滤波器的系数量化误差。,(3),运算中的量化误差。,研究,有限字长效应目的,：,（,1,）若字长固定，进行误差分析，可知结果的可信度，否则若可信度差，要采取改进措施。,（,2,）用专用,DSP,芯片实现数字信号处理时，定点与硬件采用字长有关。,2,9.1,有限字长效应及量化误差,9.1.1,有限字长效应,9.1.2,信号的量化误差,9.1.3 A/D,变换器中的量化效应,3,9,.,1,.,1,有限字长效应,信号处理在具体实现时，,字长总是有限的,，因为存储器是有限字长的，所以有限字长效应有,DF,的有限字长效应、,DFT,（,FFT,）有限字长效应、,A/D,变换器的,量化误差,。即有限字长意味着：有限运算精度和有限动态范围。在量化和运算过程中，由于有限字长必然产生误差，这些误差会给数字信号处理的实现精度和滤波器稳定性带来不良影响。,如一个线性、非移变、因果系统的差分方程为：,4,输入序列,x,(,n,),、输出序列,y,(,n,),以及方程中的系数,a,i,、,b,i,等，认为它们的数值是可以连续变化的，即：无限精度。,但当具体实现一个离散系统时，无论用软件方式还是硬件方式，都是以数字形式实现，因而都要对数据进行量化处理，即用有限字长来表示。,下面从数据的量化角度来分析误差来源及其影响。,数的表示方法有,定点制,和,浮点制,。,定点制指的是数码中小数点的位置固定不变，其不足是动态范围小，有溢出问题。而浮点制可以避免这个缺点，它的动态范围大，可以避免溢出，不需要比例因子。,浮点制是将一个数表示成尾数和指数两部分。在浮点制运算中，不论是相乘还是相加，尾数的位数都可能超过寄存器长度，都要做尾数的量化处理，因而都有量化误差。,9,.,1,.,1,有限字长效应,5,9,.,1,.,1,有限字长效应,数的二进制编码形式有,原码、反码和补码,。,二进制编码长度比寄存器长度长时，要进行尾数处理，处理的方法有,舍入法,和,截尾法,。,量化误差的大小及性质与数的表示方法、二进制编码形式及具体尾数处理方法有关，更与寄存器的长度有关。另外系统的结构不同，将会明显地影响系统输出的量化误差。,6,对于一个线性系统，有限字长效应造成数字信号处理输出的误差表现为：（一）如果被处理的是模拟信号,则需经过模,/,数转换器变成某一种编码方式的二进制数序列。,取样,和,量化,是模,/,数转换器的两个主要过程。,量化过程可以模型化为取样序列叠加上量化噪声，从而得到量化信号。对于一个线性系统，量化后的信号经滤波后得到的输出信号,y,(,n,),为两部分之和，一部分是输入信号,x,(,n,),通过滤波器产生的输出,:,y,(n,)=,x,(,n,) *,h,(,n,),另一部分是量化噪声,e,(,n,),通过滤波器产生的输出,:,e,0=,e,(,n,)*,h,(,n,),这里,h,(,n,),为是滤波器的冲激响应。即，输入信号的量化在滤波器输出端引起了噪声，这个噪声的大小与输入信号量化时的字长有关系。,9,.,1,.,1,有限字长效应,7,（,二）,系统中滤波器系数的量化处理，即用有限位二进制数来表示，则必然会引入量化误差。,对于某些结构类型的滤波器（例如，具有反馈支路的递归滤波器结构）来说，其,零点,和,极点,的位置对于滤波器系数的变化特别敏感，因而滤波器系数由于量化误差引起的微小改变，都有可能对滤波器的频率响应特性产生很大的影响，尤其是在单位圆内且非常靠近单位圆的极点，一旦由于滤波器系数的量化误差，使这些极点跑到单位圆上或圆外时，滤波器就失去了其原有的稳定性。,9,.,1,.,1,有限字长效应,8,（三）,采用“截尾”或“舍入”的处理方法将运算结果依据寄存器字长的大小进行处理，这会引入截尾误差或舍入误差。,有限字长效应造成的误差，与以下几个问题有关：,量化方式是截尾还是舍入；,负数用二进制数的原码表示，还是用反码或补码表示；,算术运算是用定点运算还是用浮点运算；,采用什么类型的系统结构,(,例如，对于数字滤波器来说，是采用递归结构还是非递归结构，是采用高阶直接实现的结构还是采用由低阶节组成的级联结构或并联结构,),。,9,.,1,.,1,有限字长效应,9,9.1.2,信号的量化误差,在实际应用中待处理信号往往都是一些模拟信号：,声音、图像、电压、水流、气温、压力、心电图等。,借助,A/D,转换,将模拟信号转变成数字信号，然后再进行后续的相关处理。如有必要再通过,D/A,转换,，将数字信号还原为可听、可视的模拟信号。,在这种转换过程当中，时域采样是数字技术处理连续信号的重要环节。,采样,就是指利用“采样器”从连续信号中“抽取”信号的离散序列样值，即称之为“采样”信号。“采样”也称“取样”、“抽样”。采样信号在时间上离散化了，但它还不是数字信号，还须经过量化编码才能转变为数字信号。即要将模拟信号,抽样和量化,，使之转换成一定字长的数字序列值信号。,10,数字序列值用有限长的二进制数表示,例如序列值,(0.729156),10,=(0.101110101010101),2,，,若限制用八位二进制数来表示，则为（,0.10111010,）,2,，而（,0.10111010,）,2,=,（,0.7265625,）,10,，,那么，,引起的误差为：,0.729156-0.7265625=0.0025935,，该误差称为,量化误差。,这是在二进制数的存储方面。,另一方面，在定点制的乘法以及浮点制的加法和乘法在运算结束后都会使字长增加，因而都需要再对,尾数进行处理,，其误差取决于所用的二进制的位数,b,、数的运算方式（定点制或浮点制）、负数的表示法以及对尾数的处理方法。,9.1.2,信号的量化误差,11,假设序列值用,b,+1,位二进制数来表示，其中用,1,位来表示符号，用,b,位表示尾数，最小码位所表示的数值称为“,量化步阶,”或“量化宽度”，用来表示，则,q,=2,-b,。,如果二进制编码的尾数长于,b,，则必须要进行尾数处理，且处理成,b,位，也即量化。尾数处理有两种方法，即,截尾法,和,舍入法,。,9.1.2,信号的量化误差,12,截尾法,是将尾数的第,b,+1,位以及后面的二进制码全部略去。,舍入法,是按最接近的值取,b,位值，即将第,b,+1,位按逢,1,进位，逢,0,不进位，然后略去后面的,b,+1,位。,显然这两种处理方法所引起的误差是不同的,。,对于定点制二进制数的,舍入法,，原码、反码和补码的量化误差,e,i,是相同的，范围是：,-,q,/2,e,i,q,/2,。,对于,截尾法,，不同的编码其量化误差,e,i,的范围也不相同：,定点制正数原码的量化误差,e,i,的范围为：,-,q,e,i,0,；,定点负数原码的量化误差,e,i,的范围为：,0,e,i,q,。,定点补码的量化误差,e,i,的范围为：,-,q,e,i,0,。,9.1.2,信号的量化误差,13,1,下面是定点制运算中的,截尾误差,和,舍入误差,。,9.1.2,信号的量化误差,（,a,）补码 （,b,）原码、反码,图,9-1,截尾处理的量化特性（,q,=2,-,b,）,图,9-2,舍入处理的量化特性,14,表,9-1,定点运算中的截尾和舍入误差（,q,=2,-,b,）,9.1.2,信号的量化误差,15,2,浮点制运算中的截尾误差和舍入误差。,表,9-2,浮定点运算中的相对误差,9.1.2,信号的量化误差,16,由以上分析可以看出，舍入和截尾都产生非线性关系。,定点补码截尾法量化噪声的统计平均值为,-,q,/2,，相当于给信号增加了一个直流分量，从而改变了信号的频谱结构；,而舍入法的统计平均值为,0,，这一点比定点补码截尾法好。为了研究量化误差对数字信号处理系统精度的影响，必须了解舍入和截尾误差的特型，一般最方便的方法是把这些量化误差看成随机变量，对每种误差求出概率密度函数，并进行较为合理的假设，即量化误差在整个可能出现的范围内是等概率的，也就是均匀分布的。对于定点制，变量为绝对误差,E,T,，对于浮点制，变量为相对误差,R,。,9.1.2,信号的量化误差,17,9.1.3 A/D,变换器中的量化效应,A/D,（模,/,数）变换器完成的是将模拟信号转换成数字信号的作用，即将输入的模拟信号,x,(,t,),转换为,b,位二进制数字信号。变换器,位数有限,，因此存在量化误差。分析,A/D,变换器,量化效应的目的,在于选择合适的字长，以满足信噪比指标。,假设用,e,(,n,),表示量化误差，,x,(,n,),表示没有量化误差的抽样序列数字信号（即无限精度），量化器对每个抽样序列,x,(,n,),进行截尾或舍入的量化处理，用表示量化编码后的信号，则,=,x,(,n,)+,e,(n,),x,(,n,),是有用信号，,e,(,n,),呈现噪声的特点，相当于在,A/D,变换器中引入一个噪声源。这样,A/D,变换器的输出中除了有用信号以外，还增加了一个噪声信号。,18,A/D,变换器的统计模型如图,9-3,所示。图中的理想,A/D,变换器没有量化误差，实际中的量化误差是在输出端叠加一个等效的噪声源,e,(,n,),。,图,9-3 A/D,变换器的统计模型,9.1.3 A/D,变换器中的量化效应,19,由于在抽样模拟信号的数字处理中，把量化噪声看成相加性噪声序列，量化过程看成是无限精度的信号与量化噪声的叠加，因而,信噪比,是一个衡量量化效应的重要指标。,9.1.3 A/D,变换器中的量化效应,20,一般,A/D,变换器采用定点制，尾数采用舍入法。若共有,b,+1,位，符号占,1,位，尾数为,b,位，量化步阶为,q,=2,-b,。为了简化分析，对该模型做如下假设：,（,1,）,e,(,n,),是白噪声序列；,（,2,）,e,(,n,),与,x,(,n,),不相关；,（,3,）,e,(,n,),在自己的取值范围,内呈均匀分布。,9.1.3 A/D,变换器中的量化效应,21,图,9-4,给出的是舍入量化噪声概率密度函数曲线。,e,(,n,),的统计平均值为,=0,，平均功率（即均方差）为 。,A/D,变换器的输出,信噪比,S,/,N,用信号平均功率与舍入量化噪声的平均功率之比,表示，即,则信噪比的分贝数为：,（,9-1,）,9.1.3 A/D,变换器中的量化效应,22,上式表明,：,（,1,）,A/D,变换器输出的信噪比与,A/D,变换器的字长有关；（,2,）与输入信号的平均功率有关。,结论为,：（,1,）,A/D,变换器量化字长每增加,1,位，输出信噪比约可以提高,6dB,。但是,b,受到输入信号的信噪比的限制；（,2,）输入信号越大则输出信噪比越高。但一般,A/D,变换器的输入都有一定的动态范围限定，否则过大的动态范围，会发生限幅失真。实际应用中线性,A/D,一般要求,12,位以上满足通信要求，非线性,A/D,一般要求,8,位以上满足通信要求。,9.1.3 A/D,变换器中的量化效应,23,9.2.1,系数量化误差对滤波器稳定性的影响,9.2.2,系数量化误差对滤波器零、极点位置的影响,9.2,数字滤波器系数量化误差分析,24,前面讨论中，在设计理想数字滤波器时，各滤波器系数,b,k,，,a,k,都是无限精度的。,但实际实现系统函数时，滤波器系数都是被量化了的，所有系数只能用有限字长的二进制数来表示。,系数的量化误差,，在不同程度上使滤波器的,零点和极点,偏离设计中预定的位置，从而影响到滤波器的频率特性偏离设计的要求，在量化误差严重时，如果,z,平面单位圆内极点偏移到单位圆外，使滤波器性能不稳定而无法使用。,系数量化效应对滤波器性能的影响与寄存器的字长有直接的关系，并且和滤波器结构形式也同样密切相关。选择合适的系统结构，可以减小系数量化带来的影响，帮助我们选择合适的字长，为滤波器的工程实现提供依据，从而设计出符合频率响应指标要求的系统。,9.2,数字滤波器系数量化误差分析,25,滤波器的,稳定性,取决于极点的位置，如果系数量化误差使单位圆内的极点移到了单位圆上或圆外，则滤波器的特性与所要求的频率响应不同，滤波器的稳定性就受到了破坏，显然，单位圆内最靠近单位圆的极点最容易出现这种情况。,9.2.1,系数量化误差对滤波器稳定性的影响,26,FIR,滤波器仅在,Z,=0,处有高阶极点，没有其他极点，因而系数量化误差将主要影响零点的位置，不会影响滤波器的稳定性。但对于,IIR,滤波器，一般存在着许多极点，情况则不同，所以可以用系数量化引起极点、零点的位置误差来衡量一个网络结构对系数量化灵敏度的影响。不同形式的系统结构，在相同的系数“量化步距”情况下，其量化灵敏度是不同的。,9.2.1,系数量化误差对滤波器稳定性的影响,（,9-2,）,27,（,9-2,）式表示了一个无限精度的,N,阶直接型结构的,IIR,数字滤波器的系统函数，它具有窄带低通频率特性。因此，该滤波器的极点都在单位圆内聚集在,z,=1,附近。系数,a,k,和,b,k,是系统直接结构所求出的无限精度的系数，量化造成的系数误差为,a,r,和,b,r,，量化后的系数用 和 表示，即,（,9-3,）,9.2.1,系数量化误差对滤波器稳定性的影响,28,则实际的系统函数可表示为,:,9.2.1,系数量化误差对滤波器稳定性的影响,（,9-4,）,29,从式（,9-4,）可以看出，系数量化后的频率响应已不同于最初设计的频率响应。,当用直接型结构来实现该滤波器时，系数,a,k,和,b,k,都将直接出现在信号流程图中，其中,a,k,影响着极点的位置。当由于系数量化误差使一个极点从单位圆内移动到单位圆上或单位圆外时，滤波器的稳定性即受到破坏。所以，只要有一个系数由于量化产生很微小的误差，就有可能使系统失去稳定。反馈支路的阶次,N,越高，使滤波器失去稳定的系数量化误差的绝对值就越小，则越容易使滤波器变得不稳定。,9.2.1,系数量化误差对滤波器稳定性的影响,30,系数量化误差,导致实际的频率响应与理论上要求的频率响应不同，或者说表现在零点和极点位置偏离了理论上规定的位置。,引入,极点位置灵敏度,的概念，来衡量每个极点位置对各系数量化偏差的敏感程度。,不同形式的系统结构，在相同的系数“量化步距”的情况下，其量化灵敏度是不同的。用同样的方法可以分析零点位置灵敏度，但极点对系统的影响更大，直接影响到系统得稳定性，所以更为人们所注意和研究。因此，为了得到与理想频率特性尽可能接近的实际频率特性，应当选择极点和零点位置对系数量化误差最不敏感的那些结构形式。,9.2.2,系数量化误差对滤波器零、极点位置的影响,31,设滤波器的传输函数 由式（,9-4,）给出，系数,a,k,和,b,k,经舍入量化后由式（,9-3,）给出，这里,a,k,和,b,k,是量化误差。,有,N,个极点，用 （,=1,2,N,）表示。这样，实际的滤波器的传输函数为,:,9.2.2,系数量化误差对滤波器零、极点位置的影响,（,9-5,）,32,上式中， 是第,i,个极点位置的偏移，称为,极点误差,，它是由 系数量化误差引起的。 与 之间的关系是,:,9.2.2,系数量化误差对滤波器零、极点位置的影响,式中， 得大小直接影响第,k,个系数偏差 所引起的第,i,个极点偏差 的大小： 越大， 越大。,也即,是说明第,i,个极点的位置对分母多项式中第,k,个系数的量化误差的敏感程度的一个量，称为,极点敏感度,。,33,经过推导可以得出,灵敏度,和,极点,的关系：,9.2.2,系数量化误差对滤波器零、极点位置的影响,（,9-6,）,34,上式即是系数量化偏差引起的第,i,个极点的偏差。,说明了滤波器的第,i,个极点的位置对传输函数分母多项式的第,k,个系数的量化误差的敏感程度与极点分布的关系。此式只对单阶极点有效，多阶极点可进行类似的推导。对于直接型结构，由于它的零点只取决于分子多项式的系数，因而对于零点可得到完全相似的结果。,9.2.2,系数量化误差对滤波器零、极点位置的影响,35,具体来说，由式（,9-6,）可以得出以下,结论,：,（,1,）,分母多项式中， 是极点 指向极点 的矢量，整个分母是所有极点与第,i,个极点之间的矢量乘积。如果这些距离都很小即如果所有,N,个极点都聚集在一起，那么距离的矢量乘积就很小，第,i,个极点的位置对系数量化误差就非常敏感，即极点位置灵敏度高，相应的极点偏差就大。,9.2.2,系数量化误差对滤波器零、极点位置的影响,36,（,2,）,极点偏差与系统函数的阶数,N,有关，阶数越高，滤波器的极点位置对系数量化误差越敏感，极点偏差也大。高阶直接型结构滤波器的极点数目多而密，低阶直接型结构滤波器的极点数目少而稀疏，因而前者对系数量化误差要更加敏感，同理，并联型结构和级联型结构比直接型结构要好得多。因此，高阶结构时，由于各二阶节相互独立级联或并联的结构来实现，而很少采用直接型结构。,9.2.2,系数量化误差对滤波器零、极点位置的影响,37,（,3,）,当采用二阶节级联或并联结构时，由于各二阶节相互独立，各有一对复共轭极点，特别是对于窄带带通滤波器来说，每对复共轭极点的两极点都相距较远，因而系数量化误差对极点置的影响格外小。,综上以上考虑,，为了减小系数量化误差对极点位置的影响，系统的结构应当避免采用高阶的直接型结构，而最好采用由一阶或二阶节构成的级联或并联结构来实现。这样可避免较多的零、极点集中在一起。通常为了能够独立地控制各节的极点或零点，多选用级联结构。,9.2.2,系数量化误差对滤波器零、极点位置的影响,38,9.3,定点运算,IIR,和,FIR,数字滤波器误差分析,9.3.1,有限字长定点运算,IIR,滤波器的误差分析,9.3.2,定点,FIR,滤波器的有限字长效应,39,9.3,定点运算,IIR,和,FIR,数字滤波器误差分析,通过前面的讨论我们知道，系统的系数量化对零、极点位置的改变，将导致系统频响特性的改变。利用零、极点位置敏感度无法直接得到频响特性的偏差，尤其当系统为高阶的情况，其系数多且量化误差具有随机特点，所以可以将系数量化误差等效为随机变量，通过采用统计方法估计高阶系统的性能偏差。,40,实现数字滤波器所包含的基本运算有,延时,、,乘系数,和,相加,三种。,延时运算由寄存器来完成，并不造成字长的变化，而通常信号和滤波器的系数用有限字长定点二进制小数表示，因此，滤波器主要涉及乘系数和相加乘法和加法运算造成的影响。,定点小数相加后字长不会增加，因此无需进行截尾或舍入处理；定点小数相加的溢出问题可以通过乘以适当的比例因子的办法来解决。定点小数相乘没有溢出问题，但字长会增加，因此必须采用截尾或舍入处理。,9.3,定点运算,IIR,和,FIR,数字滤波器误差分析,41,每次进行定点小数乘法运算后，都会引入,截尾,或,舍入噪声,，并最终在滤波器输出端反映出来。,浮点制运算中，相加和相乘都有可能使尾数增加，故都会有舍入或截尾，,引起运算量化误差,，但,不存在动态范围问题,。,舍入或截尾的处理是非线性过程，分析起来非常麻烦，精确计算不仅不大可能，也没有必要，因而采用统计方法，得到舍入或截尾的平均效果即可。下面通过讨论运算中的有限字长效应来分别分析定点运算,IIR,和,FIR,数字滤波器误差情况。,9.3,定点运算,IIR,和,FIR,数字滤波器误差分析,42,9.3.1,有限字长定点运算,IIR,滤波器的误差分析,在定点制中，把定点乘法运算后的截尾或舍入处理过程模型化为在精确乘积上叠加一个截尾或舍入量化噪声。,根据,叠加原理,，滤波器输出端的噪声等于作用于滤波器结构中不同位置上的量化噪声在输出端发生的响应的总和，这样仍可以用线性流图来表示，由此不难计算滤波器输出端的信噪比。采用图,9-5,的统计模型。,43,在分析数字滤波器由于乘法舍入的影响时，需对各种,噪声源作相关假设,：,系统中所有的运算量化噪声都是平稳的白噪声（均值为零）；,所有的运算量化噪声，以及和信号之间均不相关；,量化噪声在自己的量化范围内均匀分布。,9.3.1,有限字长定点运算,IIR,滤波器的误差分析,44,9.3.1,有限字长定点运算,IIR,滤波器的误差分析,图,9-5,定点制相乘运算模型,（,b,） 实际乘法支路,及其量化的线性模型,（,a,）理想相乘,45,当信号波形越复杂，量化步距越小时，这些假定越接近实际。根据这些假定，可认为舍入噪声是在范围,内均匀分布，,均值,为 ，,方差,为 ， 。,9.3.1,有限字长定点运算,IIR,滤波器的误差分析,然后按照统计模型，利用白噪声通过线性系统来求解每一个噪声源所产生的输出噪声，为总输出噪声,。,46,下面分别写出噪声源 所造成的输出噪声的方差和均值：,也可以利用,Z,变换中的巴塞伐尔定理（,Parseval,）得出下式,9.3.1,有限字长定点运算,IIR,滤波器的误差分析,（,9-8,）,（,9-9,）,总的输出噪声的方差也等于每个输出噪声方差之和,47,9.3.2,定点,FIR,滤波器的有限字长效应,用直接型或级联型等非递归结构实现,FIR,数字滤波器，由于,舍入噪声,没有反馈环节的积累，故其影响也就比同阶的,IIR,滤波器小，通常采用统计模型方法来分析有限字长效应。下面以横截型结构为例，分析,FIR,滤波器的量化噪声。,N,阶,FIR,数字滤波器直接型结构的统计模型如图,9-9,所示，系统函数为,:,48,系统差分方程为,:,9.3.2,定点,FIR,滤波器的有限字长效应,（,9-12,）,图,9-9 FIR,系统直接形式舍入运算误差统计模型,49,同样对各噪声作,如下假设,：,系统中所有的运算量化噪声都是平稳的白噪声（均值为零）；,所有运算量化噪声，以及和信号之间均不相关；,量化噪声在自己的量化范围内均匀分布。,则此时输出为,:,9.3.2,定点,FIR,滤波器的有限字长效应,（,9-13,）,50,其中， 分别为无限精度与乘积为有限精度情况下的输出， 为输出噪声,9.3.2,定点,FIR,滤波器的有限字长效应,（,9-14,）,从式（,9-13,）可以知,:,故输出噪声的方差（功率）为,:,（,9-15,),51,结果表明,:,FIR,系统定点舍入运算误差直接到达输出端，与系统的参数无关；,由于,q,=2,-,L,，故输出噪声与字长有关，也与滤波器阶数有关。,滤波器阶数越高，字长越短，量化噪声也越大。,9.3.2,定点,FIR,滤波器的有限字长效应,52,9.4,浮点运算数字滤波器和,FFT,算法中的有限字长效应,9.4.1,浮点运算,IIR,数字滤波器,9.4.2,浮点运算,FIR,数字滤波器,9.4.3,浮点运算,FFT,算法,53,9.4,浮点运算数字滤波器和,FFT,算法中的有限字长效应,浮点计算中，不论加法或乘法，每次运算之后，都要做一次尾数的舍入或截尾处理，由此引入误差。,浮点运算具有以下特点,：,浮点数的动态范围宽，因而浮点运算一般不需要考虑溢出问题；,进行浮点运算时，乘法和加固法运算结果的尾数字长都会增加，因而必须进行截尾或舍入处理以限制字长，通常用得较多的是舍入处理；,量化误差不仅用绝对误差，而且较多的情况下要用相对误差来分析。,54,当用有限字长浮点运算来实现数字滤波器和,FFT,算法时，加法运算和乘法运算都会引入舍入量化噪声，这些噪声可以用绝对误差来表示，这与定点运算的分析方法相同，即把舍入量化作用等效为理想的精确计算结果之上叠加一个噪声源。,这个噪声源就舍入量化绝对误差序列 ，即：,是精确计算结果， 是舍入量化后的结果。,9.4,浮点运算数字滤波器和,FFT,算法中的有限字长效应,55,浮点运算后的舍入量化作用，也可以用,作为模型， 是精确计算结果， 是舍入量化后的结果， 是舍入量化的相对误差 ：,9.4,浮点运算数字滤波器和,FFT,算法中的有限字长效应,（,9-16,）,56,对浮点运算来说，它有,两种统计模型,：,一种是以绝对误差与精确值相加来表示量化后的值，常称为加性误差模型或非移变模型，因为这种模型是非移变系统。,另一种是以相对误差形成的系数与精确值相乘来表示量化后的值，常称为乘性误差模型或移变模型，因为这种模型是移变系统。,无论对数字滤波器或,FFT,算法，只要将以上两种模型的任一种引入算法流程图，即可对数字滤波器或,FFT,的浮点实现进行误差分析。,9.4,浮点运算数字滤波器和,FFT,算法中的有限字长效应,57,浮点运算实现时的统计模型，有非移变（加性噪声）模型。与定点运算时的统计模型相比较，其,主要差别,是在浮点运算统计模型中增加了两次加法运算后引入的舍入误差（噪声）。,假设所有噪声源都是白噪声序列，它们与信号,x(n,),和,y(n,),不相关，且它们在自己的取值范围内均匀分布,， 是浮点运算舍入误差的 方差，根据假设， 在 内均匀分布，因此,9.4.1,浮点运算,IIR,数字滤波器,其中，,q,是量化间隔，,。这里,b,是尾数字长（不包含符号位）。,，,58,例如有一个,IIR,低通滤波器，传递函数为,采用浮点舍入尾数处理，假设,x(n,),也是零均值平稳随机过程。则可以求得总的输出噪声的方差：,所以，计算滤波器的输出信噪比为：,9.4.1,浮点运算,IIR,数字滤波器,（,9-17,）,59,由这个例子可看出，用浮点运算实现,IIR,数字滤波器，其输出信噪比只与字长有关，而与输入信号的强度无关，这与用定点运算实现,IIR,数字滤波器的情况不同，后者信噪比与输入信号的强度有直接关系。,具体来说,，当输入信号幅度下降时，输出信噪比将随之下降。因此，在定点,IIR,数字滤波器中，为得到高的输出信噪比，应尽可能增大输入信号的幅度，唯一的限制是不能发生溢出。,9.4.1,浮点运算,IIR,数字滤波器,60,图,9-11,所示的是浮点运算,N,阶,FIR,数字滤波器的乘性噪声（移变）统计模型。这里采用直接型结构，进行浮点乘法运算后引入的舍入量化噪声用乘以移变系数 来等效，进行浮点加法运算后引入的舍入量化噪声，用乘以移变系数 来等效。 和 是舍入量化的相对误差，它们对应的绝对误差都满足前面曾做过的几个假设条件；噪声源都是白噪声序列；噪声源互不相关也与滤波器输入信号和输出信号不相关；噪声源在误差取值范围内均匀分布。,9.4.2,浮点运算,FIR,数字滤波器,61,滤波器的输出,：,9.4.1,浮点运算,IIR,数字滤波器,图,9-11 FIR,数字滤波器乘性噪声（移变）统计模型,（,9-18,）,（,9-19,）,y(n,),是所有舍入量化噪声源在输出端产生的响应。,62,滤波器输出,w(n,),的表达式为：,9.4.1,浮点运算,IIR,数字滤波器,（,9-20,）,f(n,),的均值为：,其中， 是,x(n,),的方差。由于,63,故有 ：,这样，估计滤波器输出信噪比的下限：,浮点运算,FIR,滤波器的这个性质与定点运算,FIR,滤波器不同，后者输出噪声方差的大小与乘积,h(k)x(n-k,),的计算次序和累加次序无关。,9.4.1,浮点运算,IIR,数字滤波器,（,9-33,),64,与定点情况相同，对不同的,FFT,算法，相应的有限字长效应不同。仍以时间抽选基,2FFT,为例，图,9-12,所示的是单个蝶形浮点运算统计模型，图中符号意义与定点运算统计模型相同。,9.4.3,浮点运算,FFT,算法,图,9-12,浮点运算统计模型,65,省略推导过程,介绍几点,结论,：,（,1,）浮点运算不论加法、乘法都产生误差。,（,2,）浮点制的输出节点噪声与其输入节点变量相关。因为前一级误差通过后一级碟形时其方差保持不变，所以浮点,FFT,总的输出误差与从输入,x(n,),到输出经过的蝶形个数有关。,（,3,）相同尾数字长情况下，浮点信噪比比定点小，运算精度高。,（,4,）浮点信噪比不随信号幅度大小变化，这也是所有浮点制运算的共同特点。,9.4.3,浮点运算,FFT,算法,66,（,5,）输出与级数成反比例关系。当级数不变时，字长每增加,1,位将信噪比提高为原来的,4,倍（因为）。而用定点运算关系,FFT,时，输出信噪比与变换长度,N,的平方成反比例关系，由于级数，所以级数增加一倍意味着变换长度,N,增加原来的,4,倍，因而输出信噪比下降为原来的,1/16,；若在每级输入端插入,1/2,衰减，则输出信噪比与变换长度成反比例关系，因此，级数增加一倍使输出信噪比下降为原来的,1/4,。由讨论得知，浮点运算,FFT,的输出信噪比随着级数增加而下降，要比定点运算,FFT,缓慢得多。,9.4.3,浮点运算,FFT,算法,67,第九章,数字信号处理中的有限字长效应,本章小结,.,在实际的数字信号处理系统中，存在着一些处理误差。这些误差可以用输出端的噪声来说明它们的影响。这些误差主要为,A/D,变换量化误差、计算结果的（乘积）截尾误差、系数表示的量化误差。,.,A/D,量化的字长越长，则量化噪声越小。但,A/D,器件的量化的字长受其集成电路特性限制。一般字长越长，器件工作速度越慢。目前的,A/D,器件，在音频范围内，字长在,1016bit,。在视频范围内，字长在,612bit,。,.,实际滤波器的计算系数使用有限精度数据来表示，也有量化误差。,IIR,滤波器系数量化误差的影响会使得系统另、极点发生偏差。也就是，系统频率响应特性发生变化，甚至可能使某些极点移出单位园，从而导致系统不稳定（,FIR,滤波器没有极点变化和稳定性问题）。,68,.,LTI,系统的有限字长效应（有限字长误差在输出信号中的影响）与有关。即与系统实现结构有关。,.,FIR,滤波器的有限字长效应在输出端的影响与字长,L,和阶数,N,有关，字长越短，阶数越高，输出误差噪声信号也越大。,.,对有反馈计算系统（,IIR,滤波器），通过选定合理的实现结构（级联、并联）可以减小有限字长效应的影响。特别是采用定点制运算系统时，这样的处理更为重要。,对于无反馈计算系统（,FIR,滤波器、,FFT,计算），根据所要求的输出精度（或信噪比）和所处理的数据阶数,N,，确定系统的计算字长,L,以满足计算精度要求。（特别是在定长制系统中）。,69,.,分母乘积项表示极点到其他极点的距离。所以极点分布越密集，极点灵敏度越高。直接实现型阶数越高，越接近单位园，也会使灵敏度越高。,.,对,A/D,变换量化误差主要根据系统精度要求，选用适当变换位数的器件（器件变换速度由采样定理决定）。,9.,浮点运算,FFT,的输出信噪比随着级数增加而下降，但要比定点运算,FFT,的输出信噪比的下降缓慢得多。,70,