1两人零和对策举例

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,*,*,对策问题模型,竞争是当代社会的一个特征。在竞争中讲究科学的对策是非常重要的。经济活动中的经营活动、军事对抗中的谋略、政治和外交活动中的联合、对立等诸多方面都和选择恰当的对策有关。,20,世纪四五十年代创立的对策论（又称博弈论）研究了一系列对策问题。在本章中我们简单地介绍两种常见的模型,两人零和对策和随机对策。,10/1/2024,1,1,两人零和对策举例,10/1/2024,2,例,1,某地区有两家电视台，在一天的同一个黄金时间，每家各有两套节目可供选择播出。经调查，两家电视台各种节目搭配时甲台节目收视率如下表：,表,1,甲台节目收视率（,%,）,表中是甲台节目的收视率，乙台节目的收视率可以由以下的公式得到：,乙台收视率,=100%,甲台收视率,乙台,节目,1,节目,2,甲台,节目,A,70,40,节目,B,55,45,10/1/2024,3,这里假设了该地区的居民只看这两家电视台的甲台。设想两家电视台事先都知道这张表，即他们都知道彼此选播节目后各自的收视率。为分析方便起见，我们暂时假设他们都可以随时调整播放的节目。我们要分析这两家电视台会播放什么节目，即他们会采取什么对策来应付他们之间的竞争呢？,由表中可见，如果甲台期望得到,70%,的收视率而选播节目,A,，则乙台会播放节目,2,，使甲台只能得到,40%,的收视率。如果甲台选播节目,B,，则不管乙台播放什么节目，甲台最少可得到,45%,的收视率。,10/1/2024,4,两者相比，甲台必然播放节目,B,，乙台播放节目,2,。由此推知，甲台的收视率将为,45%,，乙台的收视率将为,55%,。,现在转到从乙台的立场来考虑问题。先把上面的表转换成乙台节目收视率的表：,表,2,乙台节目收视率（,%,）,乙台,节目,1,节目,2,甲台,节目,A,30,60,节目,B,45,55,10/1/2024,5,如果乙台选播节目,1,，最多得到,45%,的收视率。但此时甲台会播放节目,A,，使乙台只得到,30%,的收视率。如果乙台播放节目,2,，当然最多可得到,60%,的收视率，但是此时对甲台最好的选择是播放节目,B,，使乙台只得到,55%,的收视率。两者相比，必然是乙台播放节目,2,，甲台播放节目,B,。甲台的收视率将为,45%,，乙台的收视率将为,55%,。所得的结果与前面分析的结果相同。,如果两个电视台一旦选择了播放的节目就不允许改动，则通过上面的分析可知，对双方来说，稳妥的选择也将是这个对策组合。如果一方有所变动，它的收视率就有可能低于组合中自己的收视率。,10/1/2024,6,例,2,如果两家电视台可能播放的节目分别为四个、三个、甲台节目收视率（,%,）如下表所示：,表,3,甲台节目收视率（,%,）,此时情况变得比较复杂，他们会采取什么样的对称呢？分析的思想方法仍和例,1,相同，可以用下表表示。,乙台,节目,1,节目,2,节目,3,甲台,节目,A,70,45,35,节目,B,45,40,50,节目,C,55,50,55,节目,D,60,45,50,10/1/2024,7,表,4,基于甲台节目收视率的双方对策分析表（,%,）,表中最后一列的数字是同一行数字中的最小值。例如表中第三行对应甲台播放节目,A,，最后一个数字是,35,，它是,70,、,45,、,35,是三个数字中的最小值，称之为甲台节目,A,收视率的保守估计。这个数字表示当甲播放节目,A,时所能得到的最起码的收视率。而在这一列上面的第一个,乙台节目,节目,1,节目,2,节目,3,a=50,甲台,节目,A,70,45,35,35,节目,B,45,40,50,40,节目,C,55,50,55,50,节目,D,60,45,50,45,b=50,70,50,55,c=50,10/1/2024,8,数字,a,（,=50,），是甲台各节目收视率保守估计（,35,，,40,，,50,，,45,）中的最大值。,a,表示在所有可能的选择中，甲台所能得到保证的收视率中的最大值。,a=50,所对应的节目,C,，也是甲台最稳妥的选择。表中的最后一行是同一列数字中的最大的值。例如该行的第三个数字是,50,，它是,45,、,40,、,50,、,45,四个数字中的最大值。这个数字对应乙台播放节目,2,时的情况，说明当乙台播放节目,2,时，只要甲台应对得当（此时甲应该播放节目,C,），甲台所能够得到的最高收视率。这个数字称为乙台播放节目,2,时甲台收视率的乐观估计。,10/1/2024,9,该行的第一个数字,b=50,是所有这一行中数字中的最小值。表示的是对乙台所有可能的选择，只要应对得当，甲台所能获得的最起码的收视率。在右下角的数字,c,与,a,、,b,相等，这里是,50,。对应这个数字的是甲台播放节目,C,，乙台播放节目,2,，各获得,50%,的收视率。这就是两家电视台会采取的科学对策。我们称这种决策为均衡对策组合。,设,a,为甲台播放,i,（,A,、,B,、,C,、,D,）和乙台播放,j,时甲台的收益，那么此解满足：,a =a,。,10/1/2024,10,下面具体分析双方采取其他对策组合会发生什么情况。结论将是：任何一方改变选择都将降低自己的收视率，从而双方都不会采用除此以外的其他对策。这也是称此决策为“均衡对策”的原因。,假设甲台不播放节目,C,而播放节目,A,，期望得到更高的收视率（,70%,）；但是此时乙台播放节目,3,，使甲台只能得到,35%,的收视率，比均衡对策组合中甲得到的收视率（,50%,）低。而如果乙台不是播放节目,2,，而是播放节目,3,，期望得到更高的收视率（,65%,）。,10/1/2024,11,则此时甲台仍会播放节目,C,，使得乙台只得到,45%,的收视率，也将低于均衡对策组合,50%,的收视率。其他对策组合也将有同样的结果，因而，甲台播放节目,C,、乙台播放节目,2,是双方都能接受的结果。,在对策论中，这样的模型称为“两人零和对策”。这是因为：如果把竞争双方输的一方记为,-1,，赢的一方记为,1,，则在任何对策组合下他们的和都为零。其实如果每种对策组合的结果是一个和具体对策组合无关的常数，也都可以作为零和对策。例如上述两个电视台的收视率总和是,1,，也属于零和对策。,10/1/2024,12,两人零和对策是对策论中所研究的许多问题中的一个。按这种方法计算得到的,a,和,b,，在有些情况下是不相等的，这时我们就称该对策问题为不稳定对策问题；相应地，,a,和,b,相等时的对策问题称为稳定的对策问题。例,2,是一个稳定对策问题。在稳定对策问题的情况下，一般情况也像例,2,中分析的那样，会有一个双方都接受的对策组合，任何一方改变对策，只会使自己的利益受损。用这种方法可以验证例,1,也是一个稳定的对策问题。下面我们举一个不稳定对策问题的例子。,例,3,两家电视台各种节目搭配时的甲台节目收视率如下表：,10/1/2024,13,表,5,甲台节目收视率（,%,）,用上述方法对此例进行计算，得到表格如下,：,表,6,基于甲台节目收视率的双方对策分析表（,%,）,乙台,节目,1,节目,2,甲台,节目,A,70,40,节目,B,45,55,乙台,节目,1,节目,2,a=45,甲台,节目,A,70,40,40,节目,B,45,55,45,b=55,70,55,ab,10/1/2024,14,由表中可知，,ab,。我们来具体看看一方播放某个节目后会有什么情况发生。,如果甲台播放节目,A,，以期得到,70%,的收视率，此时乙台一定不会播放相应对策组合（节目,A,，节目,1,）中的节目,1,，而是播放节目,2,，因为对策组合（节目,A,，节目,2,）对乙台来说，可以获得,60%,的收视率。但若乙台播放节目,2,，甲台一定不会播放这个组合要求的节目,A,，必然改播节目,B,，因为对策组合（节目,B,，节目,2,）甲可以获得,55%,的收视率。同理可以推出，若甲台播放节目,B,，乙台必然改播节目,1,，但若乙台播放节目,1,，甲台必然改播节目,A,，这样看来每对策组合都不能使双方同时满意。这就是为什么称这样的对策问题是“不稳定”的原因。,10/1/2024,15,