数学分析第二十章课件重积分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二十章 重积分,第二十章 重积分,1,重积分的概念,分别讨论下面几种情况.,先考虑一个物理问题：,求物体的质量，由于物体的几何形状不同，,物体为一细棒(直线段):,长度为,，则质量为,2) 设质量分布不均匀,设,是直线上端点坐标为,的不,点的(线)密度.那么细棒的质量,为,1、,均匀细棒在,1) 若密度分布均匀设,1 重积分的概念 分别讨论下面几种情况. 先考虑一个物理,2、物体为一块平面薄板(看成平面区域),1) 若均匀,则质量,其中,分别表示,的密度和面积.,2) 设不均匀,设薄板对应平面区域,它的(面)密度函数为,求薄板的质量,:把,分成任意,块可求面积的小块,这些小块的面积仍记为,; 在,上任取一点,那么,的质量,就近似等于,即,因而,的质量,近似为,易知,对,取极限,的分法越细,(块数增多,每小块面积变少),近似程度越高.,2、物体为一块平面薄板(看成平面区域) 1) 若均匀,则质量,一维 (定积分.细棒):,二维,若用,？,则不能保证,(,一个平面图形,的值作为小块,误差很大,),，,不论它的面积多小,都可能有其上的两点,，,它的距离很大,从而用一点,密度可能,如何刻划 的分法越来越细?,一维 (定积分.细棒): 二维若用？则不能保证(一个平面,为了保证,中的任意两点的距离任意小,引入平面集合,的直径,称,中所有两点间的距离的上确界为,的直径.记为, 即,设,则,便描述了,的分法越分越细.,从而,的直径,为了保证中的任意两点的距离任意小,引入平面集合 的直径 称中,设,为一几何体，这个,上定义了一个函数,将此几何形体,分为若干可度量的小块,它们的度量仍记为此。并令,在每一小块,中任取一点,，做和式,如果 当,时，,的极限存在,，且不依赖于分法和点的选取。,在,上可积，并称此极限值为,在,上的积分记为,根据,的不同形态，进一步给出,上积分具体表达式几名称：,则称,设 为其极限,的直径,几何体是可以度量的，在,Rieman,积分的定义,设为一几何体，这个上定义了一个函数将此几何形体分为若干可度量,是一个区间,是一块可求面积的平面区域,那么,那么上述积分就是定积分.,若,1、,2、,若,上的积分就称为,二重积分,在直角坐标下,即,二重积分的几何解释:,以 为底,以曲面,曲顶柱体的体积,为顶的,称为面积微元,记为,或,是一个区间是一块可求面积的平面区域,那么,那么上述积分就是定,是一块可求体积的 立体,，那么,在,上的积分称为三重积分,记为,或,3、若,4、若,是一条可求长的空间曲线段,那么,第一类曲线积分,记为,上的积分就称为,5、若,是一可求面积的曲面,那么,上的积分就称为第一类,曲面积分,记为,是一块可求体积的 立体，那么在上的积分称为三重积分,记为,1) 被积函数,2) (线性),3) (可加性) 若,由,组成:,且,除边界外不相交,在,充要条件是,在,均可积,则,二重积分的基本性质,且,可积的,1) 被积函数2) (线性) 3) (可加性) 若由组,5),6) (积分中值定理),设 是有界闭区域（因而是连通的）， 在,上连续，则存在 ，使得,4) (单调性) 若,与,都在,可积，且在,的每点,都有,，则,5) 6) (积分中值定理)设 是有界闭区域（因而是连,定理1. 函数 在有界闭区域 上连续,二重积分的性质（补充）,则 在 上可积.,定理2. 函数 在有界闭区域 上可积,则 在 上有界,.,定理3.函数 在有界闭区域 上有界，且,间断点只分布在有限条光滑曲线上，则,在 上可积.,定理1. 函数 在有界闭区域,复习,1) 曲边梯形的面积:,2) 已知截面面积的立体体积:,2 重积分化累次积分,1. 二重积分化累次积分,复习 1) 曲边梯形的面积: 2) 已知截面面积的立体,又,从而有,又 从而有,若,在矩形区域,上可积,并且对,上的任何,含参变量积分,存在,则,推论1,设,在,上连续,则,定理 20.1,若在矩形区域上可积,并且对上的任何含参变量积分 存在,例1.,计算,其中,解,:,例1. 计算,其中解:,矩形区域,简单区域,一般区域,下面:,简单区域:,区域的边界与平行于某一坐标轴,至多两点,或有部分边界是平行于坐标轴的.,的直线相交,用不等式表示:,或,矩形区域简单区域一般区域 下面:简单区域: 区域的边界与平行,定理 20.2,定理20.2,(简单区域) 两种情形,(1),(2),定理 20.2定理20.2 (简单区域) 两种情形 (,例2.,求,其中,是,围成,解:,做出的图形 (强调),平行于,轴的直线去截,则对每一,有,故,可表示为:,因此,对内层定积分做变量代换,，则,例2. 求 ,其中是围成 解: 做出的图形 (强调) 平,空间区域如图20-9所示,它在,面上的投影,由,所围成(图20-10).用平行于,轴的直线去截,则对每一个,有,.因此,可表示为,故体积,解:,例3.,求由,围成的区域的体积,空间区域如图20-9所示,它在面上的投影由所围成(图20-1,例4.,用两种积分的不同顺序将二重积分,化为累次积分,其中,由,围成.,两曲线,和,的交点为,.考虑先对,的积分.用平行于,轴的直线去截,当,时有,当,时有,.这样,可分为两部分,和,其中,因此,在考虑先对,积分.用平行于,轴的直线去截,则对每一,有,故,又可表示为,因此,解:,例4. 用两种积分的不同顺序将二重积分,例5,.,计算积分,这个累次积分是先对,积分,再对,积分.而,根据积分限知,将上述积分表示为二重积分时,为,即,由曲线,的原函数不能用,初等函数表示.,因此按上述顺序进行累次积分是行不通的.,为此考虑,改变积分顺序.,和,围成.作出,的图形如图20-12.用平行于,直线去截,对每一,有,于是有,轴的,积分区域,例5.计算积分 这个累次积分是先对积分,再对积分.而 根据积,数学分析第二十章课件重积分,总结,1、由例4,例5 看出,将二重积分化为累次积分时,积分次,序对计算是有影响的 。,2、步骤：1)作出的图形,2) (根据被积函数及积分区域)确定积分顺序.,即决定对哪一个变量先积分,3) 确定累次积分的积分限,(原则:利用图形,后积分的变量先定限),总结 1、由例4,例5 看出,将二重积分化为累次积分时,积分,(1),是长方体,2. 三重积分化为累次积分(三次积分),可由质量来解释一下：,对于固定 与长方体截面的质量（小薄片）,所有小薄片的质量连续累加,(1) 是长方体 2. 三重积分化为累次积分(三次积分,（2）设,介于平面,和,之间。对每一个,用平行于,的平面,去截立体,的截面,，则有,一般,依赖于,，若,可表示为（投影到,面）,则,若,表示为,则,（2）设介于平面和之间。对每一个用平行于的平面去截立体的截面,3）设,在,面的投影,是简单区域，且平行于,轴且通过,的内点的直线与,的边界相交至多两点见图20-16：,则,也可以把,投影到,面或,面.得到类似的公式,设,3）设在面的投影是简单区域，且平行于轴且通过的内点的直线与的,例6,：,计算,其中,由,围成,解:,区域,在,平面的投影由,围成,这时区域,的底为,顶为,.因此,例6 ：计算 其中由围成 解: 区域在平面的投影由围成,例7.,求,其中,是椭球体,解：,显然，对于每一,用平行于,面的平面,去截椭球体，得一椭圆面,例7. 求,其中是椭球体解：显然，对于每一用平行于面的平面去,它的面积为,显然,由前面的公式有,根据二重积分的几何意义知，,的面积。因此,由椭球体的对称性易见,于是,它的面积为 显然 由前面的公式,在上例的求解过程中，,我们用到了以下一些技巧，使计算大大简化了。,1、利用积分域的对称性和被积函数的对称性，,只需计算三项积分中的一项,2、我们选择了最后对,积分， 即,是因为一方面被积函数仅是,的函数而不依赖于,和,另一方面,总之在求重积分时，应同时兼顾到积分域和被积函数的特点，,合理地选择积分次序，尽可能简化计算。,的值可利用二重积分的几何意义直接得到。,在上例的求解过程中，1、利用积分域的对称性和被积函数的对称性,引理1,设,是,内的一个正方形，左下方顶点为,边长为h，经T映为D内的一个曲边四边形，记为S，则S的面积,3,重积分的变量代换,引理1设是内的一个正方形，左下方顶点为边长为h，经T映为D内,定理20.3,设变换T:,把Ouv平面上由逐段光滑的闭曲线围成的区域,一一映射为Oxy平面的区域D，且,在,有,二阶连续偏导数，,当,而,是定义在D上的连续函数，则,定理20.3设变换T:把Ouv平面上由逐段光滑的闭曲线围成的,例1.,计算,其中,解:,作变换,则,例1. 计算其中解: 作变换则,例2.,计算,其中,解:,在极坐标系下,原式,故,的原函数不是初等函数 ,故本题无法用直角,由于,坐标计算.,例2. 计算其中解: 在极坐标系下原式故的原函数不是初等函数,注:,利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上,非常有用的反常积分公式,事实上, 当,D,为 R,2,时,利用例6的结果, 得,故式成立 .,注:利用例2可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反,作极坐标变换,则,之上，由圆柱面 截出的空间立体的体积。,例4.,计算在旋转抛物面 之下，,平面,解:,记平面区域,作极坐标变换则之上，由圆柱面,例5.,计算椭球体 的体积 。,作广义极坐标变换,则,解:,例5. 计算椭球体,2. 三重积分的变量代换,三重积分变量代换,公式: 令,对应雅可比行列式为,其中,2. 三重积分的变量代换三重积分变量代换公式: 令对应,（1）柱坐标变换,这时,因此变量代换公式为,（1）柱坐标变换这时因此变量代换公式为,例6.,求积分,作柱坐标变换,则,解:,其中 是 与 及 围成,例6. 求积分,（2）球坐标变换,这时,因此变量代换公式为,（2）球坐标变换这时因此变量代换公式为,例7.,求 所围区域的体积,作球坐标变换,则,解:,例7. 求,4 曲面积分,曲面S的面积是D上的一个二重积分，记为,面积元为,4 曲面积分曲面S的面积是D上的一个二重积分，记为面积,5 重积分的物理应用,1 质心,设物体占有空间域,有连续密度函数,则,将,分成,n,小块,将第,k,块看作质量集中于点,例如,系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.,的质点,此质点,在第,k,块上任取一点,5 重积分的物理应用1 质心设物体占有空间域 ,有,质心mass，centre of质量中心或称质心，指物质系统上被认为质量,集中于此的一个假想点。与重心不同的是，质,心不一定要在有重力场的系统中。值得注意的,是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统,的质心与重心不通常在同一假想点上。,质心mass，centre of质量中心或称质心，指物质,令各小区域的最大直径,即得,同理可得,令各小区域的最大直径即得同理可得,则得,质心坐标,：,则得质心坐标：,若物体为占有,xoy,面上区域,D,的平面薄片,(,A,为,D,的面积),得,D,的,质心坐标,:,则它的质心坐标为,其面密度, 对,x,轴的,静力矩, 对,y,轴的,静力矩,若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D,2 转动惯量,设物体占有空间区域, , 有连续分布的密度函数,该物体位于(,x,y,z,) 处的,微元,因此物体,对 z 轴 的转动惯量:,对 z 轴的转动惯量为,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故,连续体的转动惯量可用积分计算.,2 转动惯量设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函,类似可得:,对,x,轴的转动惯量,对,y,轴的转动惯量,对原点的转动惯量,类似可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转,如果物体是平面薄片,面,密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.,3 引力,G,为引力常数,设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力,利用微元法,在,上,积分即得各引力分量:,其密度函数,引力元素在三坐标轴上的投影分别为,3 引力 G 为引力常数设物体占有空间区域 ,物体对位于,对,xoy,面上的平面薄片,D,它对原点处的单位质量质点,的引力分量为,对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点的引,内容小结,(1) 二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形 :,若积分区域为,若积分区域为,内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形 :,积分区域,多由坐标面,被积函数,形式简洁, 或,坐标系 体积元素 适用情况,直角坐标系,柱面坐标系,球面坐标系,变量可分离.,围成 ;,积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系,习题,原式,解:利用极坐标,其中D 为周圆,区域所围成的闭区域.,.计算二重积分,习题原式解:利用极坐标其中D 为周圆区域所围成的闭区域.,化为三次积分,其中,由曲面,提示:,积分域为,原式,及平面,所围成的闭区域 .,.把积分,化为三次积分,其中由曲面提示: 积分域为原式及平面所围成,其中,是,两个球,提示:,由于被积函数缺,x,y,原式 =,.计算积分,其中是两个球 提示: 由于被积函数缺 x , y ,原式,其中,是由,xoy,平面上曲线,所围成的闭区域 .,提示:,利用柱坐标,原式,绕,x,轴旋转而成的曲面与平面,.计算三重积分,其中是由xoy 平面上曲线所围成的闭区域 .提示: 利用柱,.计算积分,其中,D,由,所围成 .,提示:,如图所示,连续,所以,.计算积分其中D 由所围成 .提示:如图所示连续,所以,补充题,例1.,计算二重积分,(1),D,为圆域,(2),D,由直线,解:,(1),利用对称性.,围成 .,补充题例1. 计算二重积分(1) D为圆域(2) D由直线解,将,D,分为,（）积分域如图添加辅助线,利用对称性 , 得,将D 分为（）积分域如图添加辅助线利用对称性 , 得,2.,计算二重积分,其中,D,是由曲,所围成的平面域 .,解:,其形心坐标为:,面积为:,积分区域,线,形心坐标,2. 计算二重积分其中D 是由曲所围成的平面域 .解:其形心,3.,计算二重积分,在第一象限部分.,解:,(1),两部分, 则,把与,D,分成,作辅助线,3. 计算二重积分在第一象限部分. 解: (1)两部分, 则,(2),提示:,两部分,说明:,若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将,D,分成,(2) 提示: 两部分 说明: 若不用对称性, 需分块积分以,4.,如图所示,交换下列二次积分的顺序:,解:,4. 如图所示交换下列二次积分的顺序:解:,5.,解:,在球坐标系下,利用洛必达法则与导数定义,得,其中,5.解: 在球坐标系下利用洛必达法则与导数定义,得其中,作业,P312 2，3，5，6，8；,P331 1，2，3，5，7，8；,P338 1；,作业P312 2，3，5，6，8；,