单因素方差分析培训

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2021/9/27,*,单因素方差分析培训,培训时间：2012年5月培训部门：生产运营部,2021/9/27,什么是方差?,方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数,即：,s=(x1-x)+(x2-x)+.+(xn-x)】/n,其中，x样本的平均数，,n样本的数量，,xn个体；,s方差。,方差反映的是数据的离散度,2,2,2,2021/9/27,方差意义,方差也是比较数据的一个非常有用的工具，比较两组数据大小一般用平均数，但是有的时候平均数不能非常准确的表示数据。,例：有现在有六只鸡，每三只一组，每组鸡的重量为：,第一组：2.5，3，3.5,第二组：1，3，5,两组鸡重量的平均数是一样的，但是这两组鸡却有明显的差别，这是平均数就不能体现二者的差别，所以我们引入了方差的概念。,2021/9/27,什么是方差分析(ANOVA)?,检验多个总体均值是否相等,通过分析观察数据的误差判断各总体均值是否相等,是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量中哪些变量是对观测变量有显著影响的变量,.,一个或多个分类尺度的自变量,2,个或多个,(,k,个,),处理水平或分类,2021/9/27,什么是方差分析?,(例题分析),消费者对四个行业的投诉次数,行业,观测值,零售业,旅游业,航空公司,家电制造业,1,2,3,4,5,6,7,57,66,49,40,34,53,44,68,39,29,45,56,51,31,49,21,34,40,44,51,65,77,58,【例】,为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数如下表,2021/9/27,什么是方差分析?,(例题分析),分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，也就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响,作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等,如果它们的,均值相等,，就意味着“行业”对投诉次数是,没有影响,的，即它们之间的服务质量没有显著差异；如果均值不全相等，则意味着“行业”对投诉次数是有影响的，它们之间的服务质量有显著差异,2021/9/27,方差分析中的有关术语,因素或因子,(factor),：,所要,检验的对象,要分析行业对投诉次数是否有影响，行业是要检验的,因素或因子,水平或处理,(,treatment),：,因子的,不同表现,零售业、旅游业、航空公司、家电制造业就是因子的,水平,观察值：,在每个因素水平下得到的,样本值,每个行业被投诉的次数就是观察值,2021/9/27,方差分析中的有关术语,试验,这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验,总体,因素的每一个水平可以看作是一个总体,比如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可以看作是四个总体,样本数据,被投诉次数可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据,2021/9/27,方差分析的基本思想和原理,(图形分析),零售业 旅游业 航空公司 家电制造,2021/9/27,从散点图上可以看出,不同行业被投诉的次数是有明显差异的,即使是在同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同,行业与被投诉次数之间有一定的关系,如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的模式也就应该很接近,方差分析的基本思想和原理,(图形分析),2021/9/27,仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间有显著差异,这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的,需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析,之所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差,它是通过对数据,误差来源,的分析判断不同总体的均值是否相等（不仅是数量层面的相等）。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源。,方差分析的基本思想和原理,方差体现的是一组数据的离散度,2021/9/27,1.,比较两类误差,，以检验均值是否相等,2.比较的基础是,方差比,3.如果系统(处理)误差显著地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的,4.误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的,方差分析的基本思想和原理,两类误差：随即误差、系统误差,两类方差：组内方差、组间方差,2021/9/27,方差分析的基本思想和原理,(两类误差),随机误差,因素的,同一水平,(,总体,),下,，样本各观察值之间的差异,比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的,这种差异可以看成是随机因素的影响，称为,随机误差,系统误差,因素的,不同水平,(,不同总体,),下,，各观察值之间的差异,如：不同行业之间的被投诉次数之间的差异,这种差异,可能,是由于抽样的随机性所造成的，,也可能,是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为,系统误差,2021/9/27,方差分析的基本思想和原理,(两类方差),组内方差,(,within,groups,):MSE,因素的同一水平,(,同一个总体,),下样本数据的方差,比如，零售业被投诉次数的方差,组内方差只包含,随机误差,组间方差,(,between groups,),：,MSA,因素的不同水平,(,不同总体,),下各样本之间的方差,比如，四个行业被投诉次数之间的方差,组间方差既包括,随机误差,，也包括,系统误差,结合计算实例,2021/9/27,方差分析的基本思想和原理,(F检验：方差的比较),1.若不同不同行业对投诉次数,没有影响,，则组间误差中只包含随机误差，没有系统误差。,F,=,MSA,/,MSE,1,2.若不同行业对投诉次数,有影响,，在组间误差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差。,F,=,MSA,/,MSE,1,3.当这个比值大到某种程度,（临界值Fa）,时，就可以说不同水平之间存在着,显著差异,，也就是自变量对因变量有影响,2021/9/27,方差分析的基本假定,每个总体都应服从正态分布,对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本,比如，每个行业被投诉的次数必需服从正态分布,各个总体的方差必须相同,需进行方差齐性检验,各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的,比如，四个行业被投诉次数的方差都相等,观察值是独立的,比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立,2021/9/27,F(X),-3,-2,-,2,3,68.26%,95.45%,99.73%,X,正态分布图,正态分布特点,2021/9/27,方差分析中基本假定,如果原假设成立，即,H,0,:m,1,=m,2,=m,3,=m,4,四个行业被投诉次数的均值都相等,意味着每个样本都来自均值为,、方差为,2,的同,一正态总体,X,f(X),1,2,3,4,2021/9/27,方差分析中基本假定,若备择假设成立，即,H,1,:m,i,(,i,=1，2，3，4)不全相等,至少有一个总体的均值是不同的,四个样本分别来自均值不同的四个正态总体,X,f(X),3,1,2,4,2021/9/27,问题的一般提法,设因素有,k,个水平，每个水平的均值分别用,1,、,2,、,k,表示,要检验,k,个水平,(,总体,),的均值是否相等，需要提出如下假设：,原假设,H,0,:,1,2,k,备择假设,H,1,:,1,2,，,k,不全相等,设,1,为零售业被投诉次数的均值，,2,为旅游业被投诉次数的均值，,3,为航空公司被投诉次数的均值，,4,为家电制造业,被投诉次数的均值,，,提出的假设为,H,0,:,1,2,3,4,H,1,:,1,2,3,4,不全相等,2021/9/27,单因素方差分析,数据结构,分析步骤,关系强度的测量,用,Excel,进行方差分析,2021/9/27,单因素方差分析的数据结构,(one-way analysis of variance),观察值,(,j,),因素(,A,),i,水平A,1,水平A,2,水平A,k,1,2,:,:,n,x,11,x,21,x,k1,x,12,x,22,x,k2,:,:,x,1n,x,2n,x,kn,2021/9/27,分析步骤：,提出假设,构造检验统计量,统计决策,2021/9/27,提出假设,一般提法,原假设：,H,0,:m,1,=m,2,=,=,m,k,自变量对因变量没有显著影响,备择假设：,H,1,:m,1,，,m,2,，,，,m,k,不,全相等,自变量对因变量有显著影响,注意：,拒绝原假设，只表明至少有两个总体的均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等,2021/9/27,构造检验的统计量,构造统计量需要计算:,水平的均值,（组均值）,全部观察值的总均值,误差平方和,总误差平方和,=,组内平方和,+,组间平方和,均方,(,MS,),：,组内方差、组间方差,结合实例计算演练讲解,2021/9/27,构造检验的统计量,(计算水平的均值),假定从第,i,个总体中抽取一个容量为,n,i,的简单随机样本，第,i,个总体的样本均值为该样本的全部观察值总和除以观察值的个数,计算公式为,式中：,n,i,为第,i,个总体的样本观察值个数,x,ij,为第,i,个总体的第,j,个观察值,2021/9/27,构造检验的统计量,(计算全部观察值的总均值),全部观察值的总和除以观察值的总个数,计算公式为,2021/9/27,构造检验的统计量,(例题分析),2021/9/27,构造检验的统计量,(计算总误差平方和,SST,),全部观察值 与总平均值 的离差平方和,反映,全部观察值的离散,状况,其计算公式为,前例的计算结果：,SST,=(57-47.869565),2,+,+,(58-47.869565),2,=115.9295,2021/9/27,构造检验的统计量,(计算水平项平方和,SSA,),各组平均值 与总平均值 的离差平方和,反映各总体的,样本均值之间的差异,程度，又称,组间平方和,该平方和既包括,随机误差,，,也包括系统误差,计算公式为,前例的计算结果：,SSA,=1456.608696,2021/9/27,构造检验的统计量,(计算误差项平方和,SSE,),每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差平方和,反映每个样本各观察值的,离散,状况，又称,组内平方和,该平方和反映的是,随机误差,的大小,计算公式为,前例的计算结果：,SSE,=2708,2021/9/27,构造检验的统计量,(三个平方和的关系),总离差平方和(,SST,)、误差项离差平方和(,SSE,)、水平项离差平方和(,SSA,)之间的关系,SST,=,SSA,+,SSE,前例的计算结果：,4164.608696=1456.608696+2708,2021/9/27,构造检验的统计量,(三个平方和的作用),SST：,反映全部数据,总的误差,程度；,SSE：,反映,随机误差,的大小；,SSA：,反映,随机误差和系统误差,的大小,如果原假设成立，则表明没有系统误差，SSA除以自由度后的,均方,与组内平方和SSE和除以自由度后的,均方,差异就不会太大；,如果,组间均方,显著地大于,组内均方,，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误差，还有系统误差,判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比较,组间方差,与,组内方差,之间差异的大小,2021/9/27,构造检验的统计量,(计算均方,MS,),各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为消除观察值多少对误差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是,均方,，,又称,方差,。,计算方法：是用误差平方和除以相应的自由度,三个平方和对应的,自由度,分别是,SST,的自由度为,n,-1,，,其中,n,为全部观察值的个数,SSA,的自由度为,k,-1,，,其中,k,为因素水平,(,总体,),的个数,SSE,的自由度为,n,-,k,2021/9/27,构造检验的统计量,(计算均方,MS,),组间方差：,SSA,的均方，记为,MSA,，,计算公式