多元函数微积分学解读课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第八章,多元函数微积分学,8.1 预备知识,8.2,多元函数的概念,8.3 偏导数与全微分,第八章 多元函数微积分学8.1 预备知识8.2 多元函,8.5 多元函数的极值与最值,8.6 二重积分,8.4 复合函数与隐函数微分法,8.5 多元函数的极值与最值8.6 二重积分8.4 复,区域,（1）邻域,连通的开集称为区域或开区域,（2）区域,8.1 预备知识,区域（1）邻域连通的开集称为区域或开区域（2）区域8.,平面方程,一般式：,截距式：,球面方程,标准式：,一般式：,平面方程一般式：截距式：球面方程标准式：一般式：,练 习 一,例1：,已知平面与 轴、轴、轴的截距依次,为3，4，5，则平面方程为。,例2:,球心为（3，4，5）半径为6的球面方,程为。,练 习 一例1：已知平面与 轴、轴、轴的截距依次为3，4,8.2,多元函数的概念,一、多元函数的定义,二、二元函数的极限,三、二元函数的连续性,8.2 多元函数的概念一、多元函数的定义,一、多元函数的定义,定义,类似地可定义三元及三元以上函数,一、多元函数的定义定义类似地可定义三元及三元以上函数,1.求下列函数的定义域,练 习 二,则,2.,设,_.,1.求下列函数的定义域练 习 二,则2.设_,二、二元函数的极限,二、二元函数的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,说明：（1）定义中 的方式是任意的,定义.,设二元函数,定义在,D,上,如果函数在,D,上,各点处,都连续,则称此函数,在,D,上,如果存在,否则称为,不连续,此时,称为,间断点,.,则称 二元函数,连续,.,连续,三、二元函数的连续性,定义.设二元函数定义在 D 上,如果函数在 D 上各点,8.3 偏导数与全微分,一、偏导数,二、全微分,8.3 偏导数与全微分一、偏导数,一、偏导数,（重点）,1、,一、偏导数（重点）1、,多元函数微积分学解读课件,解,例,1,求,在点,处的偏导数.,例2,求函数,的偏导数,.,解,解例1 求 在点处的偏导数.例2 求函数的偏导数.解,2、高阶偏导数,纯偏导,混合偏导,定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数,.,2、高阶偏导数纯偏导混合偏导定义 二阶及二阶以上的偏导,解,例3,设,求,解例3设求,例4.,求函数,解,:,的二阶偏导数.,例4.求函数解:的二阶偏导数.,二、全微分概念,二、全微分概念,例,5.,计算函数,在点(2,1)处的全微分.,解:,例6.,计算函数,的全微分.,解:,例5.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例6.,练 习 三,求,1、设,2、已知,求,3、,求,设,练 习 三求1、设2、已知求3、求设,思考：多元函数连续、可导、可,微三者之间的关系？,思考：多元函数连续、可导、可,多元函数连续、可导、可微的关系,函数可微,函数连续,偏导数连续,函数可导,多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数,8.4 复合函数与隐函数微分法,一、链锁法则,二、隐函数求导法则,8.4 复合函数与隐函数微分法一、链锁法则,一、复合函数求导法则（链式法则）（,重点,）,以上公式中的导数,称为,全导数,.,一、复合函数求导法则（链式法则）（重点）以上公式中的导数,解,解,多元函数微积分学解读课件,解,解,例9.设,求全导数,解:,例9.设 求全导数解:,练 习 四,练 习 四,练习四答案,练习四答案,隐函数的求导公式,二、隐函数的求导法则,（重点）,隐函数的求导公式二、隐函数的求导法则（重点）,解,令,则,解令则,多元函数微积分学解读课件,解,令,则,解令则,1、设,求,练 习 四,2、求由方程,确定的隐函数,的偏导数,1、设,求练 习 四2、求由方程 确定的隐函数的偏导,8.5 多元函数的极值与最值,一、多元函数的极值与最值,二、无条件极值,（重点）,8.5 多元函数的极值与最值 一、多元,1、二元函数极值的定义,一、多元函数的极值与最值,1、二元函数极值的定义一、多元函数的极值与最值,(1),(2),(3),例1,例,例,(1)(2)(3)例1例例,2、多元函数取得极值的条件,2、多元函数取得极值的条件,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的,驻点,.,驻点,极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均,多元函数微积分学解读课件,练 习 五,1、,练 习 五1、,3、最值应用问题,函数,f,在闭域上连续,函数,f,在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别,当区域内部最值存在,且,只有一个,极值点,P,时,为极小 值,为最小 值,(大),(大),依据,3、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达,二、条件极值,极值问题,无条件极值:,条 件 极 值:,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,二、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值:对自变量,多元函数微积分学解读课件,练 习 六,例1、,设某厂生产两产品，产量为,总利润为,已知这两种产品每千件均消耗原料2000公斤，现有原料12000公斤，问两种产品各生产多少时，总利润达最大？,（3.8，2.2）,练 习 六例1、设某厂生产两产品，产量为,例2、,设企业在雇用 名技术人员、名非技术人员时，产品的产量,若企业只能雇佣230人，那么该雇佣多少技术人员、多少非技术人员才能使产量最大？,（90，140）,例2、设企业在雇用 名技术人员、名非技术人员时，产品的,