高等数学随堂讲解二元函数极限

,单击此处编辑母版标题样式,2017/4/17,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,一、二元函数的极限,二、累次极限,与一元函数的极限相类似，二元函数的极限同样是二元函数微积分的基础,.,但因自变量个数的增多,导致多元函数的极限有重极限与累次极限两种形式,而累次极限是一元函数情形下所不会出现的,.,2,二元函数的极限,数学分析,第十六章,多元函数的极限与连续,*点击以上标题可直接前往对应内容,定义,1,设二元函数,定义在,上,为,D,的一个,若,使得当,时,都有,则称,在,D,上当,时以,A,为极限,记作,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,二元函数的极限,聚点,A,是一实数,.,后退 前进 目录 退出,当,P,分别用坐标,表示时,上式也,常写作,在对,不致产生误解时,也可简单地写作,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,不妨先限制在点,(2,1),的方邻域,内来讨论,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,于是有,例,1,依定义验证,证,因为,当,时,就有,这就证得,所以,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,例,2,设,证明,证,(,证法一,),2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,可知,故,注意,不要把上面的估计式错写成：,因为,的过程只要求,即,而并不要求,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,(,证法二,),作极坐标变换,等价于,(,对任何,).,由于,因此，,对任何,都有,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,这时,推论,1,定理,16.5,下述定理及其推论相当于一元函数极限的海涅归,结,原则,(,而且证明方法也相类似,).,的充要条件是：,只要,仍是,E,的聚点,就有,则,也不存在,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,对于,D,的任一子集,E,若,P,0,是,E,1,的聚点,使,不存在,推论,3,推论,2,若,是它们的聚点，,极限,存在的充要条件是：,条件,它所对应的,函数列,都收敛,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,使得,则,不存在,但,都存在，,D,中任一满足,例,3,讨论,当,时是否,存在极限,解,当动点,(,x,y,),沿着直线 而趋于定点,(0,0),由于,因此有,这说明动点沿不同斜率,m,的直线趋于原点时,的极限值不相同，因而所讨论的极限不存在,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,时，,对应,如图,16-15,所示,当,(,x,y,),2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,相应的,都趋于,0,沿任何直线趋于原点时,时的极限为,0.,因为当,(,x,y,),沿抛物线,但这并不表明此函数在,趋于点,O,时,将趋于,1.,所以极限,不存在,.,例,5,讨论,在,时不,存在极限,解,利用定理,16.5,的推论,2,找出两条路径,使得,时,得到两个相异的极限,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,第一条路径简单地取,此时有,第二条路径可考虑能使,的分子与,分母化为同阶的无穷小,导致极限不为,0.,的一种有效选择是取,这就达到了预期的目的,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,按此思路,此时得到,定义,2,设,D,为二元函数,f,的定义域，,是,D,的一,若,使得,则称,f,在,D,上当,时,有非正常极限,记,作,或,仿此可类似地定义：,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,一个聚点,.,例,6,设,.,证明,证,此函数的图象见下图,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,因,故对,这就证得结果,二元函数极限的四则法则与一元函数极限相仿,同,这里不再一一叙述,.,看作点函数,别把,时,相应的证法也相,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,只需取,特,任何方式趋于,这种极限也称为,重极限,.,下面要考察,x,与,y,依一定的先后顺序,相继趋于,在上面讨论的,中,自变量,是以,与,时,f,的极限,这种极限称为,累次极限,.,累次极限,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,定义,3,如果进一步还存在极限,则称此,L,为,先对,后对,的,它一般与,y,有关,记作,累次极限,记作,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,类似地可以定义,先对,y,后对,x,的累次极限,:,注,累次极限与重极限是两个不同的概念,两者之间,没有蕴涵关系,.,下面三个例子将说明这一点,.,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,从而又有,这说明,f,的两个累次极限都存在而且相等,.,同理可得,时的重极限不存在,.,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,但当,时,有,由例,3,知道,当,例,7,设,.,当沿斜率不同的直线,时,有,因此该函数的重极限不存在,.,例,8,设,累次极限分别为,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,它关于原点的两个,例,9,设,这是因为对任何,时,f,的第二项不存在极限,.,项当 时也不存在极限,.,故按定义知道 时,f,的重极限存在,且,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,个累次极限都不存在,.,它关于原点的两,同理,f,的第一,但是由于,定理,16.6,若,f,(,x,y,),的重极限 与累次极限,都存在,证,设,则,使得当,时,有,另由存在累次极限之假设,对任一满足不等式,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,则两者必定相等,.,的,x,存在极限,回到不等式,(1),让其中,由,(3),可得,故由,(2),(4),两式,证得,即,由这个定理立即导出如下两个便于应用的推论,.,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,推论,2,推论,1,若重极限,和累次极限,都存在,若累次极限,都存在但不相等,不存在,.,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,则三者必定相等,.,必定,则重极限,注意,:,(i),定理,16.6,保证了在重极限与一个累次极,限都存在时,它们必相等,.,(ii),推论,1,给出了累次极限次序可交换的一个充分,条件,.,(iii),推论,2,可被用来否定重极限的存在性,(,如例,8).,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,存在性却得不出什么结论,之,2(5).,但对另一个累次极限的,对此只需考察本节习题,例,10,设,试证明,:,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,证,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,根据柯西准则,证得,利用条件,(ii),与结论,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,这就证得,又有,2,二元函数的极限,二元函数的极限,累次极限,注,本例给出了二累次极限相等的又一充分条件,.,定理,16.6,的推论,1,相比较,在这里的条件,(i),与,(ii),成立时,与,未必存在,.,重极限,试问累次极限,