第三章 第6讲 函数与方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,6,讲 函数与方程,1,函数的零点,(1),方程,f,(,x,),0,有,函数,y,f,(,x,),的图像与,x,轴有,函数,y,f,(,x,),有零点,实根,交点,f(a)f(b)0,(2),如果函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),上的图像是连续不断的，,且有,，则函数,y,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),上有零点,2,二,分法,(1),如果函数,y,f,(,x,),在区间,m,，,n,上的图像是连续不断的一,条曲线，且,，通过不断地把函数,y,f,(,x,),的零点所在区,间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点,近似值的方法叫做,f,(,m,),f,(,n,)0,二分法,(2),给定精度,，用二分法求函数,y,f,(,x,),的零点近似值的步骤,如下：,m,，,n,f,(,m,),f,(,n,)0,确定区间,，验证,，给定精度,；,求区间,的中点,；,m,，,n,x,1,计算,f,(,x,1,),：若,f,(,x,1,),0,，则,x,1,就是函数,y,f,(,x,),的,；若,f,(,m,),f,(,x,1,)0,，则令,(,此时零点,x,0,(,m,，,x,1,),；若,f,(,x,1,),f,(,n,)0,，,则令,(,此时零点,x,0,(,x,1,，,n,),零点,n,x,1,m,x,1,2,lg,x,0,有解的区域是,(,1,用二分法研究函数,f,(,x,),x,3,3,x,1,的零点时，第一次经,计算,f,(0)0,，可得其中一个零点,x,0,_,，第二次,应计算,_,以上横线上应填的内容为,(,),A,A,(0,0.5),，,f,(0.25),C,(0.5,1),，,f,(0.75),B,(0,1),，,f,(0.25),D,(0,0.5),，,f,(0.125),),B,1,x,A,(0,1,B,(1,10,C,(10,100 D,(100,，,),3,设,f,(,x,),2,x,x,4,，,x,0,是函数,f,(,x,),的一个正数零点，且,x,0,(,a,，,a,1),，其中,a,N,，则,a,.,(,，,2)(6,，,),4,如果二次函数,y,x,2,mx,(,m,3),有两个不同的零点，,则,m,的取,值范围是,2,5,如图,3,6,1,的函数图像与,x,轴均有交点，其中不能用,二分法求图中交点横坐标的是,(,填序号,).,图,3,6,1,考点,1,估算方程的解的范围,例,1,：利用计,算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：,那么方程,2,x,x,2,的一个根位于下列区间的,(,),A,(0.6,1.0)B,(1.4,1.8),C,(1.8,2.2)D,(2.6,3.0),解题思路：,判断函数,f,(,x,),2,x,x,2,在各个区间两端点的符,号,解析：,由,f,(0.6),1.516,0.360,，,f,(1.0),2.0,1.00,，故排,除,A,；,由,f,(1.4),2.639,1.960,，,f,(1.8),3.482,3.240,，故排除,B,；,由,f,(1.8),3.482,3.240,，,f,(2.2),4.595,4.840,且,a,1),有两个零点，则实数,a,的取值范围是,a,|,a,1,解析：,设函数,y,a,x,(,a,0,，且,a,1),和函数,y,x,a,，则函数,f,(,x,),a,x,x,a,(,a,0,且,a,1),有两个零点，就是函数,y,a,x,(,a,0,，,且,a,1),与函数,y,x,a,有两个交点，由图像可知当,0,a,1,时，因为函数,y,a,x,(,a,1),的图像过点,(0,1),，而直线,y,x,a,所过的点一定在点,(0,1),的上,方，所以一定有两个交点所以实数,a,的取值范围是,a,1.,考点,2,二分法的应用,例,2,：已知函,数,f,(,x,),ln,x,2,x,6.,(1),证明函数,f,(,x,),在其定义域上是增函数；,(2),证明函数,f,(,x,),有且只有一个零点；,(3),求这个零点所在的一个区间，,使这个区间的长度不超过,1,.,4,【,互动探究,】,2,已知,f,(,x,),的图像是连续不断的，有如下的,x,与,f,(,x,),的对应,值表：,则函数,f,(,x,),存在零点的区间,是,(2,3),，,(4,5),考点,3,一元二次方程根的分布,例,3,：是否存在,这样的实数,k,，使得关于,x,的方程,x,2,(2,k,3),x,(3,k,1),0,有两个实数根，且两根都在,0,与,2,之间？如,果有，试确定,k,的取值范围；如果没有，请说明理由,【,互动探究,】,3,已知关于,x,的二次方程,x,2,2,mx,2,m,1,0.,(1),若方程有两根，其中一根在区间,(,1,0),内，另一根在区,间,(1,2),内，求,m,的范围；,(2),若方程两根均在区间,(0,1),内，求,m,的范围,解：,(1),由已知，抛物线,f,(,x,),x,2,2,mx,2,m,1,与,x,轴的交,点分别在区间,(,1,0),和,(1,2),内，画出示意图如图,3,6,2,，得,图,3,6,2,错源：解方程组时没有注意转换的等价性,例,4,：当实数,a,为何值时，圆,x,2,y,2,2,ax,a,2,1,0,与抛,【,互动探究,】,例,5,：,已知,f,(,x,),log,4,(4,x,1),kx,(,k,R),是偶函数,(1),求,k,的值；,有一个公共点，求实数,a,的取值范围,与二次方程,ax,2,bx,c,0(,a,0),的根的分布有关的结论：,(1),方程,f,(,x,),0,的两根中一根比,r,大，另一根比,r,小,a,f,(,r,),0.,1,设函数,f,(,x,),(1,x,),2,ln(1,x,),2,.,(1),求函数,f,(,x,),的单调区间；,1,(2),当,x,e,1,，,e,1,时，不等式,f,(,x,)0,，得,2,x,0,；,由,f,(,x,)0,，得,x,2,或,1,x,0.,因此递增区间是,(,2,，,1),，,(0,，,),；递减区间是,(,，,2),，,(,1,0),2,关于,x,的方程,(,x,2,1),2,|,x,2,1|,k,0,，给出下列四个,命题：,存在实数,k,，使得方程恰有,2,个不同的实根；,存在实数,k,，使得方程恰有,4,个不同的实根；,存在实数,k,，使得方程恰有,5,个不同的实根；,存在实数,k,，使得方程恰有,8,个不同的实根,),A,其中假命题的个数是,(,A,0 B,1,C,2 D,3,