二重积分的计算法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,二重积分的计算法,复习与回忆,(2)回忆一元函数定积分的应用,平行截面面积为的立体的体积的求法,体积元素,体积为,在点,x,处的平行截面的面积为:,(1),二重积分,2,其中函数 、在区间 上连续.,一、利用直角坐标系计算二重积分,(1)X,型域,X,型区域的特点,穿过区域且平行于,y,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,1.,预备知识,3,(2)Y,型域,Y,型区域的特点,穿过区域且平行于,x,轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,4,(3),既非,X,型域也非,Y,型域,在分割后的三个区域上分别都是,X,型域(或,Y,型域),那么必须分割.,由二重积分积分区域的可加性得,5,(1)假设积分区域为X型域：,2,.【二重积分公式推导】,根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为的立体的体积的方法来求.,方法,6,即得,公式,1,7,几点小结,定限口诀,后积先定限,(投影),限内划条线,(穿线),先交下限写,后交上限见,a,b,o,x,y,D,x,(后积变量上下限必为常数),该线平行于坐标轴且同向,投影穿线法,8,3.【,二重积分的计算步骤可归结为,】,画出积分域的图形，标出边界限方程；,根据积分域特征，确定积分次序；,根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。,公式,2,9,(1),使用公式,1,必须是,X,型域，,公式,2,必须是,Y,型域.,(2)假设积分区域既是X型区域又是Y 型区域,为计算方便,可,选择积分次序,必要时还可,交换积分次序,.,(见后续补充例题),(3)假设积分域较复杂,可将它分成假设干,X-型域或Y-型域,说明,10,4.【例题局部】,例,1,解,看作,X,型域,1,2,o,x,y,y,=,x,y,=1,D,x,1,2,o,x,y,x,=,y,x,=2,D,y,1,2,解,看作,Y,型域,11,例,2,解,D,既是,X,型域又是,Y,型域,法,1,1,1,1,x,o,y=x,D,x,y,12,法,2,注意到先对,x,的积分较繁，故应用,法1,较方便,1,1,1,y,o,y=x,D,1,x,y,注意两种积分次序的计算效果！,13,例,3,解,D,既是,X,型域,又是,Y,型域,先求交点,14,法,1,法,2,视为,X,型域,计算较繁,此题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！,15,小结,以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰中选择积分次序；既要考虑积分区域 D 的形状，又要考虑被积函数的特性(易积),16,5.【简单应用】,例,4,求两个底圆半径都等于,R,的直交圆柱面所围成的立体的体积,V.,解,设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限局部,其曲顶柱体的顶为,那么所求体积为,17,例,5,解,据二重积分的性质4几何意义,交点,与定积分元素法一样,18,6.【补充】改变二次积分的积分次序例题,补例,1,解,19,随堂练习,1,.计算,其,中,D,是由直线,y=x,及抛物线,y,2,=x,所围成.,解,积不出的积分，无法计算。,课本,P,154,第,5,题第,6,题,练习,20,解,当被积函数中有绝对值时，要考虑,积分域中不同范围脱去绝对值符号。,分析,补例,2,作业:1,x,1,21,计算,其中,D,由,所围成.,令,(如下图),显然,利用对称性与奇偶性,补例,3,分析,解,课本,P154,第,3,题,与积分变量无关,补例,4,与积分变量无关,与积分变量无关,22,分部积分法(略).,(,05/06,学年第一学期考试题,A,卷),化为二次积分,交换积分次序,原式=,原式,补例5,解,解,23,二重积分在直角坐标下的计算公式,在积分中要正确选择积分次序,二、小结,Y,型,X,型,课本,P153,习题,10-2,练习,24,