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*,第八章 傅立叶变换,*,第八章 傅立叶变换,8.1 Fourier,变换的概念,第八章,Fourier,变换,8.2,单位冲激函数,8.1 Fourier,变换的概念,8.3 Fourier,变换的性质,Fourier,变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够,简化运算,(,如求解微分方程、化卷积为乘积等等,),，又具有,非常特殊的物理意义。,的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。,展起来的。在微积分课程中已经学习了,Fourier,级数的有关,内容，因此本节将先简单地回顾一下,Fourier,级数展开。,8.1,Fourier,变换的概念,因此，,Fourier,变换不仅在数学的许多分支中具有重要,Fourier,变换是在周期函数的,Fourier,级数的基础上发,8.1,Fourier,变换的概念,一、周期函数的,Fourier,级数,二、,非,周期函数的,Fourier,变换,一、周期函数的,Fourier,级数,1.,简谐波的基本概念,简谐波,为基本,周期,；,为,频率,。,A,称为,振幅,，,其中，,称为,角频率,，,称为,相位,，,(,称为,零相位,),。,(,单位：秒,),(,单位：赫兹,Hz,),补,一、周期函数的,Fourier,级数,2.,正交函数系,函数系,补,2.,正交函数系,特点,由 组合叠加可以生成,周期为,T,的复杂波。,(1),周期性,(2),正交性,一、周期函数的,Fourier,级数,一、周期函数的,Fourier,级数,2.,正交函数系,问题,对于任何一个周期为,T,的,(,复杂,),函数,，,?,能否：,(,Fourier,级数的历史回顾,),区间 上,满足如下条件,(,称为,Dirichlet,条件,),：,则在 的,连续,点,处有,(1),连续或只有有限个第一类间断点；,(2),只有有限个极值点,.,(,Dirichlet,定理,),设 是以,T,为周期的实值函数，且在,定理,3.Fourier,级数的三角形式,一、周期函数的,Fourier,级数,P183,定理,8.1,在 的,间断,处，上,式左端为,称之为,基频,。,(,Dirichlet,定理,),定理,3.Fourier,级数的三角形式,其中,(A),称,(A),式为,Fourier,级数的三角形式,。,定义,一、周期函数的,Fourier,级数,4.Fourier,级数的物理含义,令,则,(A),式变为,O,(A),改写,一、周期函数的,Fourier,级数,P184,这些简谐波的,(,角,),频率分别为一个基频 的倍数。,频率成份，其频率是以基频 为间隔离散取值的。,”,这是周期信号的一个非常重要的特点,。,4.Fourier,级数的物理含义,认为,“,一个周期为,T,的周期信号 并不包含所有的,意义,周期信号可以分解为一系列,固定频率,的简谐波之和，,表明,一、周期函数的,Fourier,级数,相位,反映了在信号,中,频率为 的简谐波,这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。,4.Fourier,级数的物理含义,反映了频率为 的简谐波在信号 中,振幅,所占有的份额；,沿时间轴移动的大小。,一、周期函数的,Fourier,级数,5.Fourier,级数的指数形式,代入,(A),式并整理得,根据,Euler,公式,可得,推导,(A),已知,一、周期函数的,Fourier,级数,P183,5.Fourier,级数的指数形式,推导,则有,令,其中,(B),称,(B),式为,Fourier,级数的指数形式,。,定义,一、周期函数的,Fourier,级数,(1),分解式是惟一的。,注意,(2),计算系数 时,其中的积分可以在任意,一个长度为,T,的区间上进行。,(3),采用周期延拓技术，可以将结论应用到,仅仅定义在某个有限区间上的函数。,5.Fourier,级数的指数形式,一、周期函数的,Fourier,级数,6.,离散频谱与频谱图,得,O,分析,由,即 的模与辐角正好是振幅和相位。,称 为,频谱,，记为,称 为,振幅谱,，,称 为,相位谱,；,定义,一、周期函数的,Fourier,级数,P185,6.,离散频谱与频谱图,将振幅 、相位 与频率 的关系画成图形。,频谱图,O,O,一、周期函数的,Fourier,级数,(1),当,n,=,0,时，,解,基频,O,解,(2),当 时,O,(3),的,Fourier,级数为,解,(4),振幅谱为,相位谱为,O,(5),频谱图如下图所示。,解,1,-,2,2,-,1,O,1,-,2,2,-,1,O,O,借助,Fourier,级数展开，使得人们能够完全了解一个,信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对,信号的分析手段也称为,频谱分析,(,或者,谐波分析,),。,但是，,Fourier,级数要求被展开的函数必须是周期函,数，,而在工程实际问题中，,大量遇到的是非周期函数，,那么，对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢,?,二、,非,周期函数的傅立叶变换,二、,非,周期函数的傅立叶变换,(1),非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数”。,1.,简单分析,当,T,越来越大时，取值间隔越来越小；,当,T,趋于无穷时，取值间隔趋向于零，,因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。,其频谱是以 为间隔离散取值的。,即频谱将连续取值。,(2),当 时，,频率特性,发生了什么变化？,二、,非,周期函数的傅立叶变换,1.,简单分析,Fourier,级数表明周期函数仅包含离散的频率成份，,分析,(3),当 时，,级数求和,发生了什么变化？,二、,非,周期函数的傅立叶变换,1.,简单分析,记为,节点,将间隔,记为,得,并由,分析,(C),P187,分析,则,按照积分定义，在一定条件下，,(C),式可写为,记,(3),当 时，,级数求和,发生了什么变化？,二、,非,周期函数的傅立叶变换,1.,简单分析,(2),绝对可积，即,上的任一有限区间内满足,Dirichlet,条件；,(1),在,二、,非,周期函数的傅立叶变换,定理,设函数,满足,的间断处，公式的左端应为,在,2.Fourier,积分公式,称,(D),式,为,Fourier,积分公式,。,定义,则在,的连续点处，有,(D),P187,定理,8.2,(2)Fourier,逆变换,(,简称,傅氏逆变换,),称为,傅氏变换对,，记为,与,二、,非,周期函数的傅立叶变换,-,1,(1)Fourier,正变换,(,简称,傅氏正变换,),定义,其中，,称为,象原函数,称为,象函数,，,3.Fourier,变换的定义,P188,定义,8.1,注,上述变换中的广义积分为柯西主值。,二、,非,周期函数的傅立叶变换,4.Fourier,变换的物理意义,与,Fourier,级数的物理意义一样，,Fourier,变换同样,称 为,振幅谱,；,称 为,相位谱,。,刻画了一个非周期函数的频谱特性，不同的是，非周期,函数的频谱是连续取值的。,一般为复值函数，故可表示为,称 为,频谱密度函数,(,简称为,连续频谱,或者,频谱,),；,定义,反映的是 中各频率分量的分布密度，它,P188,解,(1),a,-,a,1,O,t,P188,例,8.2,(2),振幅谱为,相位谱为,解,2,a,O,O,主瓣,旁瓣,(3),求,Fourier,逆变换，即可得到的,Fourier,积分表达式。,解,-,1,可得重要积分公式,:,在上式中令,注,可得重要积分公式,:,在上式中令,一般地，有,特别地，有,注,1,O,t,解,(1),P190,例,8.4,解,振幅谱为,(2),相位谱为,O,O,解,-,1,1,O,(?),(,关于抽样信号,),P189,例,8.3,解,-,1,-,1,1,记为,轻松一下,历史回顾,Fourier,级数,附：,1807,年,12,月,12,日，在法国科学院举行的一次会议上，,Fourier,宣读了他的一篇关于热传导的论文，宣称：,在有限区间上由,任意,图形定义的,任何,函数,都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和。,经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德三人,(,号称,3L,),审阅后，,认为其推导极不严密，被拒,(,锯,),收,。,1811,年，,Fourier,将修改好的论文：,提交给法国科学院。,关于热传导问题的研究,其新颖、实用，从而于,1812,年获得法国科学院颁发的,大奖，但仍以其不严密性被,论文汇编,拒,(,锯,),收。,经过评审小组,(,3L,),审阅后，认为,历史回顾,Fourier,级数,附：,1822,年，,Fourier,经过十年的努力，终于出版了专著：,热的解析理论,这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用,的三角级数方法，发展成内容丰富的一般理论，特别是在,工程应用方面显示出巨大的价值。,历史回顾,Fourier,级数,附：,1829,年，德国数学家,Dirichlet,终于对一类条件较“宽”的,函数给出了严格的证明。时年,24,岁。,1830,年,5,月,16,日，,Fourier,在巴黎去世。,启示：,(1),有价值的东西一定是真的；真的东西一定是美的。,(2),坚持不懈的努力就一定会有收获。,历史回顾,Fourier,级数,附：,解析数论的创始人之一。,对数论、数学分析和数学物理有突出贡献。,对德国数学发展产生巨大影响。,德国数学家,(1805,1859),狄利克雷,Dirichlet,，,Peter Gustav Lejeune,人物介绍,狄利克雷,附：,1859,年,5,月,5,日卒于格丁根。,1839,年任柏林大学教授。,1855,年接任,C.,F.,高斯,在哥廷根大学的教授职位。,1805,年,2,月,13,日生于迪伦。,1822,1826,年在巴黎求学。,中学时曾受教于物理学家,G.,S.,欧姆,。,回国后先后在布雷斯劳大学和柏林军事学院任教。,人物介绍,狄利克雷,附：,附：,人物介绍,傅立叶,傅立叶级数、傅立叶分析等理论的始创人。,1822,年出版经典著作,热的解析理论,。,“,深入研究自然是数学发现最丰富的源泉。,”,J.,Fourier,法国数学家、物理学家,(1768,1830),傅立叶,Fourier,，,Jean Baptiste Joseph,1801,年回国后被任命为格伦诺布尔省省长。,1795,年任巴黎综合工科大学助教。,1798,年随拿破仑军队远征埃及。,1768,年,3,月,21,日生子法国中部欧塞尔一个裁缝家庭。,1785,年回乡教数学。,9,岁父母双亡，,12,岁由一主教送入军事学校读书。,1817,年当选为法国科学院院士。,1822,年任法国科学院终身秘书。,1830,年,5,月,16,日卒于巴黎。,附：,人物介绍,傅立叶,(,返回,),附：,抽样信号,通常将函数,称为,抽样信号,，记为 或者,抽样信号在连续,(,时间,),信号的,离散化、,离散,(,时间,),信号,的,1,精确恢复,以及信号的,滤波,中发挥着重要的作用。,附：,低通滤波,函数,称为,理想低通滤波因子,；,它所对应的频谱函数 称为,理想低通滤波器,。,1,O,当用,理想低通滤波器,与其它信号的频谱函数相乘时，,能使信号的低频成份,完全通过,(,保留,),，高频成份,完全压制,。,O,(,返回,),
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