线段和的最小值问题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,中考数学中的最短问题,-,线段和的最小值问题,青田二中 虞伟杰,A,B,如图，要在街道旁修建一个奶站,P,，向居民区,A、B,提供牛奶，奶站,P,应建在什么地方，才能使从,A，B,到它的距离之和最短？为什么？,街道,P,P,A,B,A,P,如图，要在街道旁修建一个奶站,P,，向居民区,A、B,提供牛奶，奶站,P,应建在什么地方，才能使从,A，B,到它的距离之和最短？为什么？,街道,P,求线段和最小值的一般步骤：,连结对称点,A,与,B,之间的线段，交直线,l,于点,P,，,点,P,即为所求的点，线段,AB,的长就是,AP+BP,的最小值。,选点,P,所在直线,l,为对称轴；画出点,A,的对称点,A,；,B,A,P,L,A,基本图形:,两点一线,B,B,P,L,A,基本解法:,利用对称性,将“折”转“直”,1,、如图，正方形,ABCD,的边长为,2,，,E,为,AB,的中点，,P,是,AC,上一动点连结,BD,，由正方形对称性可知，,B,与,D,关于直线,AC,称连结,ED,交,AC,于,P,，则,PB+PE,的最小值等于线段,_,的长度，最小值等于,_,；,2,、小聪根据实际情况，以街道旁为,x,轴，建立了如图,1,所示的平面直角坐标系，测得,A,点的坐标为（,0,，,3,），,B,点的坐标为（,6,，,5,），求从,A,、,B,两点到奶站,P,距离之和的最小值。,练习,A,P,C,B,A,E,P,D,C,DE,5,出题背景变式有,：,角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。,解题思路,：,找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。,变式1（,2008,年湖北荆门市中考题）,如图，菱形,ABCD,的两条对角线分别长,6,和,8,，点,P,是对角线,AC,上的一个动点，点,M,、,N,分别是边,AB,、,BC,的中点，则,PM,+,PN,的最小值是,_,A,D,C,B,M,N,P,M,P,5,练习,(,2011广西,试题改编）,如图所示，在边长为,2,的正三角形,ABC,中，,E,、,F,、,G,分别为,AB,、,AC,、,BC,的中点，点,P,线段,EF,上一个动点，连接,BP,、,GP,，,则,（,1,）,PB+PG,的最小值是,（2,）,BPG,周长的最小值是,。,F,E,P,G,C,B,A,P,3,2,变式2,如图，在直角坐标系中，点,A,的坐标是（,2,4,），点,B,的坐标是（,6,2,），在,y,轴和,x,轴上找两点,P,、,Q,，使得,A,，,B,，,P,，,Q,四点组成的四边形周长最小，请画出示意图，并求出,P,、,Q,两点的坐标。,B,A,P,Q,.,P,Q,.,课堂小结,不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，,总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”，实现“折”转“直”,本节课我们学习了,问题，,这类问题的解题方法是怎样的？,线段和的最小值,数学思想：转化思想,练习、,(,2010,东营,),如图，已知二次函数y=ax,2,-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）,（1）求该二次函数的解析式；,（,2,）已知该函数图象的对称轴上存在一点,P,，使得,ABP,的周长最小请求出点,P,的坐标,x,O,A,B,y,B,P,谢谢,2,、已知：如图，,AB,是,O,的直径，,AB=4,，点,C,是半圆的三等份点，点,D,是弧,BC,的中点，,AB,上有一动点,P,，连接,PC,，,PD,，则,PC+PD,的最小值是多少？并画出点,P,的位置,.,A,B,C,O,P,D,D,P,2,、,(2009,年鄂州,),已知直角梯形,ABCD,中，,AD,BC,，,AB,BC,，,AD,=2,，,BC,=,DC,=5,，点,P,在,BC,上移动，则当,PA,+,PD,取最小值时，,APD,中边,AP,上的高为（,）,A,、,B,、,C,、,D,、,3,A,P,D,B,C,.,D,O,x,y,B,E,P,A,C,4.,如图，抛物线,y=ax,2,+bx+c,的顶点,P,的坐标为,，交,x,轴于,A,、,B,两点，交,y,轴于点,（,1,）求抛物线的解析式,（,2,）把,ABC,绕,AB,的中点,E,旋转,180,，得到四边形,ADBC,判断四边形,ADBC,的形状，并说明理由,（,3,）试问在线段,AC,上是否存在一点,F,，使得,FBD,的周长最小，,若存在，请写出点,F,的坐标；若不存在，请说明理由,拓展,（,2012,台州市中考题）,如图，菱形,ABCD,中，,AB=2,，,A=120,，点,P,，,Q,，,K,分别为线段,BC,，,CD,，,BD,上的任意一点，则,PK+QK,的最小,值为（）,A,、,1,B,、,C,、,2,D,、,+1,A,Q,B,P,K,C,D,P,Q,K,B,E,P,Q,5,