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对换定义及与排列,的奇偶性的关系,一、对换的定义,定义,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换,将相邻两个元素对调，叫做,相邻对换,例如,二、对换与排列的奇偶性的关系,定理1,一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,证明,设排列为,对换 与,除 外，其它元素的逆序数不改变.,当 时，,的逆序数不变;,经对换后 的逆序数增加1 ,经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.,设排列为,当 时，,现来对换 与,次相邻对换,次相邻对换,次相邻对换,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变,奇偶性.,推论,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.,定理,2,阶行列式也可定义为,其中 为行标排列 的逆序数.,证明,由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的,变化次数,而,标准排列是偶排列(逆序数为0),因此,知推论成立.,证明,按,行列式定义有,记,对于,D,中任意一项,总有且仅,有 中的某一项,与之对应并相等;,反之,对于 中任意一项,也总有且仅有,D,中的某一项,与之对应并相等,于是,D,与,中的项可以一一对应并相等,从而,定理3,阶行列式也可定义为,其中 是两个 级排列， 为行,标排列逆序数与列标排列逆序数的和.,例1,试判断 和,是否都是六阶行列式中的项.,解,下标的逆序数为,所以 是六阶行列式中的项.,下标的逆序数为,所以 不是六阶行列式中的项.,例2,在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.,解,431265的逆序数为,所以 前边应带正号.,行标排列341562的逆序数为,列标排列234165的逆序数为,所以 前边应带正号.,例3,用行列式的定义计算,解,1. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改,变奇偶性,2.行列式的三种表示方法,三、小结,其中 是两个 级排列， 为行,标排列逆序数与列标排列逆序数的和.,思考题,证明 在全部 阶排列中 ,奇偶排列各占一半.,思考题解答,证,设在全部 阶排列中有 个奇排列, 个偶排列,现来证,.,将 个奇排列的前两个数对换,则这 个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以,若将 个偶排列的前两个数对换,则这 个偶排列,全变成奇排列,并且它们彼此不同,于是有,故必,有,
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