静电场例题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,例题,求：电偶极子中垂面上任意点的场强,解,定义：偶极矩,r,l,r,+,= r,-, r,+,-,P,Y,o,X,a,r,a,dq,O,x,y,+,+,+,+,+,一带电细棒被弯成半圆型，上半部均匀带,+Q,电荷，下半,部均匀带,-Q,电荷，半径为,R,求圆心,O,处的电场强度大小,y,R,+,+,+,+,-,-,-,-,x,O,分析：先分别求,+Q,-Q,产生,的电场强度，再矢量迭加,例题,已知：总电量,Q,；,半径,R,。,求： 均匀带电圆环轴线上的场强。,x,R,（,2,）,R,x,无 限 大 带电平面场强,x,E,o,P,x,X,r,dr,如图，一点电荷,q,位于立方体的,A,角上，则通过,abcd,面,的,E,通量,是多少。,a,b,c,d,A,先假设点电荷,q,位于立方体中,心，则通过每一侧面的通量都为总通量,作,7,个体积相同的立方体，,使,A,点位于一个大立方体的正中。,所以通过,abcd,的通量为,例、均匀带电球壳的场强。,设有一半径为,R,、均匀带电为,Q,的薄球壳。求球壳内部和外部任意点的电场强度。,解：以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为,根据高斯定理，通过球面的电通量为球面内包围的电荷,当场点在球壳外时,当场点在球壳内时,高斯面,高斯面,均匀带电球壳,结果表明：,均匀带电球壳外的电场强度分布象球面上的电荷都集中在球心时所形成的点电荷在该区的电场强度分布一样。,例、均匀带电球体的场强。,设有一半径为,R,、均匀带电为,Q,的球体。求球体内部和外部任意点的电场强度。,均匀带电球体,解：以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为,根据高斯定理，通过球面的电通量为球面内包围的电荷,当场点在球体外时,当场点在球体内时,例、无限长均匀带电直线的场强,设有一无限长均匀带电直线，电荷线密度为,，求距离直线为,r,处的电场强度。,解：以带电直导线为轴，作一个通过,P,点，高为,h,的圆筒形封闭面为高斯面,S,，通过,S,面的电通量为圆柱侧面和上、下底面三部分的通量。,其中上、下底面的电场强度方向与面平行，电通量为零。所以式中后两项为零。,此闭合面包含的电荷总量,其方向沿求场点到直导线的垂线方向。正负由电荷的符号决定。,计算无限长均匀带电圆柱面的电场。,R,S,P,r,P,俯视图,其中,R,E,r,例、,计算无限大均匀带电平面的电场。,S,（,a,）,电场线的分布,（,b,）,高斯面的取法,其中,所以,当场源是几个具有对称性的带电体时，可用高斯定理分别求各带电体单独存在时的场强，再作矢量叠加。,例题,求：电荷面密度分别为,1,、,2,两个平行放置的,无限大均匀带电平面,的场强分布。,A B C,+ + + + +,+ + + + +,+ + + + +,+ + + + +,当 ,1,= -,2,= ,解：,带电平板电容器间的场强,分析：尽管电荷不是均匀分布，,小相等，方向为矢径方向。,使得场强也具有对称分布，即,但由于电荷分布对于,O,点对称，,以,o,点为球心的球面上处处的场强大,例,7,、,O,R,一半径为,R,的带电球体，其电荷体密度分布为,（,q,为一正常数），计算其内外的场强分布。,例,8,、,一半径为 的球体均匀带正电，体电荷密度为 ，球内有,一半径为 的小球形空腔，空腔中心 点与球心,O,点相距为,a,。如,图所示。求空腔内任一点,P,的场强 并画出腔内电力线分布图。,令,则,（,1,）对于实心球体 ：,（,2,）对于实心球体 ：,同理有,即空腔内为均匀电场，大小为 ，方向沿矢量 方向。,例、,两个异号的点电荷,ne,和,-,e,（,n1,）。相距为,a,，,1.,求,空间任一点的电势,; 2.,证明电势为零的面为一个球面。,O,Z,Y,X,（,1,）选取如图所示的坐标，,则 点的电势为：,即,（,2,）令 有,即,显然上式为一个球面方程。,求：电荷线密度为,的,无限长带电直线,的电势分布。,解：由,分析 如果仍选择无限远为电势,0,点，积分将趋于无限大。必须选择某一定点为电势,0,点,通常可选地球。现在选距离线,a,米的,P,0,点为电势,0,点。,a,P,0,例题,例、,计算均匀带电圆环轴线上任一点,P,的电势。设这圆,环放在电容率为 的无限大均匀电介质中，环的半径为,R,，电量为,q,。,O,P,X,R,x,整个带电环在,P,点的电势,则,显然在 时有,建立如图所示坐标系，取,x,已知：总电量,Q,；,半径,R,。,求：均匀带电圆盘轴线上的场强。,当,x,R,X = 0,例题,U,x,R,0,E,R,例题,求：均匀带电球面的电场的电势分布,.,P,解,：,已知,设无限远处为,0,电势，则电场中距离球心,r,P,的,P,点处电势为,U,P,=,？,U,r,R,方法一：,1,2,3,4,由高斯定理得,则,例、,三个同心带电导体球壳，半径分别为 ，,带电量分别为 ，求电势分布。,1,2,3,4,方法二：,（,1,）区域,1,，均处于球,1,、球,2,、球,3,之内,（,2,）区域,2,，处于球,1,之外，球,2,、球,3,之内,同理可得,1,2,3,4,例,1,、,已知电势函数 。计算点,处的电场强度。,例,2,、,计算均匀带电细圆环（半径为,R,，带电量为,a,）的,轴线上任一点的电场强度。,分析：,我们曾经用场叠加原理计算过这个问,题，由于 是矢量，所以计算较为麻烦。,是标量，无须考虑方向，无须分解为分量积分。,本章主要围绕电场强度 、电势 两个最主要的物理,量展开。这两个量都是用来描述电场性质的量， 描述,电场力方面性质， 描述电场能方面的性质。 与,之间的关系表达式有：,由于 只是 的函数。,例题,3,已知：总电量,Q,；,半径,R,。,求： 均匀带电圆环轴线上的电势,解：,R,x,0,P,x,与场强。,思考题,下例说法对否？ 举例说明。,（,1,）场强相等的区域，电势处处相等？,（,2,）场强为零处，电势一定为零？,（,3,）电势为零处，场强一定为零？,（,4,）场强大处，电势一定高？,R,a,P,0,典型电场电势,典型电场的场强,3.,高斯定理,均匀带电球面,球面内,球面外,均匀带电无限长直线,均匀带电无限大平面,均匀带电球面,均匀带电无限长直线,均匀带电无限大平面,方向垂直于直线,方向垂直于平面,例题两个半径分别为,R,和,r,的球形导体（,R,r,），用一根很长的细导线连接起来（如图），使这个导体组带电，电势为,V,，求两球表面电荷面密度与曲率的关系。,Q,导体上的电荷分布,解,:,两个导体所组成的整体可看成是一个孤立导体系，在静电平衡时有一定的电势值。设这两个球相距很远，使每个球面上的电荷分布在另一球所激发的电场可忽略不计。细线的作用是使两球保持等电势。因此，每个球又可近似的看作为孤立导体，在两球表面上的电荷分布各自都是均匀的。设大球所带电荷量为,Q,，小球所带电荷量为,q,，则两球的电势为,Q,导体上的电荷分布,可见大球所带电量,Q,比小球所带电量,q,多。,两球的电荷密度分别为,可见电荷面密度和半径成反比，即曲率半径愈小（或曲率愈大），电荷面密度愈大。,导体上的电荷分布,S,S,例：两块平行放置的面积为,S,的金属板，各带电量,Q,1,、,Q,2,板距与板的线度相比很小。求：,若把第二块金属板接地，以上结果如何？,E,I,E,II,E,III,Q,1,Q,2,静电平衡时,金属板电荷的分布和周围电场的分布。,E,I,E,II,E,III,Q,1,Q,2,解,：,高斯定理,静电平衡条件,导体内部的场强为零,电荷守恒,P,1,P,2,解得：,电场分布,：,E,I,E,II,E,III,Q,1,Q,2,P,1,P,2,E,I,E,II,E,III,Q,1,Q,2,如果第二块坂接地，则,4,= 0,电荷守恒,高斯定理,静电平衡条件,解得：,P,例、,带有电荷,，半径,为,的,实心导体球，同心地,罩上一个带电,，内径为,，外径为,的,导体,球壳。试求：（,1,）静电平衡时内球和球壳的电荷分,布；（,2,）如图所示，,A,、,B,、,C,、,D,处的场强和电势；,（,3,）用导线把内球和球壳相连，此时的电荷分布及,A,、,B,、,C,、,D,处的场强和电势又如何？,（,1,）据静电平衡条件和高斯定理有：,内球：电荷,均匀分布,在球面；,球壳：内表面均匀分布 ；,外表面,均匀分布,。,A,D,C,B,（,2,）由高斯定理，可算得：,所以,（,3,）用导线把内球与球壳相连，则内球与球壳连成一,导体整体。静电平衡时，电荷只分布于导体表面，故内,球表面和球壳内表面都不带电，,电荷,均匀分布与球,壳外表面，导体内场强为零，整个导体是一等势体，即,A,D,C,B,A,B,例、,如图所示，在一接地导体,A,内有同心带电 导体,B,，,A,外有一电量为,Q,的点电荷，已知点电荷与球壳,B,的球,心距离为,R,，空腔,A,的外表面半径为,a,，求：（,1,）空腔,A,的内表面电量。（,2,）空腔,A,的外表面电量。,R,Q,由于高斯面在球壳内，故,则,得,（,1,）通过球壳内任一点,作半径为,r,的,球形高斯面，并设空腔内表,面的感应电荷为 ，应用高斯,定理有：,（,2,）由高斯定理得：,由于球壳接地有,，,根据电势的定义,则,O,点的电势为：,得：,另一方面,设球壳,A,外表面电量为,q2,由电势叠加原理,d,+q,例,面积为,S,的接地金属板，距离,d,处有一点电荷,+q,（,d,很小），则板上离点电荷最近处的感应电荷面密度 为,多少,?,因板接地，故背离,q,的面无,感应电荷。,P,点的电场为,与,的叠加，大小为零。故,与 如,图所示。,S,P,将感应电荷分成两部分：一部分以,P,点为圆心的圆,形面元,，,另一部分为其余面上电荷。而第二部分,电,荷在,P,点的场强相抵消。故,实际上,只是,上电,荷,产生的。由于,p,点离,很,近，故可把,称为,无限,大带电平板，即有,而,O,+,+,+,-,-,-,+q,x,p,O,R,q,U,r,R,例题,如图金属球半径为,R,1,、带电量,+Q,；均匀、各向同性介质层外半径,R,2,、相对介电常数,r,；,R,2,R,1,r,Q,求：,分布,C B,A,大小,0,r,解 由对称性分析确定,沿,矢径方向,R,2,R,1,r,Q,C B,A,S,2,+ + + + + +,+,1,求： ,各介质内的,电容器的电容,。,d,1,例,1,：平行板电容器两极板面积为,S,，,极板间有两层电介质,介电常数分别为,1,，,2,，厚为,d,1,d,2,。,电容器极板上自由电荷面密度 ,。,d,2,解：, 由高斯定理,S,S, ,两极板间的电势差,- +,- +,- +,- +,- +,例,2,已知平板电容器,两极板间距为,d,面积为,S,电势差为,V,其中放有一,层厚度为,t,的均匀电介质,其相对电,容率为,r,求其电容,C,每个极板所带,电量,q,介质中的,E,D;,空气中的,- +,+,+,+,+,+,-,-,-,-,-,- +,d,A,B,S,t,- +,- +,- +,- +,- +,- +,例、球形电容器的内、外半径分别为,R,1,和,R,2,，所带的电量为,Q,。若在两球之间充满电容率为,的电介质，问此电容器电场的能量为多少。,R,1,R,2,解：若电容器两极板上电荷的分布是均匀的，则球壳间的电场是对称的。由高斯定理可求得球壳间的电场强度的大小为,电场的能量密度为,取半径为,r,、厚为,d,r,的球壳，其体积为,d,V,=4,r,2,d,r,。所以此体积元内的电场的能量为,电场总能量为,R,Q,例 ：,+Q,1,-Q,1,C,1,C,2,+Q,2,-Q,2,把两个电容器并联，计算两个电容器并联前后静电能,平板电容器,电荷面密度为,面积为,S,极板相距,d,。问：不接电源将介电常数为 的,均匀电介质充满其中，电场能量、电容器的电容各有什么变化？,例题,解：,d,能量减少了,电场力作功！,电容增大了,可容纳更多的电荷！,例题一平行板电容器的板极面积为,S,，间距为,d,，充电后两极板上带电分别为,Q,。断开电源后再把两极板的距离拉开到,2,d,。求（,1,）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（,2,）两极板之间的相互吸引力。（空气的电容率取为,0,）。,板极上带电,Q,时所储的电能为,解,（,1,）两极板的间距为,d,和,2,d,时，平行板电容器的电容分别为,d,1,d,2,（,2,）设两极板之间的相互吸引力为,F,，拉开两极板时所加外力应等于,F,，外力所作的功,A,=,Fd,，所以,故两极板的间距拉开到,2,d,后电容器中电场能量的增量为,d,1,d,2,例,平行板空气电容器每极板的面积,S,= 310,-2,m,2,，板极间的距离,d,= 310,-3,m,。今以厚度为,d,= 110,-3,m,的铜板平行地插入电容器内。（,1,）计算此时电容器的电容；（,2,）铜板离板极的距离对上述结果是否有影响？（,3,）使电容器充电到两极板的电势差为,300,V,后与电源断开，再把铜板从电容器中抽出，外界需作功多少功？,解,： （,1,）铜板未插入前的电容为,d,1,d,2,d,d,+,-,C,1,C,2,A,B,设两板极上带有电荷,q,铜板两表面上将分别产生感应电荷，面密度也为, ,，此时空气中场强不变，铜板中场强为零。两极板,A,、,B,的电势差为,所以铜板插入后的电容,C,为,2,）由上式可见，,C,的值与,d,1,和,d,2,无关（,d,1,增大时，,d,2,减小。,d,1,+,d,2,=,d,-,d,不变），所以铜板离极板的距离不影响,C,的值,d,1,d,2,d,d,+,-,C,1,C,2,A,B,（,3,）铜板未抽出时，电容器被充电到,U,=300,V,，此时所带电荷量,Q=C,U,，电容器中所储静电能为,能量的增量,W-W,应等于外力所需作的功，即,当电容器与电源切断后再抽出铜板，电容器所储的静电能增为,代入已知数据，可算得,二 毕,萨定律应用,讨论,例题,2,I,宽度为,a,的无限长金属平板，均匀通电流,I,，,将板细分为许多无限长直导线,每根导线宽度为,d x,通电流,解,：,建立坐标系,x,所有,d,B,的方向都一样：,求：图中,P,点的磁感应强度。,P,d,0,x,讨论,求：一段圆弧圆电流在其曲率中心处的磁场。,例题,4,R,I,a,b,方向,解,：,I dl,R,O,I,I,I,O,1,2,3,a,I,I,O,1,2,3,思考,三角形边长,a,电流,I,已知,例,9,，有一无限大均匀载流,薄铜片 ，已知单位宽度上,的电流强度为,i,求距铜片为,a,的,p,点处的磁感应强度。,解,：取宽度为,dx,的无限长,直导线，,dI=idx,，则它在,p,点产生的磁感应强度为：,例题：一半径为,r,的圆盘，其电荷面密度为,，设圆盘以角速度,绕通过盘心垂直于盘面的轴转动，求圆盘中心的磁感强度。,解法,1,：设圆盘带正电荷，且绕轴,O,逆时针旋转，在圆盘上取一半径分别为,与,+d,的细环带，此环带的电量为,dq=ds=2d,，考虑到圆盘以角速度,绕,O,轴旋转，周期为,T=2/,，于是此环带上的圆电流为：,已知圆电流在圆心处的磁感应强度为,B=,0,I/2R,，其中,I,为圆电流，,R,为圆电流半径，因此，圆盘转动时，圆电流在盘心,O,的磁感应强度为：,于是整个圆盘转动时，在盘心,O,的磁感应强度为,如圆盘带上正电，则磁感应强度的方向垂直纸面向外。,解法,2,：取小微元,dd,小微元所带的电荷为：,dq=dd,运动速度为,v,= ,，方向垂直于矢径,小微元在盘心,O,点产生在磁场为：,方向垂直于纸面向外，各个小微元在盘心处产生的磁场方向都向外，积分得盘心处的磁感应强度为：,例,4,、,同轴电缆的内导体圆柱半径为,R,1,，,外导体圆筒内外半径分别为,R,2,、,R,3,，,电缆载有电流,I,，求磁场的分布。,解：同轴电缆的电流分布具有轴对称性在电缆各区域中磁力线是以电缆轴线为对称轴的同心圆。,R,2,R,3,I,R,1,I,r,r, R,1,时, 取沿半径,r,的磁感应线为环路,R,1,r, R,2,同理,R,2,R,3,I,R,1,I,r,R,2,r, R,3,B,= 0,2,R,长度矢量,解：,方向,均匀磁场中放置一半径为,R,的半圆形导线，电流强度为,I,，导线两端连线与磁感强度方向夹角,，求此段圆弧电流受的磁力。,例题,例题,2,、,证明转动带电园盘的磁矩 。,r,d,r,o,解：,与 为 夹角，,方向如图。,取,a b,方向为 方向，则,例,如图求 。,式中,负号表示 方向与 方向相反。即,b a,方向。,a,极是“,+”,极，,b,极是“,”,极。,与 夹角为,x,解法,2,用法拉第电磁感应定律求解,t=0,导线处于,ab,处，,t,时刻导线,运动,x,距离,（,a,）,例,.,稳恒的均匀磁场垂直于纸面向里，导线,abc,的形,状是半径为,R,的 圆。导线沿 的分角线方向以速度,V,水平向右运动，如图所示。求导线上的动生电动势。,（,1,）用 求解,所以导线上的动生电动势,在导线,abc,上任取一线元 。在 处 方向竖直,向上。设 与 的夹角为 ，由几何关系可知,由自由电子的堆积得知动生电动势方向由,c a,，,则,c,为负极，,a,为正极。由于 就是,ac,的长度，故,等效于长为 的直导线,ac,在磁场中运,动时所产生的动生电动势。,故在导线,abc,上产生的动生电动势,当,闭合回路,abca,整体以速度,v,向右运动时，由于穿过回,路的磁通量不变，所以,而,故,直导线,ac,在磁场中作切割磁感线运动，产生的动生电动,势 可用电动势定义式定律计算。,所以,用右手定则或楞次定律的方法同样可判的,c,为负极，,a,为,正极。结果与（,1,）相同。,假设用一直导线,ac,与导线,abc,构成一闭合回路。,（,2,）用法拉第定律求解。,例,如图求 。,取 方向如图。,同时注意，不同点的,方向相同。,与 为 夹角，,与 夹角为 ，,指出 方向。,R,R,R,推广掌握,I,例：,一根长度为,L,的铜棒，在磁感应强度为,B,的均匀的磁场中，以角速度,w,在与磁场方向垂直的平面上绕棒的一端,O,作匀速运动，试求铜棒两端之间产生的感应电动势的大小。,解法,2,：用法拉第电磁感应定律,解法,1,：按定义式解,例：法拉第电机，设铜盘的半径为,R,，,角,速度为,。求盘上沿半径方向产生的电动势。,解,:,法拉第电机可视为无数铜棒一端在圆心，另一端在圆周上，即为并联，因此其电动势类似于一根铜棒绕其一端旋转产生的电动势。,由于 ，所以,管内有感生电场产生。按对称性，,截面内与中心相距为,r,的圆柱 上,各点的感生电场场强大小相等、方向,与回路相切，且因为感生电场与 的方向成左手螺旋,关系,(,回路方向定为顺时针方向,),，所以电场线取图示方,向。感生电场 沿半径为,r,的圆周 积分，有,例、,在半径为,R,的长直螺线管中,通有变化的电流（如图所示）,使管,内磁场均匀增强，求螺线管内、外,感生电场的场强分布。,（,1,）螺线管内横截面的磁场，,如图所示。,据感生电场与变化磁场的关系，有,对比上述两式，可得到在螺线管内距中心为,r,处的感生,电场的场强大小为,（,2,）在螺线管外，当,rR,时，感生电场,的场强沿半径为,r,的圆周 积分得,由于,rR,，积分环路 内只有 面积,中有磁通变化，所以,r,对比上述两式，可得在螺线管外距中心为,r,处的感生,电场的场强大小为,方向如图中箭头所示。,方法一：,例、,在半径为,R,的圆柱体内，充满磁感强度为,的均匀磁场，有一长为,L,的金属棒放在磁场中，如图所,示。设 ，且为已知，求棒两端的感生电动势。,假想一回路,obao,，则,方法二：,方法一：,例、,如图所示，长直导线,AB,中的,I,沿导线向上，并且以,的变化率均匀增长，导线附近放一个与之,共面的直角三角形线框，其一边与导线平行，尺寸如图,所示。求感应电动势的大小和方向。,取如图所示的坐标，,线框斜边方程为：,则三角形中的磁通量为,(,回路顺时针方向,）,方向为逆时针方向。,dx,方法二：,例、,如图所示，真空中一长直导线通有电流,（式中 、 为常量，,t,为时间），有一带滑动边的矩形,导线框与长直导线共面，两者相距为,a,，矩形导线框的滑,动边与长直导线垂直，它的长度为,b,，且以匀速,v,（方向,平行与长导线）滑动。若忽略线框中的自感电动势，并,设开始时滑动边与对边重合，试求任意时刻,t,在矩形导线,框内的感应电动势 。,（,1,）由于线框中既有动生电动势（设其为 ），,又有感生电动势（设其为 ），故回路中总的感应电,动势 是动生电动势与感生电动势的叠加，即,设顺时针为回路正向,（,2,）此题亦可直接用法拉第定律的通量法则来求解，即,如图：取 向下，则 的方向为向里。,所以,与（,1,）的计算结果相同。,注意：（,1,）利用 计算总电动势过程中，在计,算 时需要选定一个方向 ，在计算 时，需要选定一,个方向 ，必须保证两个方向是自洽的，即应使 的方,向与 的方向之间构成右手关系。,设螺线管通有电流,I,，管内磁感应强度,通过每匝线圈的磁通量,通过整个螺线管的磁链,所以螺线管的自感系数,例、,有一长度为,l,的长直螺线管，单位长度的匝数为,n,，,截面积为,S,，其中充满磁导率为 的磁介质。试求该螺,线管的自感系数。,因此，该电缆单位长度的自感系数,可见,L,的计算方法是：,1.,设回路电流为,I,，写出,B,的表达式（一般由安培环路,定理）,2.,计算,3.,例：计算同轴螺旋管的互感。,解：假设在长直线管,1,上通过的电流为,I,1,，则螺线管内中部的磁感应强度为：,根据互感系数的定义可得：,设有两个一长度均为,l,、横截面积为,S,，,匝线分别为,N,1,和,N,2,的同轴长直密绕螺,线管，试计算它们的互感系数（管内,充满磁导率为, 的,磁介质）。,穿过,N,2,匝线圈的总磁通量为：,k,叫做耦合系数，,0,k,1,，其值,与线圈的相对位置有关。,以上是无漏磁情况下推导的，即彼此磁场完全穿过。,当有漏磁时,:,讨论：,线圈,1,的自感系数：,线圈,2,的自感系数：,*,电容,C,，自感,L,，互感,M,的计算原理基本一样。,例,.,如图，计算无限长直导线与一矩形线圈之间的互感系数。,