五年级奥数第1讲整除问题初步

,五年级奥数竞赛课本,满视界在线课堂,上册,满,视,界,第一讲,整除问题初步,数论专题第,1,讲,知识精讲,从这一讲开场，我们将会进入一个神奇而美妙的世界：数论。,什么是数论呢,人类从学会数数开场，就一直和整数打交道，人们在对整数的应用和研究中探索出很多奇妙的数学规律，正是这些富有魅力的规律，吸引了古往今来的许多数学家，于是就出现了数论这门学科。,确切地说，数论就是一门研究整数性质的学科。,我们就从最根本的性质整除开场，一起在数论的海洋中遨游吧。,数论在数学中的地位是独特的，伟大的，数学家高斯曾经说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠。,知识精讲,一、整除的意义,如果整数a除以整数bb0，除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b/a。,如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说并不能整除a。,注意：整除指的是除数能整除被除数！,知识精讲,二、整除的一些根本性质,1.尾数判断法,1能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除.,2能被4、25整除的数的特性：末两位能被4、25整除。,3能被8、125整除的数的特性：末三位能被8、125整除。,2.数字求和法,能被3、9整除得数的特性：各位数字之和能被3、9整除。,3.奇偶位求差法,能被11整除的数的特性：“奇位和与“偶位和的差能被11整除。,我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，.，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，.，统称为偶数位。我们把“奇数位上的数字之和简称为“奇位和，把偶数位上的数字之和简称为“偶位和。,例题一：,判断下面是一个数的整除性，23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407。,1这些数中，有哪些数能被4整除，哪些数能被8整除？,2哪些数能被25整除，哪些数能被125整除？,3哪些数能被3整除，哪些数能被9整除？,4哪些数能被11整除？,练习一：,在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些数能被4整除？哪些数能被3整除，哪些数能被11整除？,如果将例题一中能被3整除的数相加或相减，会发现得到的结果还能被3整除；同样的，如果将其中能被11整除的数相加或相减，会发现得到的结果同样能被11整除，从中我们可以总结出如下规律。,和整除性与差整除性：,两个数如果都能被自然数a整除，那么它们的和与差也能被a整除。,上,面我们已经学习了如何利用整除特性，解决单个数的整除问题，下面我们再来看一看涉及,多个数的整除问题,应该如何解决。,例题二：,173是一个四位数。温教师说，“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9、11、8整除。问：文教师在方框中先后填入的三个数字之和是多少？,分析：此题包括三个小问题，我们逐个分析，需要分别用到9、11和8的整除特性。,练习二：,在23,的方框内先后填入三个数字，分别组成3个三位数使他们依次被3、4、5整除。,例题三：,刘叔叔给45名工人发完工资后，将总钱数记在一张纸上，但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“67 8 ，其中方框表示破了的洞，刘叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元，请问这45名工人的总工资有可能是多少元呢？,分析：这45名员工的工资都一样，所以总工资就能被45整除，我们没有学过被45整除的数的特性。但注意到，45=59，于是67 8 应该能同时被5和9整除，那么先考虑哪一个数的整除特性比较好呢？,在例三中我们并不知道45的整除特性，但是能,被45整除的数,也能被5和9整除，那么,只考虑5和9的整除特性,即可。,请同学们注意，虽然45等于315，但是在考虑能否被45整除时，,不能只考虑被3和15整除,，你能想明白这是为什么吗？,练习三：,四位数3,3,。能被36整除，那么这个四位数可能是多少？,例题四：,一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部 ，效劳人员告诉他，目前只有形如“1234 6 8的号码可以申请，也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而基于数字不得改动，王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码，请问他申请的号码可能是多少？,分析：要被8整除说明号码的后三位6 8是8的倍数，想一下这样的三位数是唯一的吗？,练习四：,七位数，22 333 能被44整除，那么这个七位数是多少？,有时候满足题目条件的答案会非常多。如果只要求找出,最大的或最小的,，我们只需要从极端的情况考虑即可。,这就是,最值,的思想。,挑战极限,例题五：,在所有各位数字互不一样的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？,分析：要想让五位数最大且数字不重复，位于前面数位上的数字应尽可能的大。如果想让五位数尽量小，位于前面数位上的数字尽可能的小。,例题六：,有1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大数是多少？,分析：,要想能被11整除，奇位和与偶位和的差应该是11的倍数，奇位和与偶位和的和又是什么呢？,课堂检测,1下面有9个自然数：48，75，90，122，650，594，4305，7836，4100。其中能被4整除的有哪些？能被25整除的有哪些？,2有如下5个自然数：12345，189，72457821，333666，54289，其中能被9整除的有哪些？,3有如下5个自然数：3124，3823，45235，5289，5588，其中能被11整除的有哪些？,4125 是一个四位数。王教师说，我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，一次能被9，11，8整除，问王教师在方框中先后填入的三个数字之和是多少？,5阿呆买了72只同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法识别，总价数字也不全，只能认出 11.4 表示不明数字，请问总价应该是多少？,满视界,THANK,YOU,下次再见,