第1章被控对象数学模型

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,过程控制,第一章 被控对象的数学模型,要实现过程控制，首先要了解和掌握被控对象的过程特性，而用数学语言对过程特性进展描述就是被控对象的数学模型。被控对象的数学模型在过程控制系统的分析与综合中起着至关重要的作用。本章在介绍被控对象数学模型的根本概念、作用和要求的根底上，详细阐述利用机理法建模和实验法建模的原理、方法和步骤。,第一章 被控对象的数学模型,目 录,被控对象的数学模型,被控对象的数学模型的建立,机理法建立被控对象的数学模型,实验法建立被控对象的数学模型,1.1.1 被控对象的数学模型 的概念,被控对象就是正在运行着的各种各样的被控制的生产工艺设备，例如各种加热炉、锅炉、发酵罐、热处理器、精馏塔等。,被控对象的数学模型就是被控对象的动态特性的数学表达式，即被控对象的输出量被控量在输入量控制量和扰动量作用下变化的数学函数关系式。,1.1,被控对象的数学模型,数学模型的分类,:,自动调整系统、程序控制系统、随动系统伺服控制系统,线性系统和非线性系统,连续系统与离散系统,单输入单输出系统与多输入多输出系统,确定系统与不确定系统,集中参数系统和分布参数系统,1.1,被控对象的数学模型,被控对象数学模型的作用,设计过程控制系统和控制参数整定,指导设计生产工艺设备,进展仿真试验研究,实施工业过程的优化,实现工业过程的故障检测和诊断,培训系统运行操作人员,1.1,被控对象的数学模型,被控对象数学模型的要求,实际生产工程的特性是非常复杂的，为了建立被控对象的数学模型，有时需要做一些合理的假设，,突出主要因素，忽略次要因素。,并在此假设条件下，得到被控对象的数学模型。作为被控对象的数学模型，,总的,要求是,简单且准确可靠。,在过程控制中实际应用的数学模型传递函数的阶次一般不高于三阶，一般采用的是带有纯滞后的一阶惯性环节和带有纯滞后的二阶振荡环节的形式，其中最常用的是带有纯滞后环节的一阶惯性环节形式。,1.1,被控对象的数学模型,自平衡过程：被控对象受到干扰作用后平衡状态被破坏，无须外加任何控制作用，依靠对象本身自动趋向平衡的特性称为自衡。具有这种特性的被控过程称为自衡过程。,如果被控量只需稍微改变一点就能重新恢复平衡，该过程的自衡能力强。自衡能力的大小由对象静态增益,K,的倒数衡量，称为自衡率,(,),，,=1/,K,。,常见的,4,类工业过程模型类型，即自衡非振荡过程、无自衡非振荡过程、自衡振荡过程、具有反向特性的过程。,典型的工业过程动态特性,1.1,被控对象的数学模型,1,自衡非振荡过程,其中,为过程的纯滞后时间,1.1,被控对象的数学模型,2,无自衡非振荡过程,1.1,被控对象的数学模型,3,自衡振荡过程,1.1,被控对象的数学模型,4,具有反向特性的过程,1.1,被控对象的数学模型,机理法建模,机理法建模就是根据生产过程中实际发生的变化机理，写出各种相关的平衡方程，如：物质平衡方程、能量平衡方程、动量平衡方程、相平衡方程以及反映流体流动、传热、化学反响等根本规律的运动方程、物性参数方程和某些设备的特性方程，从中获得所需的被控过程的数学模型。,1.2,被控对象的数学模型,的建立,一般情况下，由机理推导的微分方程往往比较复杂，需要对模型进展简化，以获得实用的数学模型。,简化模型方法有以下三种：一是在开场推导时就引入简化假定，使推导出的方程在符合过程主要客观事实的根底上尽可能简单；二是在得到较复杂的高阶微分方程时，用低阶的微分方程或差分方程来近似；三是对得到的原始方程利用计算机仿真，得到一系列的响应曲线阶跃响应曲线或频率特性，根据这些特性，再用低阶模型去近似。如有可能，对所得的数学模型进展验证，假设与实际过程的响应曲线差异较大，那么需要对数学模型进展修改和完善。,1.2,被控对象的数学模型,的建立,实验法建模是根据被控对象输入/输出的实验测试数据通过数学处理后得出数学模型。此方法又称为系统辨识。,系统辨识是根据测试数据确定模型构造包括形式、方程阶次以及时滞情况等，在已定模型构造的根底上，再由测试数据确定模型的参数即为参数估计。,实验法建模,1.2,被控对象的数学模型,的建立,系统辨识的一般步骤 ：,明确数学模型的应用目的及要求,掌握足够多的验前知识,实验设计,辨识方法应用,用阶跃响应、频率响应、频谱分析、相关函数或参数估计等方法来建立过程的数学模型。对于模型构造，包括模型形式、时滞情况及方程阶次确实定等，通常总是先作假定，再通过实验加以验证。,模型验证,1.2,被控对象的数学模型,的建立,当用单一的机理法或实验法建立复杂的被控对象的数学模型比较困难时，可采用将机理法和实验法相结合的方法来建立数学模型。,一是局部采用机理法推导相应局部的数学模型，该局部往往是工作机理非常熟悉的局部。对于其它尚不熟悉或不很肯定的局部那么采用实验法得出其数学模型。,二是先通过机理分析确定模型构造形式，再通过实验数据来确定模型中各个参数的具体数值。这种方式实际上是机理法建模和参数估计两者的结合。,机理法与实验法建模相结合,1.2,被控对象的数学模型,的建立,从机理出发，用理论的方法得到被控对象数学模型，主要是依据物料平衡和能量平衡，一般用下式表示：,单位时间内进入对象的物料量或能量,单位时间内由对象流出的物料量或能量,系统内物料或能量蓄藏量的变化率,1.3,机理法建立被控对象的数学模型,机理法建模的根本步骤如下：,根据建模过程和模型使用目的做出合理假设。,根据被控对象的构造以及工艺生产要求进展根本分析，确定被控对象的输入变量和输出变量。,根据被控对象的内在机理，列写原始动态方程组。,消去中间变量，得到只含有输入变量和输出变量的微分方程式或传递函数。,在满足控制工程要求的前提下对动态数学模型进展必要的简化。,1.3,机理法建立被控对象的数学模型,单容过程的数学模型,单容过程是指只有一个储存容量的过程。单容过程可以分为自平衡单容过程和无自平衡单容过程。,1. 自平衡单容过程,单容液位控制过程如下图。,其流入量为Q1，其大小 由阀门1的,开度控制。流量为流出量Q2，它取,决于用户的需要，其大小由阀门2,的开度控制。以储存罐中液位的高,度h为被控量，即输出，流入量Q1为输入，来建立其输入输出关系的数学模型。,1.3,机理法建立被控对象的数学模型,根据物料平衡关系，即在单位时间内储存罐的液体流入量与单位时间内储存罐的液体流出量之差，应等于储存罐中液体储藏量的变化率。故有：,即：,其中,A,是横,截面积。,1.3,机理法建立被控对象的数学模型,由上可见，液位变化,dh/dt,由两个因素决定：,一是储存罐的截面积,A,；,一是流入量与流出量之差,Q,1,-Q,2,。,A,越大，,dh/dt,越小；,Q,1,-Q,2,越大，,dh/dt,越大。,在过程控制系统中，被控对象一般都有一定储存物料或能量的能力，储存能力的大小通常用容量或,容量系数,表示，其表示符号为,C,。其物理意义是：引起单位被控量变化时被控对象储存能量、物料量变化的大小。,1.3,机理法建立被控对象的数学模型,本例中,A,是决定液位变化率大小的因素。,假设以增量形式表示各变量相对于稳态值的变化量，可得：,假设Q2与h近似成线性正比关系，与阀门2处的液阻R成反比关系，即,那么可得：,其中,1.3,机理法建立被控对象的数学模型,对上式取,Laplace,变换，可得液位变化与流入量之间的传递函数：,令,T=RC,，,K=R,，可,得：,其中,T,为过程时间常数，,K,为过程,放大系数或增益。,1.3,机理法建立被控对象的数学模型,液位控制过程的阶跃响应如下图。当t时，液位变化趋于稳态值。对于该过程，输入量的变化经过储存罐这个对象后，放大了K倍，故K称为放大系数。液阻R不但影响液位过程的时间常数T，而且影响放大系数K；而容量系数C仅影响液位过程的时间常数T。时间常数T是表征液位过程响应快慢的重要参数。,1.3,机理法建立被控对象的数学模型,2无自平衡单容过程,所谓无自平衡过程是指受扰过程的平衡状态被破坏后，在没有操作人员或仪表等干预下，依靠被控过程自身能力不,能重新回到平衡状,态。如下图为无,自平衡单容液位过,程 。,1.3,机理法建立被控对象的数学模型,因阀门,2,换成计量泵，使在任何情况下,Q,2,都保持不变，即与液位,h,的大小无关，故有：,因为Q2=0，那么可得：,对上式取,Laplace,变换，可得液位变化与流入量之间的传递函数：,其中,T=C,为,被控对象的积分时间常数。,1.3,机理法建立被控对象的数学模型,当输入发生阶跃扰动后，输出量将无限制地变化下去，不会停顿。这与实际物理过程是相吻合的。因为当流入量Q1阶跃变化后，液位h将随之而变，而流出量不变，所以储存罐的液位h要么一直上升直至液体溢出，要么一直下降直至液体被抽干。,1.3,机理法建立被控对象的数学模型,无自平衡单容过程阶跃响应曲线如下图。,当过程具有纯滞后时，如下图：,其中,为过程的纯滞后时间,有自平衡过程的传递函数为：,无自平衡过程的传递函数为：,1.3,机理法建立被控对象的数学模型,有自平衡过程的阶跃响应过程如下图 ：,1.3,机理法建立被控对象的数学模型,1.3.3,多容过程的数学模型,具有一个以上存储容量的过程称为多容过程。在实际生产过程中被控对象大多具有一个以上的存储容量。,如下图的液位过程由管路别离的两个储存罐组成，它有两个储水的容器称为双容过程。,1.3,机理法建立被控对象的数学模型,不计两个储存罐之间管路所造成的时间延迟，以阀门,1,的流量,Q,1,为输入量，第二个储存罐的液位,h,为输出量，求此两容过程的数学模型,根据物料平衡关系，可以列写出以下增量方程,式中：,Q,1,、,Q,2,、,Q,3,为流过阀门,1,、阀门,2,、阀门,3,的流量；,h,1,、,h,2,为储存罐,1,和,2,的液位；,C,1,、,C,2,为其溶液系数；,R,1,、,R,2,为阀门,2,、阀门,3,的液阻。,1.3,机理法建立被控对象的数学模型,对上式进展Laplace变换，整理可得双容过程的数学模型,如下图为该双容过程的阶跃响应曲线。,由图可见，与自平衡单容过程的阶跃响应曲线相比，双容过程的单位阶跃响应曲线从一开场就变化较慢。这是因为在两个储存罐之间存在液体流通阻力，延缓了输出量的变化。显然，如果依次相接的储存罐越多，过程容量越大，这种延缓就会越长。,1.3,机理法建立被控对象的数学模型,假设储存罐1与储存罐2之间管道长度有延迟，那么传递函数为：,假设将阀门3改为定量泵，使该过程的输出量与液位的上下无关，那么无自平衡双容过程的传递函数如下：,式中,T,C,=C,2,1.3,机理法建立被控对象的数学模型,假设改为如下图的串接并联，Q2的大小不仅与液位h1有关，而且与后接储存罐的液位h2有关。此时过程的传递函数为：,式中：,T,1,=R,2,C,1,、,T,2,=R,3,C,2,、,T,12,=R,3,C,1,、,K,0,=R,3,。,1.3,机理法建立被控对象的数学模型,实验测试法建模是根据被控过程输入、输出的实测数据进展数学处理后得到数学模型。与机理法建模相比，测试法建模的主要特点是在预先设计一个合理的测试方案下，无需深入了解被控过程机理，通过试验数据以获得被控过程的数学模型。实验测试法建模是把被研究的被控过程视为一个黑匣子，完全从外特性上测试和描述它的动态性质。对于一些复杂的工业过程，测试方案设计显得尤为重要。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,非参数模型辨识方法，或称经典辨识方法：,测试的动态特性是以时间或频率为自变量的实验曲线，称为非参数模型。,是在假定被控过程是线性的前提下，不必事先确定模型的具体构造。这类方法可适用于任意复杂的过程，应用比较广泛。,为了获得动态特性，必须参加鼓励信号使被控对象处于被鼓励的状态。根据鼓励信号和数据分析方法的不同，实验方法要有以下几种：,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,时域方法：输入阶跃信号，通过被控对象的阶跃响应曲线求出传递函数。,频域方法：输入不同频率的正弦波，测出输入变量与输出变量的幅值比和相位差，通过获得的被控对象的频率特性，求得传递函数。,统计相关法：输入某种随机信号或直接利用本身存在的随机噪声进展观察和记录，应用统计分析方法研究被控对象的动态特性。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,参数模型辨识方法，称为现代辨识方法 ：,假定一种模型构造，通过极小化模型与被控过程之间的误差准那么函数来确定模型的参数。,最小二乘法,梯度校正法,极大似然法,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,1.4.1,阶跃响应曲线法建立被控对象的模型,阶跃响应曲线法是对处于开环、稳态的被控过程，使其控制输入量产生一阶跃变化，测得被控过程的阶跃响应曲线，然后再根据阶跃响应曲线，求取被控过程输入与输出之间的动态数学关系,传递函数。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,为得到可靠的测试结果，做测试时应注意以下几点：,试验测试前，被控过程应处于相对稳定的工作状态。否那么，就容易将被控过程的其它动态变化与试验时的阶跃响应混淆在一起，影响辨识结果；,输入的阶跃变化量不能太大，以免对生产的正常进展造成影响，但也不能太小，以防其它干扰影响的比重相对较大。一般阶跃变化在正常输入信号最大幅值的515之间，大多取10；,完成一次试验测试后，应使被控过程恢复原来工况并稳定一段时间，再做第二次试验测试；,在一样条件下应重复多做几次试验，从几次的测试结果中选择两次以上比较接近的响应曲线作为分析依据，以减少随机干扰因素的影响；,分别做阶跃输入信号为正、反方向两种变化情况的试验比照，以反映非线性对被控过程的影响。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,由阶跃响应曲线求出传递函数，首先要根据被控过程阶跃响应曲线的形状，选定模型传递函数的形式，然后再确定具体参数。在工业生产中，大多数过程的过渡过程都是有自平衡能力的非振荡衰减过程，其传递函数可以用一阶惯性环节加滞后、二阶惯性环节加滞后或,n,阶惯性环节加滞后几种形式来近似：,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,对于无自平衡特性的被控对象，可以选用以下传递函数近似：,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,对于具体的被控对象，传递函数形式的选用一般从以下两方面考虑：,根据被控过程的先验知识选用适宜的传递函数形式；,根据建立数学模型的目的及对模型的准确性要求，选用适宜的传递函数形式。,在满足精度要求的情况下，尽量选用低阶传递函数的形式。大量的实际工业过程一般都采用一、二阶传递函数的形式来描述。,确定了传递函数形式之后，由阶跃响应曲线来求取被控对象动态特性的特征参数即放大系数K、时间常数T、迟延时间等，被控过程的数学模型传递函数就可确定。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,过程的阶跃响应曲线如以下图所示。t=0时曲线斜率最大，之后斜率减小，逐渐上升到稳态值y()，那么该响应曲线可用一阶惯性环节来近似。此时，需要确定的参数只有T和K。,由阶跃响应曲线确定传递函数参数,K,和,T,的方法为：由阶跃响应曲线定出,y(),，然后确定,K= y()/x,0,值，再在阶跃响应曲线的起点处做切线，该切线与,y(),的交点所对应的时间即为,T,。,1.,由,阶跃响应曲线确定一阶惯性环节的特性参数,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,根据测试数据直接,计算,T,：,令,那么,在阶跃响应曲线上找到上述几个数据所对应的时间t1、t2、t3，那么可计算出T。如果由t1、t2 和t3分别取的数值T有差异，可以用求平均值的方法对T加以修正。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,如果被控过程的阶跃响应曲线是一条如下图的S形单调曲线，可以选用有纯滞后的一阶惯性环节作为该过程的传递函数。,2.,由,阶跃响应曲线确定一阶惯性环节加滞后环节的特性参数,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,阶跃响应曲线的稳态值与阶跃输入的幅值之比即为被控过程的放大系数，故常利用作图法和两点计算法确定被控过程时间常数与滞后时间。,作图法,在上图中阶跃响应曲线斜率最大A点处作一条切线，该切线与时间轴交于B点，与y(t)的稳态值y()交于C点，C点在时间轴上的投影为D点，BD即为被控过程的时间常数T，OB即为被控过程的滞后时间。,由于阶跃响应曲线的最大斜率处不易找准，因而切线的方向会有较大的随意性，通过作图求得的时间常数T与滞后时间值会有较大误差。可以采用如下计算方法求取T与值。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,计算法,利用阶跃响应y(t)上两个点的数据计算T和。为了计算方便，首先将y(t)转换成无量纲形式y0(t)，如下图。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,其阶跃响应无量,纲,的形式如下：,在图中选取二个不同时刻,和 ，以及对应的 和，和 ，其中 ， ，通过计算可确定,和,。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,为了方便计算，可选 ，代入上两式可得,计算出T和后，还应该把计算的结果与实测曲线进展比较，以检验所得模型的准确性。,假设计算结果与实测值的差距可以承受，说明所求得的一阶惯性加滞后环节传递函数满足要求。否那么，说明用一阶惯性加滞后环节近似被控过程的传递函数不适宜，应选用高阶传递函数。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,对无滞后的二阶环节，只需确定参数K、T1和T2。其相应的阶跃响应曲线如下图。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,2.,由,阶跃响应曲线确定二阶惯性环节的特性参数,化为无量纲形式的阶跃响应,y,0,(t),后，传递函数如下表示：,其相应的单位阶跃响应为,根据上式，可以利用阶跃响应曲线上两个点的数据求出,T,1,和,T,2,。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,假设选取y0(t1)=0.4、y0(t2)=0.8两点，再从曲线上确定对应的t1和t2，即可得到方程组,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,上式的近似解为,采用上,式来确定,T,1,和,T,2,时，,应满足条件：,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,当 时，被控对象的数学模型可近似为一阶惯性环节。,当 时，被控对象的数学模型可近似为一阶惯性环节，时间常数为,当,时，被控过程数学模型可近似为,，其时间常数为,当 时，被控过程数学模型应用高于二阶的环节近似，即 ，其时间常数为 。式中的,n,可根据 由下表查出。,n,1,2,3,4,5,6,8,10,12,14,t,1,/t,2,0.32,0.46,0.53,0.58,0.62,0.65,0.685,0.71,0.735,0.75,高阶被控对象数学模型的阶数,n,与 的关系,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,假设用二阶惯性加滞后环节近似上图所示的阶跃响应曲线，静态放大系数K仍直接计算。纯滞后时间可根据阶跃响应曲线开场出现变化的时刻来确定，见以下图；然后在时间轴上截去纯滞后，化为无量纲形式的阶跃响应y0(t)，利用上述方法计算出T1和T2。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,对于无自平衡过程，其阶跃响应如下图。无自平衡被控过程的阶跃响应随时间t将无限增大，但其变化速度会逐渐趋于稳定。,3.,由,阶跃响应曲线确定无自衡被控过程数学模型的的特性参数,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,假设用式 来近似上图的阶跃响应曲线，为了从曲线确定时间常数T，作阶跃响应曲线的渐近线，即稳态局部的切线与时间轴交于t2，与时间轴的夹角为，如下图。可得,那么有：,这样就得到了被控过程的传递函数,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,这个方法简单，但在在t1A时间段误差比较大。,从图可看出，在 0 t1 之间，可取纯滞后= t1。在阶跃响应到达稳态后，主要是以积分作用为主，那么有,在t1A时间段，惯性环节起主要作用，可取T2= t2-t1，那么被控过程的传递函数为,如果对时间段t1A有更高的精度要求，那么可选高阶环节作为被控过程的传递函数。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,阶跃响应法是辨识过程特性最常用的方法。如前所述，阶跃响应曲线的获得是在过程正常输入的根底上再叠加一个阶跃变化而成。如果实际生产不允许由较长时间和较大幅值的输入变化，可以考虑采用矩形脉冲实验法来进展。即在正常根底上，给过程施加一个理想脉冲输入，测取输出量的变化曲线，并据此估计过程参数。至于矩形脉冲的上下宽窄，可根据生产实际情况而定。,由于阶跃响应法比较简单，因此，可在实验获取矩形脉冲响应曲线后，先将其转换为阶跃响应曲线，然后再按照阶跃响应曲线法确定各个参数。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,如下图，矩形脉冲信号可以看成两个极性相反、幅值一样、时间相差的阶跃信号叠加而成。因此，其输出响应也是由两个时间相差、极性相反、形状完全一样的阶跃响应叠加而成。,在t=0之间，h1(t)=y(t)，阶跃响应曲线就是矩形脉冲响应曲线。T后，h1(t)=y(t)+h1(t-)，某时刻时的阶跃响应数值h1(t)，就等于当前时刻的脉冲响应数值y(t)加上时间以前的h1(t-) 。依次类推，即可把脉冲响应曲线转换为阶跃响应曲线。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,用阶跃响应法辨识被控过程数学模型的方法在工程实际中应用最广泛，也比较简便有效。但是，相应曲线法需要进展专门的试验，生产过程需要由正常运行状态转入偏离正常运行的试验状态，对生产的正常运行或多或少会造成一定影响。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,频域法建立被控对象的数学模型,用频率特性测试法可得到被控过程的频率特性曲线。其测试原理如下图，在所测过程的输入端参加特定频率的正弦信号，同时记录输入和输出的稳定波形幅度与相位，在所选定范围的各个频率重复上述测试，便可测得该被控过程的频率特性。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,用正弦输入信号测定频率特性的优点是能直接从记录曲线上求得频率特性。稳态正弦鼓励实验利用线性系统频率保持性，即在单一频率输入时，系统的输出也是单一频率，而把系统的噪声干扰及非线性因素引起输出畸变的谐波分量都看作干扰，在实验过程中容易发现干扰的存在和影响。实验测量装置应能滤出与鼓励频率一致的正弦信号，显示其响应幅值与相对于鼓励信号的相移，或者给出其同相分量及正交分量。通过测出被测过程通频带内抽样频点的幅、相值，就可画出Nyquist图或Bode图，进而获得被控过程的传递函数。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,统计相关法建立被控对象的数学模型,利用统计相关分析法辨识被控过程的数学模型可在正常运行的生产过程中使用。,首先给被控过程输入一种特殊的、对正常生产过程影响不大的随机测试信号，通过对被控过程的输入、输出数据进展相关分析得到被控过程的数学模型。,相关分析法的根本方法是：向被控过程输入随机信号x(t)，测量输出信号y(t)，计算出输入信号的自相关函数Rxx()和输入信号与输出信号的互相关函数Rxy() ；再通过Rxx()和Rxy() 求出被控过程的冲激响应g(t)，最后通过Laplace变换求出传递函数G(s)。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,1. 有关随机过程的根本概念,1),随机变量、随机信号及随机过程,在研究被控过程的特性时，常常需要进展某种试验，如果试验重复屡次，即使试验条件完全一样，每次观测结果也会有所差异。对于这种现象，通常称之为随机现象或概率现象。,一般来说，在一样条件下重复观测同一事件，假设用X表示观测数据x1,x2,xn，X会随不同观测而变化。这种变化是随机的，没有什么确定规那么。但是，对于大量观测来说，X的变化可能遵循某种概率统计规律，那么称X为随机变量。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,在图中，,x,1,(t),是随时间随机变化的信号，称为随机信号。同样，,x,2,(t) x,n,(t),都是随机信号，用,X(t),表示这一信号簇,x,1,(t), x,2,(t) x,n,(t),。,X(t),不仅随不同的观测曲线有所不同，还会随时间变化。将,X(t),称为随机函数或随机过程，把,x,i,(t),称为随机过程的一个实现。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,2),随机过程的统计描述,总体平均值和均方值,随机过程一般只能用统计描述方法来刻画它的数学特征。假设有K个随机信号实现，K又足够大，就可以用随机信号在t=T1时刻的总体平均值和总体均方值来描述随机过程的统计规律，即,随机信号的总体平均值和总体均方值，表达了随机过程的统计特性。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,3),各态历经的平稳随机过程,如果随机过程的统计特性在各个时刻都不变，即有,这样的随机过程称为平稳随机过程。,如果平稳随机过程在任一时刻的总体平均值与任意一个随机信号的时间平均值相等，那么称其为各态历经的平稳随机过程。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,4),自相关函数与互相关函数,假设信号x(t)在时刻t的值总是在一定程度上影响时刻t+的值x(t+)，那么称x(t)与x(t+)是相关的。一个信号的未来值与现在值之间的依赖关系，即相关程度可用“自相关函数Rxx()来度量。 Rxx()定义如下：,两个信号,x(t),和,y(t),之间的互相关函数,R,xy,(,),的定义如下：,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,5),功率谱密度,信号x(t)的自相关函数Rxx()是对信号时域特性的描述，对于Rxx() 时间函数进展Fourier变换，就得到信号特性的频域描述。在Fourier变换中，考虑到Rxx()是的偶函数这一性质，其变换结果事实上是的实函数。用Sxx()表示即为,S,xx,(,),称为信号,x(t),的谱密度函数，或称能量谱密度,。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,6),白噪声,白噪声具有特殊的物理性质，是系统辨识中具有重要意义的鼓励信号。白噪声的定义是：如果平稳随机信号x(t)的能量谱密度Sxx()恒定不变，即,那么称x(t)为白噪声。,白噪声信号只是理论抽象，实际并不存在。但是，当某个实际随机信号的频带远远大于物理系统的频带，且在该物理系统的通频带内实际信号的Sxx()幅值根本不变时，就可近似看作白噪声信号。辨识被控过程的数学模型时，假设采用白噪声作为输入信号，将会使辨识的计算变得非常简单。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,7),伪,随机,M,序列,虽然采用白噪声作为输入信号辨识被控过程的数学模型时，会使辨识工作变得非常简单。但用物理方法产生白噪声信号非常困难，因此人们就研究探讨了另一种信号作为替代，这就是所谓的伪随机二位式最大周期长度序列信号，简称M序列信号。人们研究发现，M序列信号的自相关函数比较接近函数，其统计特性也很接近白噪声，而且容易产生。此外，用M序列信号作为过程辨识的输入测试信号，具有抗干扰能力强、对系统正常运行影响小、接近于最正确测试信号等优点。由于M序列信号是人为产生的，具有某些随机信号的统计特性，故称伪随机信号。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,伪随机二位式M序列信号简称PRBS具有以下特征：,PRBS只有a两个电平，正负电平切换总是发生在时间间隔t的整数倍上。此处t称作码元宽度，具体大小可根据被辨识系统的截止频率确定。,PRBS是周期性信号，周期T=Nt ，N取奇整数。假设PRBS为最大长度序列M序列，那么应取N=2n-1，其中n为整数，N相应是7，15，31等，称为周期长度。n取不同数值，PRBS那么有不同周期长度。,在一个周期中，PRBS有(N+1)/2个码元宽度为“1电平，另外(N-1)/2个码元宽度为“0电平。实际使用中，常将+a电平规定为“0电平，-a电平规定为“1电平。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,作为随机序列信号，可能会接连出现假设干个“0或假设干个“1。我们把两个“1之间所夹的“0的个数称作“0游程长度，两个“0之间所夹的“1的个数称作“1游程长度。,对于PRBS M序列信号，游程个数和长度的规律是：每一个周期中，各种长度的游程总数为2n-1个，其中“1游程的总个数与“0游程总个数各占一半。长度为n的“1游程和长度为n-1的“0游程各有一个。长度为i的游程个数为2n-i-1个，其中“1游程个数和“0游程个数各占1/2。,一旦掌握了游程个数和长度的出现规律，M序列确实定就只剩下各种长度的“1游程和“0游程怎么排列的问题了。因此，游程问题对于M序列信号的判断和确定都十分重要。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,M,序列信号的自相关函数：,其相应图形如以下图所示：,由图可见，假设N够大，t足够小时，图中三角波的水平线与横坐标之间的距离将趋于零，自相关函数Rxx()就近似为理想脉冲，此时的M序列信号那么近似于白噪声。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,2. 相关函数法辨识被控过程的数学模型的根本原理,相关函数法辨识被控过程数学模型的根本依据是Wiener-Hopf方程。,这就是著名的,Wiener-Hopf,方程。,由Wiener-Hopf方程可知，只要知道输入的自相关函数以及输入和输出之间的互相关函数，即可推求出被控过程的单位脉冲响应g(t)。对g(t)进展Laplace变换，可求得被控过程的传递函数G(s)，也就辨识出了过程的数学模型。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,3.,用白噪声信号辨识被控过程的数学模型,用白噪声信号作为被控过程的输入，由于白噪声信号的自相关函数,R,xx,(,)=K,(,),，将其代入,Wiener -Hopf,方程中可得,即有,可见，只要在被控过程输入端加上白噪声试验信号，测取输入与输出之间的互相关函数,R,xy,(,),，由上式求取,g(t),是很简单的。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,3.,用白噪声信号辨识被控过程的数学模型,Rxy()的测取方法是先对x(t)和 y(t)进展采样，然后按下式计算,理论上要求N无穷大，实际中不可行。解决的方法是采用周期性的白噪声。周期性白噪声的Rxx()=K (-nT)是周期性函数。在周期白噪声输入下，互相关函数也是周期性的，其计算也只要在一个周期内进展就可以了。 如果周期白噪声输入信号的周期T足够大，被测过程的脉冲响应在一个周期内可以衰减为零，在周期内那么有,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,因此，采用周期白噪声作为输入测试信号，,R,xy,(,),的计算显得特别简单。,采用周期白噪声输入信号虽然简化了计算，但是，周期白噪声的产生却很困难。白噪声本身是随机信号，要使两两周期内的信号形式和状态完全一样，这几乎是不可能的。所以，上述关于周期白噪声作为输入试验信号的讨论，只有理论上的意义，并无实用价值。实际中常常采用的是二电平M序列伪随机信号。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,4.,采用二电平,M,序列伪随机信号辨识数学模型,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,1) M,序列信号的产生,M序列信号可以用线性移位存放器产生。 如下图，将n个具有移位功能的触发器连接成一排，组成移位存放器。,图中，每个方块代表一级触发器，可存放一位二进制数“0或“1，并用Ci表示。在移位脉冲作用下，一排数码C1, C2, , Cn都右移一位。每级的状态经过模2域求和后反响第一级的输入端并作为第一级的移位数码输入，而第n级Cn每移位一次输出一个数码。这样，在移位脉冲作用下，就会在输出端形成一个二位式序列。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,在上图中，Fi表示各级是否参与反响， Fi为“l表示该级参与反响， Fi为“0表示不参与反响。 Fi取不同的值，就组成不同的反响逻辑，移位存放器就有不同的二位式序列输出。,如以下图所示的四级移位存放器，C3与C4作模2求和后输入第一级的输入端。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,A. 假设(C1,C2,C3,C4)初始状态为(0,0,0,0)时，在移位脉冲的鼓励下，输出序列为： 000000000000000000000,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,除了初始状态全为零时，输出序列全为“0之外，其余三种初始状态的输出序列顺序每隔15位重复一次，构成周期长度为15的周期序列；在给定的反响逻辑条件下，任一非零初始状态所得到的一个序列都可以通过其它序列的平移得到。反响组合逻辑不同，同样级数的移位存放器输出序列周期长度不一样。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,2) M序列信号有关参数确实定,产生M序列信号还需确定周期长度N、脉冲宽度t以及电平幅度a等参数，这几个参数确实定原那么如下：,脉冲宽度码元宽度、步长 t确实定，一般取t =(23) C， C为被测过程的截止周期。也可根据被测过程的频带宽度确定。,N确实定，N应根据被测过程的过渡过程时间ts而定。只有使M序列信号周期T大于ts ，才能保证一个周期内计算所得的Rxx()具有足够的准确度。因此，一般取N t=(1.21.5) ts。,电平幅度a确实定，a的大小应根据被测过程的动态线性范围以及生产工艺要求而定，a的最大幅值不应超过被测过程的线性变化范围。在此根底还要考虑生产工艺允许的输出偏离大小。在二者均满足的前提下，电平幅度a应尽量大一些，以便尽可能提高输出测量的准确度。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,利用相关函数法辨识过程的数学模型，主要是依据,Wiener-Hopf,方程，通过求取相关函数，计算出被测过程的脉冲响应，从而得到数学模型。,3),根据试验测试数据辨识过程的数学模型,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,在被测过程正常运行情况下进展试验辨识时，施加在过程输入端的信号是M序列信号与正常运行输入的叠加，过程输出也相应为M序列信号正常运行输入引起的输出与引起的输出的叠加。由Wiener-Hopf方程可得：,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,式中,式中，,R,xy,(,),是,M,序列信号与被测过程的总输出之间的互相关函数。根椐下式计算,R,xy,(,),再根据下式求取被测过程的单位脉冲响应,最后对上式取,Laplace,反变换即可确定出被测过程的传递函数模型。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,1.,线性系统描述,对于一个单输入、单输出SISO线性定常系统，可以用连续时间模型描述，如微分方程、传递函数；也可用离散时间模型来描述，如差分方程、脉冲传递函数。,如果对被控过程的连续输入信号u(t)、输出信号y(t)进展采样，那么可得到一组输入序列u(k)和输出序列z(k)，输入序列和输出序列之间的关系可用下面的差分方程进展描述不考虑纯滞后：,最小二乘法建立被控对象的数学模型,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,上式中，,k,为采样次数；,u,为被控过程输入序列；,y,为被控过程输出序列；,n,为模型阶数；,a,1,a,2,a,n,和,b,1,b,2,b,n,为常系数。,被控过程建模辨识的任务，一是确定模型的构造，即确定模型的阶数n和滞后在差分方程中用表示d ，d= /T ，T为采样周期；二是确定模型构造中的参数。最小二乘法是在n和的前提下，根据输入、输出数据推算模型参数a1,a2,an及b1,b2,bn常用的方法之一。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,将上式写成如下形式：,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,2.,参数的最小二乘法估计原理,在n和的前提下，最小二乘法是根据已获得的被控过程输入、输出数据，求出 及 的估计值,和 ，使系统按上式模型描述时，对输入、输出数据拟合的误差平方和最小。,假设通过试验或现场监测，采集到被控过程或系统的n+N对输入、输出数据,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,考虑到测量误差、模型误差和干扰的存在，如果将实际采集到的被控过程的输入、输出数据代入上式，同样存在一定的误差。如果用e(k)表示这一误差称为模型残差，那么上式变为如下形式：,式中,为了估计模型中的,2n,个参数,a,i,及,b,i,，将采集的,n+N,对输入、输出数据代入上式，得到,N,个方程,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,将上面的方程组用矩阵的形式表示,式中,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,最小二乘法参数估计是指选择参数 ， 使模型误差尽可能的小，即要求估计参数,使,为了求使J到达最小值的参数 ，可通过对J求极小值求得。 即,可,得唯一的最小二乘参数估计值 ：,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,例1.4.1 仿真对象,式中，v(k)是服从正态分布的白噪声 。计算参数估计值 。,构造,Z,(,即,Y,),和,H,(,即,X,),，数据长度取,L=14,。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,解：,选择如下形式的辨识模型：,输入信号采用,k=1,到,k-15,的四阶,M,序列，幅度为,1,。,被辨识的参数,，,观测矩阵,Z,和,H,的表达式分别为,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,从运行结果可知：,利用新增加的数据对原先已计算出的参数估计值进展适当的修正，使其不断刷新，这样就不需要对全部数据进展重新计算和保存，可减少内存占用量和计算量，提高计算速度，这就是递推最小二乘法估计参数的思路。递推最小二乘法计算速度快、占用内存少，适合进展在线辨识。,3.,参数估计的递推最小二乘法,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,把由,n+N,对数据获得的最小二乘参数估计记为 ，由,n+N+1,对数据获得的最小二乘参数估计记为 。,在n+N对数据的根底上再增加一对实测数据时，输出矢量Y增加一个元素，矩阵X增加一行，记为,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,，由n+N对数据求出的最小二乘参数估计值为,可得,n+N+1,对数据求出的最小二乘参数估计值为,令,用递推公式进展计算时，需要事先确定 和 的初值，如果是在一次完成算法根底上进展的，初值就已经有了。如果一开场就采用递推算法进展在线辨识， 、 的初值通常可作如下设定：取 ，I为单位阵，a为足够大的标量，如 a=105-1010, 或任意值。递推从 、 开场进展即可。,可得：,上两式共同组成参数估计最小二乘法的递推公式。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,例1.4.2 仿真对象,式中，v(k)是服从正态分布的白噪声 。计算参数估计值 ,并计算各次参数辨识的相对误差，满足误差要求后停顿。,解：,选择如下形式的辨识模型：,输入信号采用,k=1,到,k-15,的四阶,M,序列，幅度为,0.03,。,从运行结果可知，第10步到达稳定状态，误差非常小。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,4. 模型阶次n和纯滞后确实定,1) 模型阶次n确实定,确定模型阶次n的方法很多，最为简单的方法是拟合度检验法，也称损失函数检验法，它是通过比较不同阶次的模型输出与实测输出的拟合好坏，决定模型阶次。其具体作法是：先依次设定模型的阶次n=1,2,3,，再计算不同阶次时的最小二乘参数估计值及其相应的损失函数J，然后比较相邻的不同阶次n的模型与实测数据之间拟合程度的好坏，确定模型的阶次。,被控过程纯滞后通常是可以事先知道的。当大小未知时，可以通过前面所述的阶跃响应曲线实验法获得，或者通过比较不同纯滞后时间的损失函数J的方法来求取，具体作法与模型阶次n确实定方法一样，即设定=mT，m=1,2,3,。给定不同的n和m反复进展最小二乘估计，使损失函数J为最小值的n和m就是所研究的最终n和m值。很明显，n和完全可结合起来同时确定。,1.4,实验法建立被控对象的数学模型,2) 纯滞后时间确实定,一般情况下，随着模型阶次的增加，值有明显减小。当设定的阶次比实际的阶次大时，值就无明显的下降，可以应用这一原理来确定适宜的模型阶次。,本章小结,本章介绍了单输入单输出、集中参数、线性或可线性化的被控对象的数学模型的建立。现代生产过程规模庞大、系统复杂，要对生产过程进展自动控制系统设计、最优控制以及控制参数整定，都要建立被控对象的数学模型。建立被控对象数学模型的方法有机理法、实验法和两者相结合的方法。,机理法建模的根本步骤如下：,1) 根据建模过程和模型使用目的做出合理假设。,2) 根据被控对象的构造以及工艺生产要求进展根本分析，确定被控对象的输入变量和输出变量。,3) 根据被控对象的内在机理，列写原始动态方程组。,4) 消去中间变量，得到只含有输入变量和输出变量的微分方程式或传递函数。,5) 在满足控制工程要求的前提下对动态数学模型进展必要的简化出来。如果微分方程式是非线性的，那么对其进展线性化处理。,本章小结,实验测试法建模是根据被控过程输入、输出的实测数据进展数学处理后得到数学模型。与机理法建模相比，测试法建模的主要特点是在预先设计一个合理的测试方案下，无需深入了解被控过程机理，通过试验数据以获得被控过程的数学模型。,1) 阶跃响应法是辨识过程特性最常用的方法。由阶跃响应曲线求出传递函数，首先要根据被控过程阶跃响应曲线的形状，选定模型传递函数的形式，然后利用作图法或两点法确定具体参数。,本章小结,2) 频率特性测试法是在所测过程的输入端参加特定频率的正弦信号，同时记录输入和输出的稳定波形幅度与相位，在所选定范围的各个频率重复上述测试，便可测得该被控过程的频率特性。通过测出被测过程通频带内抽样频点的幅、相值，就可画出Nyquist图或Bode图，进而获得被控过程的传递函数。,本章小结,3) 相关分析法的根本方法是：向被控过程输入随机信号x(t)，测量输出信号y(t)，计算出输入信号的自相关函数Rxx()、输入信号与输出信号的互相关函数Rxy()，通过Rxx() 、 Rxy()求出被控过程的冲激响应g(t)，再通过Laplace变换求出传递函数G(s)。实际中常常采用二电平M序列伪随机信号为输入试验信号。,4) 最小二乘法是在n和的前提下，根据输入、输出数据推算模型参数a1,a2,an及b1,b2,bn常用的方法之一。,本章小结,