2.6一维无限深势阱

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2008.5,Quantum Mechanics,2008.5,Quantum Mechanics,2.6,一维无限深势阱,2008.5,Quantum Mechanics,a,金属,U,(,x,),U,=,U,0,U,=,U,0,E,U,=0,x,极,限,U,=0,E,U,U,U,(,x,),x,0,a,无限深方势阱,（,potential well,）,是实际情况的极端化和简化。,粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱内自由运动在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力,不能到阱外。,2.6,一维无限深势阱,2008.5,Quantum Mechanics,势函数,粒子在阱内自由运动,不能到阱外,一、薛定谔方程和波函数,0,2008.5,Quantum Mechanics,哈密顿量,定态薛定谔方程,阱内：,0,阱外：,2008.5,Quantum Mechanics,根据波函数有限的条件,阱外,1),阱外,分区求通解,2008.5,Quantum Mechanics,令,2),阱内,(,为了方便将波函数脚标去掉,),将方程写成,通解,式中,A,和,B,是待定常数,2008.5,Quantum Mechanics,由波函数标准条件和边界条件定特解,在,x=0,处，波函数要连续，即,在,x=a,处，波函数要连续，即,通解是,2008.5,Quantum Mechanics,A,已经为零了，,B,不能再为零了。即,只能,sin(,ka),等于零,要求,故能量可能值,但,由上式,2008.5,Quantum Mechanics,由波函数的归一性质定常数,B,得,本征函数,这组函数构成本征函数系。,2008.5,Quantum Mechanics,定态波函数,概率密度,2008.5,Quantum Mechanics,每个可能的值叫能量本征值,讨论,束缚态 粒子能量取值分立,(,能级概念,),能量量子化,基态：,最低能量不为零,-,波粒二象性的必然结果，因为静止的波是不存在的。,2008.5,Quantum Mechanics,能级间距：,L,-,阱宽,通常表达式写为,当,n,很大时,能量趋于连续,量子效应不明显。,2008.5,Quantum Mechanics,本征能量和本征函数的可能取值,小结：,2008.5,Quantum Mechanics,一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度,o,a,a,o,2008.5,Quantum Mechanics,时，,量子,经典,符合玻尔对应原理,|,2,n,|,a,n,很大,E,n,0,平均效应明显,2008.5,Quantum Mechanics,2,、有限深方形势阱,势的特点：空间反射对称,0,x,a/2,-a/2,V,0,V,0,V,(,x,),E,2008.5,Quantum Mechanics,写出分区定态方程,在阱外,(,经典禁介区,),令,方程,(1),变为,其解为,都是方程的解？,2008.5,Quantum Mechanics,现在是有限深的情况！,2008.5,Quantum Mechanics,在阱内,(,经典允许区,),令,则方程变为,其解可以写为,2008.5,Quantum Mechanics,2008.5,Quantum Mechanics,2008.5,Quantum Mechanics,令,则,(5),式化为,由,有,再利用,(6),式,有,2008.5,Quantum Mechanics,试考虑：如何由 求,2008.5,Quantum Mechanics,2008.5,Quantum Mechanics,2008.5,Quantum Mechanics,2008.5,Quantum Mechanics,3,、束缚态与分立谱的讨论,由以上分析可知，束缚态能量是分立的。,相应动量也是分立的。,我们也可从波函数变化规律来解释这一现象,.,由定态方程,这是在束缚态边界条件下求解定态方程的结果。,2008.5,Quantum Mechanics,解为,2008.5,Quantum Mechanics,解为,2008.5,Quantum Mechanics,据此可定性讨论能量可能取值及波函数的节点数。,0,x,a/2,-a/2,V,0,V,0,V,(,x,),E,2008.5,Quantum Mechanics,2008.5,Quantum Mechanics,也不满足束缚态条件,2008.5,Quantum Mechanics,2008.5,Quantum Mechanics,2008.5,Quantum Mechanics,总之，基态波函数无节点，激发态（能量较高的束缚态）节点数依次增加。而且,能量越高，振荡越激烈。,