第七章 静矩及其性质

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第七章 截面的几何性质,静矩和形心,惯性矩、惯性积,平行移轴公式,转轴公式,主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩,1,7-,1,静矩和形心,一、简单图形的静矩（面积矩）,1,、定义：,dA,对,y,轴的微静矩,:,2,、量纲：长度,3,；单位：,m,3,、,cm,3,、,mm,3,。,dA,对,z,轴的微静矩,:,3,、静矩的值可以是正值、负值、或零。,2,4,、静矩和形心的关系,可知,静矩和形心的关系,由平面图形的形心公式,结论：,图形对过形心的轴的静矩为零。,若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。,3,求图形对,y,、,z,轴的静矩,4,二、简单图形的形心,1,、形心坐标公式：,2,、形心确定的规律：,（,1,）图形有对称轴时，,形心必在此对称轴上。,（,2,）图形有两个对称轴时，形心必在此两对称轴的交点处。,5,三、,组合图形,（由若干个基本图形组合而成的图形）,的静矩：,四、组合图形的形心,：,利用基本图形的结果，可使组合图形的形心计算简单,基本图形,-,指面积、形心位置已知的图形,6,1,、水线面计算,如下图示水线面，可应用梯形法或辛普生法列表计算,L=147.18,米，,l=L/20=7.359,米,船舶专业中的应用,7,2,、横剖面计算（横剖面形心垂向坐标）,在,x,处取,dx,薄层，则,对平面,yoz,和,xoy,的静矩分别为：,z,A,为,A,s,的形心坐标,8,3,、横剖面面积曲线,特性,:,1),2),S,aeda,的形心坐标等于,x,B,3),e,9,4,、排水体积和浮心坐标,可列表进行计算,10,例,试确定下图的形心,。,80,10,10,c,(19.7;39.7),z,y,C1,C2,解法,1,：,1),、建立坐标如图示，分割图形,2),、求形心,11,80,120,10,10,c,(-20.3;34.7),解法二：,1),、分割图形及建立坐标系，如图所示,z,y,2),、求形心,12,解法三,：,负面积法,求形心：,80,120,10,10,10,z,y,13,7-2,惯性矩和惯性积,一、简单图形的惯性矩,1,、定义,：,dA,对,z,轴的惯性距,:,dA,对,y,轴的惯性距,:,2,、量纲：,m4,、,mm4,。,y,z,dA,z,y,o,3,、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。,4,、惯性矩的取值恒为正值。,5,、极惯性矩：,（对,o,点而言）,图形对,z,轴的惯性矩,:,图形对,y,轴的惯性矩,:,14,6,、惯性矩与极惯性矩的关系：,图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。,y,z,dA,z,y,o,15,b,h,z,c,c,y,c,7,、简单图形惯性矩的计算,圆形截面：,实心（直径,D,）,空心（外径,D,，,内径,d,）, 矩形截面：,bdy,hdz,z,c,y,c,c,16,二、惯性半径：,三、简单图形的惯性积,1,、定义：,2,、量纲：长度,4,，单位：,m,4,、,mm,4,。,3,、惯性积是对轴而言。,4,、惯性积的取值为正值、负值、零。,y,z,dA,z,y,o,5,、规律：,两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则图形这一对坐标轴的惯性积为零。,工程上，经常把惯性矩写成图形面积与某一长度平方的乘积，即,17,例,2,求图示矩形的,y,z,b,h,z,dz,c,18,思考：,b,h,y,19,例,3,求图示圆形的,y,z,d,20,例,4,求圆环圆形的,d,D,y,z,21,三、组合图形的惯性矩及惯性积,根据定义可知，组合图形对某坐标轴的惯性矩等于各个简单图形对同一轴的惯性矩之和；组合图形对于某一对正交坐标轴的惯性积等于各个简单图形对同一对轴的惯性积之和。用公式可表示为,式中， 、 、 分别为第个,i,简单图形对,y,轴和,z,轴的惯性矩和惯性积。,22,解,：,z,y,o,y,c,z,c,c,z,c,y,c,已知,：,图形截面积,A,，形心坐标,y,c,、,z,c,、,I,zc,、,I,yc,、,a,、,b,已知。,Z,c,轴,平行于,z,轴；,y,c,轴平行于,y,轴。,求,：,I,z,、,I,y,。,7-3,平行移轴公式,一、平行移轴公式,23,二、组合图形的惯性矩和惯性积,注意：,Z,C,、,Y,C,为形心坐标。,a,、,b,为图形形心在,yoz,坐标系的坐标值，可正可负,，,，,z,y,o,y,c,z,c,c,z,c,y,c,平行移轴公式,根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）之和：,24,例,求图示直径为,d,的半圆对其自身形心轴,x,c,的惯性矩。,解：,A-,1,x,y,b(y),y,c,C,d,x,c,25,2,、求对形心轴,x,c,的惯性矩,由,平行移轴公式得：,x,y,b(y),y,c,C,d,x,c,26,例,试求图,a,所示截面对于对称轴,x,的惯性矩。,解：,将截面看作一个矩形和两个半圆组成,。,1,、矩形对,x,轴的惯性矩：,2,、一个半圆对其自身形心轴,x,c,轴的惯性矩（见上例）,x,y,C,(a),d,=80,40,100,a,=100,40,a,+,2d,3,p,27,3,、一个半圆对,x,的惯性矩,由,平行移轴公式得：,4,、整个截面对于对称轴,x,的惯性矩：,x,y,C,(a),d,=80,40,100,a,=100,40,a,+,2d,3,p,28,7-4,转轴公式,一、惯性矩和惯性积的转轴公式,d,A,在坐标系,ozy,和坐标系,oz,1,y,1,的的坐标分别为（,z,，,y,）和（,z,1,，,y,1,）,代入,惯性矩,的定义式：,z,y,O,z,y,a,z,y,a,1,1,A,B,C,D,E,d,A,z,y,1,1,已知,：,A,、,I,z,、,I,y,、,I,zy,、,。,求,：,I,z1,、,I,y1,、,I,z1y1,。,29,利用二倍角函数代入上式，得,转轴公式,：,的符号为：从,z,轴至,z,1,轴 逆时针为正，顺时针为负。,z,y,O,z,y,a,z,y,a,1,1,A,B,C,D,E,d,A,z,y,1,1,30,上式表明，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩,将前两式相加得,z,y,O,z,y,a,z,y,a,1,1,A,B,C,D,E,d,A,z,y,1,1,31,32,例：求矩形对轴 、 的惯性矩和惯性积,解,:,矩形对,y,、,z,轴的惯性矩和惯性积分别为,y,z,a,b,O,33,从本例的结果可知，当矩形变为正方形时，即在,a,=,b,时，惯性矩与角 无关，其值为常量，而惯性积为零。,这个结论可推广于一般的正多边形，即正多边形对形心轴的惯性矩的数值恒为常量，与形心轴的方向无关，并且对以形心为原点的任一对直角坐标轴的惯性积为零。,讨论：当,a,b,时，结果如何？,34,令,7.5,主惯性轴、主惯性矩、形心主惯性矩,35,可求得 和 两个角度，从而确定两根轴,y,0,，,z,0,。,由,求出 代入转轴公式可得：,36,2,、主惯性矩（主矩）：,图形对主轴的惯性矩,I,z0,、,I,y0,称为,主惯性矩，,主惯性矩为图形对过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值。,3,、形心主惯性轴（形心主轴）：,如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯轴。（,I,zcyc,= 0,。,z,c,、,y,c,为形心轴。,z,c,、,y,c,为形心主轴）。,4,、形心主惯性矩：,图形对形心主轴的惯性矩。（,I,zc,、,I,yc,）,。,由此引出几个概念：,1,、主惯性轴（主轴）：,y,0,z,0,如果图形对过某点的某一对坐标轴的惯性积为零，则该对轴为图形过该点的,主惯性轴,。（,，,轴为主轴,）。,37,5,、求截面形心主惯性矩的基本步骤,1),、建立坐标系。,2),、求形心位置。,3),、建立形心坐标系；并求：,I,yc,，,I,zc,，,I,zcyc,，,4),、确定形心主轴位置,0,：,5),、,求形心主惯性矩,2,2,0,0,min,max,),2,(,2,zy,y,z,y,z,yc,zc,I,I,I,I,I,I,I,+,-,+,=,=,38,6,、几个结论,若截面有一根对称轴，则此轴即为形心,主惯性轴之一，另一,形心,主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。,若,截面有二根对称轴，则此二轴即为形心,主惯性轴。,若,截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心,主惯性轴，且主惯性矩相等。,39,