空间向量的基

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数理学院,SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数理学院,SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS,向量空间的基、维数与坐标,第三章 第三讲,定义,1,设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足,那末，向量组 就称为向量空间 的一个基,称为向量空间 的维数,，,记为,并称 为 维向量空间,（,1,）只含有零向量的向量空间称为,0,维向量空间，因此它没有基,说明,（,3,）若向量组 是向量空间 的一个基，则 可表示为,（,2,）若把向量空间 看作向量组，那末 的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩,.,例如，在,R,n,中， 是它的一组基,，,称为,标准基,，因此,R,n,是,n,维向量空间。,由定义可知，向量空间的基不是惟一的，但其维数是确定,的。并且向量空间可以由它的任一组基 生成。因,此，任给 ，有惟一的表达式 ，称,为 在基 下的,坐标,。,由于基不是惟一的，所以同一向量在不同的基下的坐标是,不同的。下面我们来讨论同一向量在不同基下坐标之间的关系。,其中矩阵 称为由基 到,即,基 的,过渡矩阵,。,设 和 是,R,n,中两组不同的基。则它们是等价的,即可以相互表示。,设,从而,例,1,证,例,2,解,小结,（一）、向量空间的基和维数：,基：,向量空间的一个极大线性无关组，不惟一。,维数：极大无关组中向量的个数。,求向量空间基和维数的方法：,找到一个极大无关组,（二）、向量的坐标,坐标：,基是向量空间的一个极大线性无关组，从而任,一向量可以被惟一线性表示。线性表示中的系,数就称为此向量在这组基下的坐标。,坐标变换：,基不惟一，从而坐标随基的不同而改变。,确定变换公式？,-,找到两组基的过渡矩阵,P,。,