第1章 分析力学基础 1-4 第一类拉格朗日方程

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,November 30, 1998,M1-,*,*,Dynamics - Release 55 （001174）,2,、动力学普遍方程存在着致命的弊病：在求解多自由度会遇,到极大困难，几乎难以下手。,1,、全部动力学问题归结为求解一个动力学普遍方程。是最高,度的概括,原因：方程中,3,n,个笛卡尔坐标不是独立的。对于完整系统只,有,N,=3,n,-s,个是独立的。,拉格郎日开创的分析力学，就是为克服动力学普遍方程的弱点，解决多自由度、非自由系统的动力学问题而发展完善的。,1,1,、分离独立坐标法；,解决动力学普遍方程困难主要有三条途径：,2,：拉格郎日乘子法解算动力学普遍方程。,这种方法在实际应用中，并不可取，但是起步艰难的第一步，,同时是解微分方程的一种重要方法；,3,：拉格郎日第二类方程：采用广义坐标代替笛卡尔坐标，彻,底改造动力学普遍方程，得到一组二阶常微分方程。,2,14,第一类,拉格朗日方程,对约束方程两边变分,我们引入符号,实际这也是虚位移应当满足的约束,引入,拉格朗日乘子 将上式两端乘 并对,k,求和,3,将上式与动力学普遍方程两式相减，可得,这就是拉,格朗日方程乘子的,动力学方程，即,第一类,拉格朗日方程。,共有,3,n,+,s,个未知量，可与,s,个约束方程,联立求解。,独立坐标有,3,n,-,s,个，对于不独立坐标，我们可选取适当的 使,上式等于零，从而有,4,第一类,拉格朗日方程优点：,1.,既可用于完整系统，也可用于非完整系统。具有更为普遍的应用性。,2.,既可求运动，也可求约束力。,第一类,拉格朗日方程弱点：,1.,没有采用广义坐标，约束越多，自由度越少，反而方程数越多。,2.,不能直接用于解决刚体系统的动力学问题。,3.,对于,完整系统不如,第二类,拉格朗日方程方便，对于非完整系统又远不如罗兹和阿沛尔方程。,5,步骤：,列出笛卡尔坐标下的约束方程；,3.,分析各质点上的主动力；,2.,根据约束方程确定 ；,4.,根据,第一类,拉格朗日方程,，列出运动微分方程；,5.,与约束方程联立求解，确定积分常数。,6,已知：,M,1,的质量为,m,1,，,M,2,的质量为,m,2,，杆长为,l,。,试建立此系统的运动微分方程。,1.,约束方程,3.,各质点上的主动力,2.,7,4.,根据,第一类,拉格朗日方程,，,列出运动微分方程,8,5.,与约束方程联立求解可得,:,由约束方程可得,9,已知：图示三棱柱,A,沿三棱柱,B,的光滑斜面滑动，,A,和,B,的质量各为,m,2,与,m,1,，三棱柱,B,的斜面与水平面成,角。如开始时物系静止，忽略摩擦。,求运动时三棱柱,B,的加速度。,10,1.,约束方程,3.,各质点上的主动力,2.,11,由,y,1,=0,并由,2,式可得,4.,根据,第一类,拉格朗日方程,，列出,运动微分方程,由约束方程可得,将,(3),和,(4),式代入上式可得,12,将,(3),和,(4),式代入上式可得,再将,(1),式代入上式消去,2,可得,13,谢谢大家,14,15,由质心运动定理可得,16,17,