微分方程复习要点

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,微分方程复习要点,1,一阶微分方程,1)可别离变量的微分方程,解法,类型,2),一阶线性微分方程,类型,解法,3),齐次方程,此为变量可别离的微分方程,类型,解法 令 ，则 原方程变为,4),伯努利方程,为一阶线性微分方程,类型,解法 令 ，则原方程变为,2,可降阶的二阶微分方程,方法 作 次积分,新方程是一个一阶微分方程,1),类型,2),类型,方法 令 ，则原方程转变为,新方程是一个一阶微分方程,3),类型,方法 令 ，则原方程转变为,3二阶线性微分方程的解的构造,设二阶线性微分方程,而称方程,为方程所对应的齐次线性方程有,1),若 是方程的线性无关解，则方程有通解,的一个特解,2),若 是方程的特解，则方程有通解,3),若 是方程 的特解，,则 为方程,4,二阶常系数线性微分方程,1),二阶常系齐次数线性微分方程,设方程,相应的特征方程为,则：若方程有两个不同的实根 ，则方程的通解为,若方程有两个相同的实根 ，则方程的通解为,若方程有一对共轭复根 ，则方程的通,解为,2),二阶常系数非齐次线性微分方程,设方程为,那么方程有特解,其中 是一个与 同次的多项式，而,若 不是特征方程的根，,若 是特征方程的单根，,若 是特征方程的二重根,设方程,那么方程有特解,其中 是 次的多项式， ，而,按 是否为特征方程的根而分别取,1,或,0,二、例 题 选 讲,解 此方程为一个可别离变量的微分方程别离变量，,因,得,例,1,求解方程 ,两边积分，得,即得原方程的通解,解 原方程变形后为齐次方程,例,2,求解方程 ， ,作变换 ，则有,移项，得,两边积分，得,将 代入，有,即满足初始条件的解为,由初始条件 ，得 ，即原方程的解为,解 原方程变形为,即,例,3,求微分方程 的通解,此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微分方程，,由求解公式得,别离变量，得,两边积分，得,例,4,求解微分方程 ,解法,1,此方程为齐次方程，作代换 ，则有,故方程的通解为,即,由于,解法,2,方程变形为,故方程的通解为,代回原变量，得,此方程为贝努利方程，此时令 ，则有,例5 求解以下方程,即,方程的解为,1.,；,2.,解,1.,此方程不含变量 ，故令变换 ，则方程为,即,所以，方程的通解为,方程变形为,即有,2.,此方程中不含变量 ，作变换 ，则,解得,即,别离变量后，再两边积分得,从而得方程的通解,由 ，得方程的解为 由,例6 求以下方程的通解,解,1.,特征方程为,解得 ，由此得到方程的通解,1.,；,2.,；,3.,那么,2.,特征方程为 ，因而齐次方程的通解为,由于 为单根，故可设方程的特解为,代入方程后，比较系数得,所以,因而方程的通解为,代入到原方程，得,3.,特征方程为 ，解得 ，所以齐次方,程的通解为,注意到 不是特征方程的根，故方程的特解可,设为,1一阶微分方程,2可降阶的二阶微分方程,3二阶线性微分方程的解的构造,4二阶常系数线性微分方程,一、第七章要点,1,一阶微分方程,1)可别离变量的微分方程,解法,类型,2),一阶线性微分方程,类型,解法,3),齐次方程,此为变量可别离的微分方程,类型,解法 令 ，则 原方程变为,4),伯努利方程,为一阶线性微分方程,类型,解法 令 ，则原方程变为,2,可降阶的二阶微分方程,方法 作 次积分,新方程是一个一阶微分方程,1),类型,2),类型,方法 令 ，则原方程转变为,新方程是一个一阶微分方程,3),类型,方法 令 ，则原方程转变为,3二阶线性微分方程的解的构造,设二阶线性微分方程,而称方程,为方程所对应的齐次线性方程有,1),若 是方程的线性无关解，则方程有通解,的一个特解,2),若 是方程的特解，则方程有通解,3),若 是方程 的特解，,则 为方程,4,二阶常系数线性微分方程,1),二阶常系齐次数线性微分方程,设方程,相应的特征方程为,则：若方程有两个不同的实根 ，则方程的通解为,若方程有两个相同的实根 ，则方程的通解为,若方程有一对共轭复根 ，则方程的通,解为,2),二阶常系数非齐次线性微分方程,设方程为,那么方程有特解,其中 是一个与 同次的多项式，而,若 不是特征方程的根，,若 是特征方程的单根，,若 是特征方程的二重根,设方程,那么方程有特解,其中 是 次的多项式， ，而,按 是否为特征方程的根而分别取,1,或,0,二、例 题 选 讲,解 此方程为一个可别离变量的微分方程别离变量，,因,得,例,1,求解方程 ,两边积分，得,即得原方程的通解,解 原方程变形后为齐次方程,例,2,求解方程 ， ,作变换 ，则有,移项，得,两边积分，得,将 代入，有,即满足初始条件的解为,由初始条件 ，得 ，即原方程的解为,解 原方程变形为,即,例,3,求微分方程 的通解,此是关于函数 的一阶线性非齐次线性微分方程，,由求解公式得,别离变量，得,两边积分，得,例,4,求解微分方程 ,解法,1,此方程为齐次方程，作代换 ，则有,故方程的通解为,即,由于,解法,2,方程变形为,故方程的通解为,代回原变量，得,此方程为贝努利方程，此时令 ，则有,例5 求解以下方程,即,方程的解为,1.,；,2.,解,1.,此方程不含变量 ，故令变换 ，则方程为,即,所以，方程的通解为,方程变形为,即有,2.,此方程中不含变量 ，作变换 ，则,解得,即,别离变量后，再两边积分得,从而得方程的通解,由 ，得方程的解为 由,例6 求以下方程的通解,解,1.,特征方程为,解得 ，由此得到方程的通解,1.,；,2.,；,3.,那么,2.,特征方程为 ，因而齐次方程的通解为,由于 为单根，故可设方程的特解为,代入方程后，比较系数得,所以,因而方程的通解为,代入到原方程，得,3.,特征方程为 ，解得 ，所以齐次方,程的通解为,注意到 不是特征方程的根，故方程的特解可,设为,Thank You !,不尽之处，恳请指正！,