理论力学 第七章 刚体的简单运动

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第七章 刚体的简单运动,本章内容,刚体的平动,刚体的定轴转动,转动刚体上各点的速度和加速度,轮系的传动比,以矢量表示角速度和角加速度,以矢积表示点的速度和加速度,如果在物体内任取一直线段，在运动过程中这条直线段始终与它的最初位置平行，这种运动称为,平行移动,，简称,平移,。,7.1,刚体的平行移动,(Translational motion of a rigid),摆式输送机的料槽（曲线平移,）,直线行驶的列车车厢（直线平移）,结论：,当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速度也相同。,因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体内任一点的运动。,平行移动刚体内各点的速度和加速度,y,x,z,a,B,v,B,v,A,a,A,r,A,r,B,A,B,B,1,B,2,A,2,A,1,O,在刚体运动的过程中，若,刚体上,或,其延伸部分上,有一条直线始终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为,刚体的定轴转动,，简称,转动,。该固定不动的直线称为,转轴,。,7.2,刚体绕定轴的转动,（,Rotational motion of a,rigid about a fixed axis,）,固定平面,A,与动平面,B,间的夹角,j,称为刚体的,转角,(angle of rotation),。转角,j,是一个代数量，它确定了刚体的位置，用弧度,(,rad,),表示。,逆时针为正 顺时针为负,符号规定：,自,z,轴的正端看去,，,1.,转角和运动方程,转角,j,是时间,t,的单值连续函数，即,-,-,转动方程,(equation of rotation,),转角,j,对时间的一阶导数，称为,刚体的瞬时角速度，,用,w,表示,:,角速度,表征刚体转动的快慢和方向，,是代数量，,其单位为,rad/s,。,2.,定轴转动刚体的角速度和角加速度,（,1,）角速度,逆时针为正 顺时针为负,符号规定：,自,z,轴的正端看去,，,角速度对时间的一阶导数，称为,刚体的瞬时角加速度,，用字母,a,表示，即,角加速度表征角速度变化的快慢，也是代数量,单位为,rad/s,2,。,如果,w,与,a,同号，则转动是加速的；如果,w,与,a,异号，则转动是减速的。,（,2,）角加速度,（,angular acceleration,）,工程上常用转速,n,来表示刚体转动的快慢。,n,的单位是转/分,(,r/min,)，,与,n,的转换关系为,（1）匀速转动,(,=,常数),（2）匀变速转动,(,=,常数),3.匀速转动和匀变速转动,动点,速度,的大小为,7.3,转动刚体内各点的速度和加速度,如图，设任一点由,O,运动到,M,。,以固定点,O,为弧坐标,s,的原点，按,j,角的正向规定弧坐标,s,的正向，于是,1.,速度,对整个,刚体,而言,(,各点都一样,),；,v,a,对刚体中某个,点,而言,(,各点不一样,),。,即：,转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一方。,（,1,）切向加速度为：,即：,转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体的角加速度与该点到轴线垂直距离的乘积,，,它的方向由角加速度的符号决定，当,a,是正值时，它沿圆周的切线，指向角,j,的正向；否则相反,。,2.,加速度,（,2,）法向加速度为：,即：,转动刚体内任一点的法向加速度,(,又称向心加速度,),的大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。,如果,w,与,a,同号，角速度的绝对值增加，刚体作加速转动，这时点的切向加速度,a,t,与速度,v,的指向相同；如果,w,与,a,异号，刚体作减速转动，,a,t,与,v,的指向相反。这两种情况如图所示,a,t,a,t,(1),在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。,(2),在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度,a,与半径间的夹角,q,都有相同的值。,点的全加速度为：,例2-1,齿轮传动是工程上常见的一种传动方式，可用来改变转速和转向。如图，已知,r,1,、,r,2,、,1,、,a,1,，,求,2,、,a,2,。,解：,因啮合点无相对滑动，所以,由于,于是可得,即,w,1,a,1,r,1,O,1,O,2,r,2,w,2,a,2,v,1,v,2,a,t,1,a,t,2,例2-2,一半径为,R=,0.2m,的圆轮绕定轴,O,的转动方程为,，单位为弧度。求,t,=1s,时，轮缘上任一点,M,的速度和加速度（如图）。如在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体,A,，,求当,t,=1s,时，物体,A,的速度和加速度。,解：,圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为,求当,t=1s,时，则为,因此轮缘上任一点,M,的速度和加速度为,方向如图所示。,M,点的全加速度及其偏角为,如图。,现在求物体,A,的速度和加速度。因为,上式两边求一阶及二阶导数，则得,因此,例2-3,在刮风期间，风车的,角加速度,，其中转角,以,rad,计。若初瞬时 ，其叶片半径为,0.75,m,。,试求叶片转过两圈（ ）时其顶端,P,点的速度。,P,解：,主动轮与从动轮角速度之比称为,传动比,，记为,i,12,。,7.4,轮系的传动比,齿轮传动（外啮合）,齿轮传动（内啮合）,带轮传动,1),齿轮传动,即：,相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们节圆半径成反比。,由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故,即：,相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比与它们的齿数成反比。,因为两个齿轮啮合圆之间无相对滑动,故,v,A,=,v,B,所以,2),带轮传动,因,v,A,=,v,B,故,例2-4,下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为,Z,1,=10，Z,2,=60，Z,3,=12，Z,4,=70。(a),求减速箱的总减速比,i,13,；(b),如果,n,1,=3000r/min，,求,n,3.,1,3,n,1,4,2,n,3,n,2,解：求传动比：,则有：,1.角速度和角加速度的矢量表示,角速度和角加速度可用矢量表示，按右手螺旋法则规定,，,的方向。,则,角速度矢量,可写成,角加速度矢量,可写成,k,角速度矢量和角加速度矢量均为滑动矢量。当二者方向相同时，刚体越转越快；当二者方向相反时，刚体越转越慢。,7,.5,以矢量表示角速度和角加速度,以矢积表示点的速度和加速度,2. 刚体内任一点的速度和加速度的矢积表示,且 矢积,r,的方向与,v,的方向相同,即，任一点的速度矢可以用角速度矢与该点矢径的矢量积表示。,(,1) 速度矢,(,2) 加速度矢,而,即：任一点的,切向加速度,等于刚体的角加速度矢量与该点矢径的矢量积；任一点的,法向加速度,等于刚体的角速度矢量与该点速度的矢量积。,例,1,试画出图中刚体上,M,N,两点在图示位置时的速度和加速度。,本章结束,