数据结构预备数学知识(排列与组合)

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数据结构预备数学知识(排列与组合),问题一：,从甲、乙、丙,3,名同学中选出,2,名去参加某天的一项活动，其中,1,名同学参加上午的活动，,1,名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题二：,从甲、乙、丙,3,名同学中选出,2,名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙,3,问题场景,选甲乙去：甲、乙；乙、甲；,选甲丙去：甲、丙；,丙,、,甲,；,选乙丙去：乙、丙；,丙,、,乙,；,6,从已知的,3,个不同元素中每次取出,2,个元素,并成一组,问题,2,从已知的,3,个不同元素中每次取出,2,个元素,按照一定的顺序排成一列,.,问题,1,排列,组合,有,顺,序,无,顺,序,组合定义,:,从,n,个不同元素中取出,m,（,m,n,）,个元素,并成一组,，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个,组合,排列定义,:,从,n,个不同元素中取出,m (mn),个元素，,按照一定的顺序排成一列,，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个,排列,.,共同点,:,都要,“,从,n,个不同元素中任取,m,个元素,”,不同点,:,排列,与元素的顺序有关，,而组合,则与元素的顺序无关,.,组合与排列的定义,排列与组合什么共同点与不同点？,思考一,:,a,b,与,b,a,是相同的排列还是相同的组合,?,为什么,?,思考二,:,两个相同的排列有什么特点,?,两个相同的组合呢,?,）元素相同；,）元素排列顺序相同,.,元素相同,概念理解,构造排列有两个步骤，,“,先取后排,”,；但构造组合只有一个步骤，,“,只取不排,”,。因此，构造组合是构造排列的一个子步骤,思考三,:,组合与排列有联系吗,?,判断下列问题是组合问题还是排列问题,?,(1),设集合,A=,a,b,c,d,e,，则集合,A,的含有,3,个元素的子集有多少个,?,(2),某铁路线上有,5,个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票,?,有多少种不同的火车票价？,组合问题,排列问题,(3)10,名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有多少种分法,?,组合问题,(4)10,人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次,?,组合问题,(5),从,4,个风景点中选出,2,个游览,有多少种不同的方法,?,组合问题,(6),从,4,个风景点中选出,2,个,并确定这,2,个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法,?,排列问题,组合问题,组合是选择的结果；,排列是选择后再排序的结果。,1.,从,a , b , c,三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是,:,ab , ac , bc,2.,已知,4,个元素,a , b , c , d,写出每次取出两个元素的所有组合,.,a,b c d,b,c d,c,d,ab , ac , ad , bc , bd , cd,(3,个,),(6,个,),练一练,3.,写出从,a,b,c,d,四个元素中任取三个元素的所有组合。,abc,，,abd,，,acd,，,bcd,.,b,c,d,d,c,b,a,c,d,练一练,(4,个,),先求组合,再做排列,abc,abd,acd,bcd,abc bac,cab,acb bca cba,abd,bad dab,adb bda dba,acd cad dac,adc cda dca,bcd cbd dbc,bdc cdb dcb,4.,写出从,a,b,c,d,四个元素中任取三个元素的所有排列。,练一练,(24,个,),从练习可以看出：,随着样本的数量增加，列出所有组合或排列个数的复杂度也会成倍增加；,我们能不能通过数学运算求出指定情况下的组合数或排列数呢？,能！,如,:,从,a , b , c,三个不同的元素中取出两个元素的所有排列个数是,:,注意：,只代表排列个数，不代表,“,排列,”,。,如,:,已知,4,个元素,a,、,b,、,c,、,d ,写出每次取出两个,元素的所有组合个数是：,从,n,个不同元素中取出,m,（,m,n,）,个元素的所有排列的个数，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的,排列数,，用符号 表示,.,排列数的定义,排列数,:,如果将问题,“,求从,3,个不同的乒乓球中选,2,个的排列数,”,。,转换一下思路。其类似于,“,分别从,3,个不同的乒乓球中选择,1,个乒乓球依次放在,2,个盒子里，求选择的个数,”,。,使用分步计数法计算如下：,第,1,个盒子：从,3,个乒乓球中任选一个（,3,种,）,第,2,个盒子：从,2,个乒乓球中任选一个（,2,种,）,总的选择个数：,3 x 2 = 6,种,排列数的计算,同理，,“,从,6,个不同的乒乓球中选,3,个做排列,”,。,类似于,“,分别从,6,个不同的乒乓球中选择,1,个乒乓球依次放在,3,个盒子里,”,。,使用分步计数法计算如下：,第,1,个盒子：从,6,个乒乓球中任选一个乒乓球（,6,种,）,第,2,个盒子：从,5,个乒乓球中任选一个乒乓球（,5,种,）,第,3,个盒子：从,4,个乒乓球中任选一个乒乓球（,4,种,）,总的选择个数：,6 x 5 x 4 = 120,种,排列数的计算,排列数计算公公式推导,所以：,又因为：,综上所述：,如,:,已知,4,个元素,a,、,b,、,c,、,d ,写出每次取出两个,元素的所有组合个数是：,如,:,从,a , b , c,三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是,:,从,n,个不同元素中取出,m,（,m,n,）,个元素的所有组合的个数，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的,组合数,，用符号 表示,.,组合数的定义,组合数,:,注意：,只代表组合个数，不代表,“,组合,”,。,= 4 6 = 24,先求组合,再做排列,abc,abd,acd,bcd,abc bac,cab,acb bca cba,abd,bad dab,adb bda dba,acd cad dac,adc cda dca,bcd cbd dbc,bdc cdb dcb,求从,a,b,c,d,四个元素中任取,3,个元素的排列数。,组合数计算公式推导,(24,个,),求 可以分下面两步走。,组合数的计算公式推导,组合数计算公式,:,组合数的计算公式推导,例,1,计算：,例,2.,甲、乙、丙、丁,4,支足球队举行单循环赛，,(1),列出所有各场比赛的双方；,（,2),列出所有冠亚军的可能情况,.,（,2,）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,乙甲,、,丙甲,、,丁甲,、,丙乙,、,丁乙,、,丁丙,(1),甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁,解：,例题分析,(4),求,例,3,例,1,：一位教练的足球队共有,17,名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是,11,人。问：,（,1,）这位教练从这,17,名学员中可以形成多少种学员上场方案？,（,2,）如果在选出,11,名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？,例,3.(1),凸五边形有多少条对角线？,(2),凸,n,（,n3,）边形有多少条对角线？,例,2.(1),平面内有,10,个点，以其中每,2,个点为端点的线段共有多少条？,(2),平面内有,10,个点，以其中每,2,个点为端点的有向线段共有多少条？,例,4,：在,100,件产品中有,98,件合格品，,2,件次品。产品检验时,从,100,件产品中任意抽出,3,件。,(1),一共有多少种不同的抽法,?,(2),抽出的,3,件中恰好有,1,件是次品的抽法有多少种,?,(3),抽出的,3,件中至少有,1,件是次品的抽法有多少种,?,(4),抽出的,3,件中至多有一件是次品的抽法有多少种？,说明：,“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。,变式练习,按下列条件，从,12,人中选出,5,人，有多少种不同选法？,（,1,）甲、乙、丙三人必须当选；,（,2,）甲、乙、丙三人不能当选；,（,3,）甲必须当选，乙、丙不能当选；,（,4,）甲、乙、丙三人只有一人当选；,（,5,）甲、乙、丙三人至多,2,人当选；,（,6,）甲、乙、丙三人至少,1,人当选；,例,5,、某医院有内科医生,12,名，外科医生,8,名，现要派,5,人参加支边医疗队，至少要有,1,名内科医生和,1,名外科医生参加，有多少种选法？,例,6,：,（,1,）平面内有,9,个点，其中,4,个点在一条直线上，此外没有,3,个点在一条直线上，过这,9,个点可确定多少条直线？可以作多少个三角形？,（,2,）空间,12,个点，其中,5,个点共面，此外无任何,4,个点共面，这,12,个点可确定多少个不同的平面？,例,7,、有翻译人员,11,名，其中,5,名仅通英语、,4,名仅通法语，还有,2,名英、法语皆通。现欲从中选出,8,名，其中,4,名译英语，另外,4,名译法语，一共可列多少张不同的名单？,例,8,、,8,双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出,4,只，试求满足如下条件各有多少种情况：,（,1,）,4,只鞋子恰有两双；,（,2,）,4,只鞋子没有成双的；,（,3,）,4,只鞋子只有一双。,排列,组合,组合的概念,组合数的概念,组合是选择的,结果，排列是,选择后再排序,的结果,联系,小结,排列组合性质,1,：,排列组合的性质,排列组合性质,2,：,一个口袋内装有大小相同的,7,个白球和,1,个黑球,从口袋内取出,3,个球，共有多少种取法？,从口袋内取出,3,个球，使其中含有,1,个黑球，有多少种取法？,从口袋内取出,3,个球，使其中不含黑球，有多少种取法？,解：,（,1,）,排列组合的性质,2,证明,我们可以这样解释：,从口袋内的,8,个球中所取出的,3,个球，可以分为两类：一类,含有,1,个,黑球，一类不含有黑球因此根据分类计数原理，上述等式成立,我们发现：,为什么呢,排列组合的性质,2,证明,排列组合的性质,2,证明,排列组合的性质,2,公式特征：下标相同而上标差,1,的两个组合数之和，等于下标比原下标多,1,而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数,此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用,例计算：,例,2,求证,:,一、等分组与不等分组问题,例,3,、,6,本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法；,（,1,）分给甲、乙、丙三人，每人两本；,（,2,）分成三份，每份两本；,（,3,）分成三份，一份,1,本，一份,2,本，一份,3,本；,（,4,）分给甲、乙、丙,3,人，一人,1,本，一人,2,本，一人,3,本；,（,5,）分给甲、乙、丙,3,人，每人至少一本；,（,6,）分给,5,个人，每人至少一本；,（,7,）,6,本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。,练习：,(1),今有,10,件不同奖品,从中选,6,件分成三份,二份各,1,件,另一份,4,件,有多少种分法,?,(2),今有,10,件不同奖品,从中选,6,件分给甲乙丙三人,每人二件有多少种分法,?,解,:,(1),(2),例,4,、某城新建的一条道路上有,12,只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有（ ）,（,A,） 种（,B,） 种 （,C,） 种 （,D,） 种,二、不相邻问题插空法,三、混合问题，先“组”后“排”,例,5,对某种产品的,6,件不同的正品和,4,件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第,5,次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？,解：由题意知前,5,次测试恰有,4,次测到次品，且第,5,次测试是次品。故有： 种可能。,练习：,1,、某学习小组有,5,个男生,3,个女生，从中选,3,名男生和,1,名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有,1,人参加，则有不同参赛方法,_,种,.,解：采用先组后排方法,:,2,、,3,名医生和,6,名护士被分配到,3,所学校为学生体检,每校分配,1,名医生和,2,名护士,不同的分配方法共有多少种,?,解法一：先组队后分校（先分堆后分配）,解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士,.,四、分类组合,隔板处理,例,6,、 从,6,个学校中选出,30,名学生参加数学竞赛,每校至少有,1,人,这样有几种选法,?,分析,:,问题相当于把个,30,相同球放入,6,个不同盒子,(,盒子不能空的,),有几种放法,?,这类问可用“隔板法”处理,.,解,:,采用“隔板法” 得,:,练习：,1,、将,8,个学生干部的培训指标分配给,5,个不同的班级，每班至少分到,1,个名额，共有多少种不同的分配方法？,2,、从一楼到二楼的楼梯有,17,级，上楼时可以一步走一级，也可以一步走两级，若要求,11,步走完，则有多少种不同的走法？,课堂练习：,2,、从,6,位同学中选出,4,位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为,。,3,、要从,8,名男医生和,7,名女医生中选,5,人组成一个医疗队，如果其中至少有,2,名男医生和至少有,2,名女医生，则不同的选法种数为（ ）,4,、从,7,人中选出,3,人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ ）,1,、把,6,个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间,2,人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有,种 。,9,9,C,D,5,、在如图,7x4,的方格纸上（每小方格均为正方形）,（,1,）其中有多少个矩形？,（,2,）其中有多少个正方形？,课堂练习：,