线性代数 特征值与特征向量

-,*,-,第,5,章,特征值与特征向量,5.2,方阵的对角化,5.1,特征值与特征向量的概念与性质,发展阅读,5.1 Jordan,标准形简介,发展阅读,5.2,特征值的估计,1,5.1,特征值与特征向量的概念与性质,矩阵的特征值与特征向量都有着广泛和重要的应用。如：,工程技术中的振动问题,;,数值计算中的稳定性问题；,经济学中的主成分分析,(PCA);,微分方程组的求解,;,搜索引擎中的网页排序,.,2,引例,1,(,物种繁衍问题,),假设刚出生的雌雄一对小兔过两个月就能生下雌雄一对小兔,此后每月生下一对雌雄小兔,.,如果养了初生的一对小兔,问,k,个月后共可得多少对兔子,.,它满足（令 ）,解,设第 个月共有 对兔子,.,则数列 为,上述数列 称为,斐波那契（,Fibonacci,）数列,.,方程,(1),称为,差分方程,.,如何求解差分方程,(1),？,3,经计算得,通过矩阵特征值与特征向量的知识可求得,由,记,则,4,引例,2 (,条件极值问题,),设,n,元函数,这里,.,求,f,在单位球面,上的最大值与最小值,.,解,记对称矩阵,向量,则函数,f,可写成,这种函数是我们下一章要重点学习的,二次型,.,5,上述问题就归结为下面的条件极值问题,用,Lagrange,乘数法得,如何求出满足上式的数,这将归结矩阵的特征值问题,.,这时,6,把,(1),改写为,定义,设,如果存在数,和,非零,向量 满足,则称数 为,A,的,特征值,称,非零向量,为,A,的对应于,(,或属于,),特征值,的,特征向量,.,由,(2),得,是,A,的特征值,是,A,的属于特征值 的特征向量,是齐次方程组 的非零解,一、特征值与特征向量的概念,7,由代数基本定理，,n,次代数方程在复数域上恰有,n,个根,(,重根按重数计算,),。因此，,n,阶方阵在复数域上恰有,n,个特征值,.,约定,关于特征值、特征向量的讨论在复数域上进行,.,记,称 为,A,的,特征多项式,，称 为,A,的,特征方程,.,由前面的分析，特征方程的根即为,A,的特征值,.,8,解特征方程,例,1,求矩阵 的特征值与特征向量,.,解,求特征多项式,得特征值为,9,解方程组 ，得基础解系：,则属于特征值 的所有的特征向量为,解方程组 ，得基础解系：,则属于特征值 的所有的特征向量为,10,例,2,求矩阵 的特征值,.,得,A,的,n,个特征值为,问,对角矩阵,下三角矩阵的特征值等于什么？,解,由,11,例,3,求矩阵,的特征值和特征向量,.,解,12,A,的特征值为,对于 ，解方程组,同解方程组为 ，令 ，得基础解系,因此，对应于特征值 的所有特征向量为,13,对于特征值,，解方程组,同解方程组为 ，令,得基础解系,因此，对应于特征值 的所有特征向量为,14,回答问题,(,测试对特征值与特征向量概念的理解,),：,(1),向量,满足,是,A,的特征向量吗？,(2),实矩阵的特征值与特征向量一定是实的吗,?,(4),矩阵,A,是可逆矩阵的充要条件是,A,的所有特征值,_.,(5),设 ，,A,必有一个特征值为,_.,(3),设 ，,A,有一个特征值为,_.,设 可逆,A,的特征值一定不等于,_.,(6),A,的特征值与,的特征值有什么关系？,(7),一个特征值对应于几个特征向量,?,其中线性无关的特征,向量有几个？,15,例,4,证明：一个特征向量只能对应一个特征值,.,证,假设 是,A,的一个特征向量，其对应的特征值有两个,和,.,移项,则,例,5,设 ，证明,A,的特征值只能是,0,或,1.,证,设 是,A,的一个特征向量，对应的特征向量为,.,则,由,再,16,二、特征值与特征向量的性质,性质,1,A,与 有相同的特征值,.,性质,2,设,n,阶矩阵,A,的,n,个特征值为 ，,是一多项式，则,的,n,个特征值为,且对应的特征向量相同,.,例如：设,2,阶矩阵,A,的两个特征值为 ，则 的两个特征值为,17,性质,3,设,n,阶可逆矩阵,A,的,n,个特征值为 ，,则 的,n,个特征值为 且对应的特征向量相同,.,性质,4,设,n,阶可逆矩阵,的,n,个特征值为 ，,则,18,例,6,设,3,阶矩阵,A,的三个特征值为,求,解,的三个特征值为,计算得,因此,矩阵,19,解,由,例,7,已知矩阵,的,3,个特征值为 ，,得,解之,求,x,，,y,.,20,定义,设,A,，,B,都是,n,阶矩阵，若存在可逆矩阵,P,，使得,则称,A,与,B,相似,，记为,A,B.,特别地，如果矩阵,A,与对角矩阵相似，则称,A,是,可对角化的,.,5.2,方阵的对角化,对,A,进行的矩阵变换 称为相似变换，其中,P,称为相似变换矩阵,.,21,相似变换的性质,(1),相似关系是一种等价关系,(,满足三条,);,(2),设,A,B,则,；,(3),设,A,B,则,;,(4),设,A,B,，,则,A,与,B,有相同的特征值,;,(5),设,A,B,，,则,;,(6),设,A,B,，,则,;,(7),设,A,B,，,则 与 相似，其中 是一多项式,;,(8),设,A,B,，,且,A,可逆,则 与 相似。,22,解,例,1,设 与 相似，,求,a,与,b ,以及,A,的特征值,.,由 ，比较两多项式的系数得,解得,A,的特征值即为,B,的特征值，它们是：,23,由相似变换的性质知，相似变换保留了原矩阵的很多信息,.,我们的目标是把一个矩阵用相似变换变为最简单形状，其中特别地变为对角矩阵,.,下面我们重点讨论,矩阵可对角化的条件,.,24,定理,1,n,阶矩阵,A,可对角化的充要条件是,A,有,n,个线性无关的特征向量。,证,先证必要性,.,设,A,可对角化，即存在可逆矩阵,P,使得,记 ，则,于是,上式说明， 就是对应于特征值 的特征向量,.,由于,P,是可逆矩阵，故 线性无关,.,把上述证明过程倒推即得充分性的证明,.,25,可验证 线性无关，故,A,可对角化,.,见后面注,第,1,步,求特征值,即求 的基础解系,第,2,步,求线性无关的特征向量，,例,2,讨论矩阵 是否可对角化,.,若可以，求,可逆矩阵,P,使 为对角矩阵,.,参见,5.1,例,3,26,第,3,步,把线性无关的特征向量拼成可逆矩阵,P.,第,4,步,写出相似变换及对角矩阵,.,注,下面的定理告诉我们，本题中 的线性无关性不需要验证,.,27,定理,2,不同特征值对应的线性无关的特征向量合并后仍是线性无关的。,即设 是矩阵,A,的不同的特征值，又设,对应的线性无关的特征向量为,对应的线性无关的特征向量为,对应的线性无关的特征向量为,仍是线性无关的。,则把这些特征向量合并得到的 个向量,28,推论,(,可对角化的充分条件,),n,阶矩阵,A,如有,n,个不同的特征值，则它有,n,个线性无关的特征向量，从而,A,可对角化,.,29,设,n,阶矩阵,A,的所有不同的特征值为 ，则,这里,.,称 为特征值 的,代数重数,.,特征值 对应的线性无关的特征向量的最大个数为,称 为特征值 的,几何重数,.,也称 是,A,的 重特征值,.,考察下列矩阵特征值的代数重数与几何重数是多少？,30,问,单重特征值对应的线性无关的,特征向量有几个,?,定理,3,矩阵,A,的任一特征值 的代数重数 与几何重数 有下面关系：,定理,4,矩阵,A,可对角化的充要条件是,A,的每个不同特征值的代数重数与几何重数相等,.,例如,都是不可对角化的矩阵,.,31,例,3,矩阵 是否可角化？,解,由,得,A,的特征值为,只需考察二重特征值 的几何重数是否等于,2.,易知,故二重特征值 的几何重数为,A,不可对角化,.,32,例,4,设 ，问,x,为何值时，,A,可角化？,解,由,得,A,的不同的特征值为,A,可对角化的充要条件是 ，即,.,33,例,5,设,A,是,n,阶的幂等矩阵（即 ），证明,A,必可对角化，并求出相应的对角矩阵,.,证,由前面的结果知,A,的特征值只可能为,0,或,1,，且,特征值 的几何重数为 ，特征值 的几何重数为,.,故,A,有,个线性无关的特征向量,.,从而,A,可对角化,.,且相应的对角矩阵为,34,应用题举例,例,1,（见,5.1,引例,1,） 求解差分方程：,则,解,记,直接计算 比较困难,先把,A,对角化,.,计算得,A,的特征值与特征向量为,35,令 则,且,36,得,例如,注,它们确实都是正整数,!,再由,37,例,2,求解下面微分程组：,解,记,则微分方程组可写成,38,令 则,矩阵,A,是可角化的，可求得,即,解得,39,由 ，得,为任意常数,.,40,例,3,（马尔可夫链）一个汽车商出租四种类型的汽车：四门轿车、运动车、小货车、多功能车（,SUV,）,.,出租的租期为,2,年,.,统计表明, 80%,现在租用轿车的顾客将在下一个租期继续租用它, 10%,现在租用运动车的顾客将改租轿车, 5%,现在租用小货车的顾客将改租轿车, 5%,现在租用,SUV,的顾客将改租轿车,.,这些结果汇总在下表的第一行,.,表中每二行、第三行、第四行分别给出下一次租用运动车、小货车、,SUV,的百分比,.,轿车,运动车,小货车,SUV,轿车,0.80,0.10,0.05,0.05,运动车,0.10,0.80,0.05,0.05,小货车,0.05,0.05,0.80,0.10,SUV,0.05,0.05,0.10,0.10,41,假设初始时出租,200,轿车,其他三种车各,100,辆,.,若令,表示租用每一种汽车的人数所占比例,.,再令,表示两年后,(,一个租期,),租用每一种汽车的人数所占比例,.,42,为求将来的比例,可令,称一个只含非负分量且各分量总和为,1,的向量为,概率向量,.,称以概率向量为列构成的方矩阵为,概率转移矩阵,.,上面矩阵,A,是概率转移矩阵,.,由,(1),产生的向量 称为,状态向量,状态向量序列 称为,马尔可夫链,.,显然， 都是概率向量,.,我们要求这个过程长时间的状态，即,递推得,43,将,A,对角化,其中,44,因此,45,本章小结,自己补,46,