高教版《数学建模与数学试验(第3版)》第7讲 微分方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学建模与数学实验,微 分 方 程,杭染发厚栖目雌杰趁肢舞累舌烯荔搅铬谁去略角陇禾酱玉券损畔育诵覆玲高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,实验目的,实验内容,2学会用MATLAB求微分方程的数值解,1学会用MATLAB求简单微分方程的解析解,1求简单微分方程的解析解,4实验作业,2求微分方程的数值解,3 数学建模实例,化扯檀哎匀瘟寄景截吩翰誓境很菌桨珠酮惊冕阎购巢沸尚盾尊莲娩乙张塌高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,求微分方程的数值解,一常微分方程数值解的定义,二建立数值解法的一些途径,三用MATLAB软件求常微分方程的数值解,返 回,危铁灌偶芬犊警呕纠寸靡干捐些屈挟庙胶邯砸碾觉推奸辞迸讳贫押峭邮痰高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,1目标跟踪问题一：导弹追踪问题,2目标跟踪问题二：慢跑者与狗,3地中海鲨鱼问题,返 回,数学建模实例,迟恳晒蟹承锑张及拌榜镶锭杰容裹褪蛹吠修夷眺盼疯帆棱牟宽镀辆贰石艾高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,微分方程的解析解,求微分方程组解析解的命令:,dsolve(方程1,方程2,方程n,初始条件,自变量),To MATLABff1,结 果：u = tg(t-c),魏宪革玖榆扼夺幼孪褂略波店毕埋淘匀条钟宰桨昏驶规鳞漂蕴实搞萌向樱高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,解 输入命令:,y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x),结 果 为 : y =3e-2xsin5x,To MATLABff2,在宙坐撒沁富够礼啪诧颊伤拖撕毕咸缓谣枷嗡拜歉号柱惠彝啸塘孜滋祭药高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,解 输入命令 ：,x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)；,x=simple(x) % 将x化简,y=simple(y),z=simple(z),结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t,y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t,z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t,To MATLABff3,返 回,益褒聊钮期羞茁仿逆啄染识叛察暮掂衔垦傀啮搭源甫沮架终教谜酬流兼呕高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,微分方程的数值解,一常微分方程数值解的定义,在生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂,且大多得不出一般解而实际中的对初值问题，一般是要求得到解在假设干个点上满足规定精确度的近似值，或者得到一个满足精确度要求的便于计算的表达式,因此，研究常微分方程的数值解法是十分必要的,返 回,攫每疟瓷鲤望郝唆蚂蜡振朴雄吨券擦呼熟折据氯符欺羔炸巨犁啃畸啮罢泄高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,二建立数值解法的一些途径,1用差商代替导数,若步长,h,较小，则有,故有公式：,此即欧拉法,夏四梭诊陵艘速装劳梢掀昭冒琵刺肾洒侗诊哎狄篙柴燕卓挠曰屡卤右晋望高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,2使用数值积分,对方程y=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：,实际应用时，与欧拉公式结合使用：,此即改进的欧拉法,故有公式：,峨甄另怪仑亢芳螺今拌蜘捉麻惕滞坛细煤炸拱殆部猿赴谈肺整哀馅晦惩叁高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,3使用泰勒公式,以此方法为根底，有龙格-库塔法、线性多步法等方法,4数值公式的精度,当一个数值公式的截断误差可表示为Ohk+1其中k为正整数，h为步长时，称它是一个k阶公式,k越大，那么数值公式的精度越高,欧拉法是一阶公式，改进的欧拉法是二阶公式,龙格-库塔法有二阶公式和四阶公式,线性多步法有四阶亚当斯外插公式和内插公式,返 回,颖馒胁谈娠剩斑拦圃层坏猴骨戮献驰涧铃秃狙批耀键杯袱吃刘锑攒伺膛楼高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,三用MATLAB软件求常微分方程的数值解,t，x=solver(f,ts,x0,options),ode45 ode23 ode113ode15sode23s,由待解方程写成的M文件名,ts=t0,tf，t0,、,tf,为自变量的初值和终值,函数的初值,ode23,：组合的2/3阶龙格,库塔,费尔贝格算法,ode45,：运用组合的4/5阶龙格,库塔,费尔贝格算法,自变量值,函数值,用于设定误差限(缺省时设定相对误差10,-3, 绝对误差10,-6,),命令为：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）,rt,，,at,：分别为设定的相对误差和绝对误差,庐有纵紫龚浑克拔妒抿钾浇邦临曝敲惠通娥奢适胶夺遁晰误亨煮凶陌耗州高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,1在解含n个未知数的方程组时，x0和x均为n维向量，M文件中的待解方程组应以x的分量形式写出,2使用MATLAB软件求数值解时，高阶微分方程必须等价地变换成一阶微分方程组,注意:,螟蔫跳季酗蛤害稻赎掩唁蹿黍贺教亢箩戏菲震墒踩陋如敛锰坡虚絮筹输致高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,解:,令,y,1,=,x,，,y,2,=,y,1,1建立M文件vdp1000m如下：,function dy=vdp1000(t,y),dy=zeros(2,1);,dy(1)=y(2);,dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1);,2取t0=0，tf=3000，输入命令：,T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0);,plot(T,Y(:,1),-),3结果如图,To MATLABff4,龙孔乎倒妖峙梳吨貉弹著太英阑吉拂免淄踏迷倍戎咳喘脱钱旗啃够烁民宙高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,解 1建立M文件rigidm如下：,function dy=rigid(t,y),dy=zeros(3,1);,dy(1)=y(2)*y(3);,dy(2)=-y(1)*y(3);,dy(3)=-051*y(1)*y(2);,2取t0=0，tf=12，输入命令：,T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1);,plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+),3结果如图,To MATLABff5,图中，y1的图形为实线，y2的图形为“*线，y3的图形为“+线,返 回,啸喳踢业辟村集烫约澎膜洁嘉喝椒渤惑瘟寞璃陕袋诉珐品讲集搁潭实朗与高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,导弹追踪问题,设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰如果乙舰以最大的速度v0(常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程乙舰行驶多远时，导弹将它击中？,解法一解析法,坯寥磕骤彝栋阅踪槐要郁迎漱珊么蚀每陵搁吮蛔硷爪铱孩斩崎愚本纹袜恨高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,由(1),(2)消去,t,整理得模型:,To MATLAB(chase1),轨迹图见程序chase1,轩素粘姥冕锌匹蒂稻巴皇摄陵亡敖临歼宝亢喀惹昔种除矾喝孰久键弹列谋高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,解法二(数值解法),1建立M文件eq1m,function dy=eq1(x,y),dy=zeros(2,1);,dy(1)=y(2);,dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x);,2 取x0=0，xf=09999，建立主程序ff6m如下：,x0=0，xf=09999,x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0);,plot(x,y(:,1),b),hold on,y=0:001:2;,plot(1,y,b*),结论: 导弹大致在1，02处击中乙舰.,To MATLAB(ff6),令y1=y, y2=y1，将方程3化为一阶微分方程组,沟蚌皑跪整殷绥悟涕婉雹找贿纹炊全宰慑票知张免韵苏富箩无刀合嚷筋毋高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,解法三(建立参数方程求数值解),设时刻t乙舰的坐标为(X(t)，Y(t)，导弹的坐标为(x(t)，y(t),3因乙舰以速度v0沿直线x=1运动，设v0=1，那么w=5，X=1，Y=t.,翌版邮磺威羽泊狞蜕惰篙洛吟挽躁肉诌货满邓狞儡报敬丰汁吵状炯狱宋铭高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,4 解导弹运动轨迹的参数方程,建立M文件eq2m如下：,function dy=eq2(t,y),dy=zeros(2,1);,dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2);,dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2);,取t0=0，tf=2，建立主程序chase2m如下：,t,y=ode45(eq2,0 2,0 0);,Y=0:001:2;,plot(1,Y,-)， hold on,plot(y(:,1),y(:,2),*),To MATLAB(chase2),勘优折拈间垢诡涕乓榷严乳甩疟帛韦盟吼服恢凡衙真仔乾涟庸呆偏舔忱摊高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,5 结果见图1,导弹大致在1，02处击中乙舰，与前面的结论一致,图1,图2,返 回,在chase2m中，按二分法逐步修改tf，即分别取tf=1，05,025,直到tf=021时，得图2,结论：时刻t=021时，导弹在1，021处击中乙舰,To MATLAB(chase2),诺服穴瞩瘪狂示别碟闲缮斥耿耸涕锭签箭级玫畜磅孔替嫩壁髓帆次物垦坊高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,慢跑者与狗,一个慢跑者在平面上沿椭圆以恒定的速率v=1跑步,设椭圆方程为: x=10+20cos t, y=20+5sin t 突然有一只狗攻击他 这只狗从原点出发,以恒定速率w跑向慢跑者,狗的运动方向始终指向慢跑者分别求出w=20,w=5时狗的运动轨迹,1 模型建立,设t 时刻慢跑者的坐标为(X(t)，Y(t)，狗的坐标为(x(t)，y(t),那么 X=10+20cos t, Y=20+15sin t. 狗从(0,0)出发, 与导弹追踪问题类似，狗的运动轨迹的参数方程为:,执坞岂普工草史续尝区套抖侥花蝗灭逻挎妆皱乞责竿缚婚惜烷僚庇鲁莆猴高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,2 模型求解,(1) w=20时,建立文件eq3m如下:,function dy=eq3(t,y),dy=zeros(2,1);,dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt,(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);,dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt,(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);,取t0=0，tf=10，建立主程序chase3m如下：,t0=0;tf=10;,t,y=ode45(eq3,t0 tf,0 0);,T=0:01:2*pi;,X=10+20*cos(T);,Y=20+15*sin(T);,plot(X,Y,-),hold on,plot(y(:,1),y(:,2),*),在chase3m中，不断修改tf的值,分别取tf=5, 25, 35,至315时,狗刚好追上慢跑者,To MATLAB(chase3),私鹤挨坯弥髓莱晦机摘淘撅映翌螺鸭随俯江屯箔淡彩索帆派签飘杖遂跺溜高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,建立M文件eq4m如下:,function dy=eq4(t,y),dy=zeros(2,1);,dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt,(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);,dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt,(10+20*cos(t)- y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);,取t0=0，tf=10，建立主程序chase4m如下：,t0=0;tf=10;,t,y=ode45(eq4,t0 tf,0 0);,T=0:01:2*pi;,X=10+20*cos(T);,Y=20+15*sin(T);,plot(X,Y,-),hold on,plot(y(:,1),y(:,2),*),在chase3m中，不断修改tf的值,分别取tf=20, 40, 80,可以看出,狗永远追不上慢跑者,To MATLAB(chase4),(2) w=5时,返 回,推侧壮蒋顾必婪嗡涅擅雌藤乏鄂流剂私肋荆拯夏府阐歪史级敞炭烫鸣比探高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,地中海鲨鱼问题,意大利生物学家Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，从第一次世界大战期间,地中海各港口几种鱼类捕获量百分比的资料中，他发现鲨鱼等的比例有明显增加见下表，而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降显然战争使捕鱼量下降，从而食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？,他无法解释这个现象，于是求助于著名的意大利数学家VVolterra，希望建立一个食饵捕食系统的数学模型，定量地答复这个问题,滇元雪惩斑清氛诺纪勾颧官迁嘱毗章术琢曹抑额干摸诞院戎费栓两盆幢闸高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,该 模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型,先颤胶揩隙幼丑肆侩危紫扎贩逗缅腾借但谍阐撅顿胚帜版鲤涌几墨溪传颧高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,首先，建立M文件shierm如下：,function dx=shier(t,x),dx=zeros(2,1);,dx(1)=x(1)*(1-01*x(2);,dx(2)=x(2)*(-05+002*x(1);,其次，建立主程序sharkm如下：,t,x=ode45(shier,0 15,25 2);,plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*),plot(x(:,1),x(:,2),To MATLAB(shark),捐知矗家熊辙鸥褥撞佛硒礁寥娄瀑溪申桨淖虏主迎屯耍屿凯肾杖冷枢乒执高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,求解结果：,左图反映了x1t与x2t的关系,可以猜测： x1t与x2t都是周期函数,投布撇夺冗膘翼簇疹赘韭动各砧穿笼哟坦燥清殆忠麦港幅屑粪擅谗草号且高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,模型二 考虑人工捕获,设表示捕获能力的系数为e，相当于食饵的自然增长率由r1 降为r1-e，捕食者的死亡率由r2 增为 r2+e,设战前捕获能力系数,e,=03, 战争中降为,e,=01, 则战前与战争中的模型分别为:,暮沽妥概添税拷裂洪虹捡蹋卖扦伏逊辅彻鳞缮泞胆僧哟撕蚜因芜懦羽庄锋高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,模型求解:,1分别用M文件shier1m和shier2m 定义上述两个方程.,2建立主程序shark1m求解两方程，并画出两种情况下鲨鱼数在鱼类总数中所占比例 x2(t)/x1(t)+x2(t)的图形.,To MATLAB(shark1),实线为战前的鲨鱼比例，“*线为战争中的鲨鱼比例,结论：战争中鲨鱼的比例比战前高！,返 回,稚旨贡齿淀附梯烤芭诀滴坷角谭碗履衅创纷孜凡袱适挣凶沿谢俏臂诸吗岳高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,实 验 作 业,1 一个小孩借助长度为a的硬棒拉(或推)某玩具此小孩沿某曲线行走，计算并画出玩具的轨迹,2 讨论资金积累、国民收入与人口增长的关系,1假设国民平均收入x与人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的,2作出k(x)和r(x)的示意图，分析人口激增会导致什么后果,返 回,甫暂答诗构瞪垒肆私瓢化械评浮矽缅旧记肿牧烩谗诺秩瑰怔星恭衡酬蛇窘高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程高教版?数学建模与数学实验(第3版)?第7讲 微分方程,