电磁场导论时变电磁场

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第五章 时变电磁场,5-1,电磁场基本方程组,5-2,坡印亭定理与坡印亭矢量,5-3,动态位及其解的特性,5-4,正弦电磁场,5-5,电磁辐射,9/22/2024,1,5.1 电磁场基本方程组,5.1.1麦克斯韦方程组的微分形式,全电流定律,根据斯托克斯定理,由麦克斯韦方程组的积分形式，推导微分形式：,本课程不涉及运流电流的磁场问题,9/22/2024,2,法拉第定律,根据斯托克斯定理,根据高斯散度定理,本课程不涉及导体在恒定磁场中运动产生感应电场问题,9/22/2024,3,例5-1,已知无限大自由空间中电场强度,试用麦克斯韦方程求磁场强度,H,。,解法一,：,时变电场产生的位移电流密度为,由于,9/22/2024,4,可知,对空间坐标z进行不定积分，可得,式中C为由边界条件确定的积分常数，在无限大空间情况下可去C=0。故得,由麦克斯韦第一方程,自由空间没有传导电流,9/22/2024,5,解法二,：,由麦克斯韦第二方程,由于,对时间变量,t,进行不定积分，可得,式中C由初始条件确定，在正弦稳态情况下可取C=0,9/22/2024,6,5.1.2 时变电磁场的分界面衔接条件,时变电磁场的分界面衔接条件与静态场相同,在媒质分界面上取边长分别为,l,和,h的矩形闭合回路，其中,h,0。,得,由麦克斯韦第二方程,因此,E,1 t,=,E,2 t,9/22/2024,7,由麦克斯韦第一方程,得,即,H,1 t,H,2 t,=,K,B,1 n,=,B,2 n,D,2 n,D,1 n,=,同理可推导出,D,和,B,的分界面衔接条件,当分界面上没有面电流时,K,=0，则,H,1 t,=,H,2 t,当分界面上没有自由电荷时,=0,D,1 n,=,D,2 n,9/22/2024,8,当分界面不存在自由面电荷和传导面电流,K,时，同样可以得到电磁场的折射定律,由于理想导体,1,，内部,E,1,=0、,B,1,=0，由衔接条件知,理想导体表面存在,自由电荷积累成的面电荷,=,D,2n,沿导体表面流动的面电流,K= H,2t,理想导体外表面附近,电力线与其表面垂直,E,2t,= 0,磁力线平行于其表面,B,2n,= 0,9/22/2024,9,作 业,5-1,设同轴电缆介质参数分别为2,0,、,0,、,=0。位移电流密度为，,求：电场强度,E,和磁场强度,H,。,5-3,已知媒质的,= 10,3,S/m,，,= 6.5,0,，,=,0,。传导电流密度为,求位移电流密度和单位体积消耗的功率。,9/22/2024,10,5.2 坡印亭定理与坡印亭矢量,麦克斯韦假设，时变电磁场的能量体密度,以下推导电磁场的能量守恒和转化定律,5.2 . 1 坡印亭定理,在线性、各向同性媒质中,9/22/2024,11,得,由矢量恒等式,改写为,设体积V中含有电源，,E,e,为局外场强,则得,散度定理,体积分,由矢量恒等式,9/22/2024,12,时变电磁场的电磁功率平衡方程,坡印亭定理,物理意义,电源提供的电磁功率（VA）,电磁场储能增加率（J/S）,导电媒质中消耗的电磁功率(W),流出闭合面的电磁功率（VA）,静态场,导电媒质中消耗的焦耳功率是通过其表面,S,由外部进入的电磁能流提供的。,9/22/2024,13,例5-2,已知自由空间中,求：流入平行六面体（长1m、横截面0.25m,2,）中的净功率流。,解:,可见，在,z,= 0,平面有功率流入，,z,=1,平面有功率流出,9/22/2024,14,进入平行六面体的净电磁功率,自由空间中没有电源，也不是导电媒质，故进入该体积的电磁功率使电磁场储存的能量增加,9/22/2024,15,5.2 . 2坡印亭矢量,定义,称为坡印亭矢量，,具有功率密度的量纲，单位W/m,2,；,大小表示在垂直于能量传播方向的单位面积上穿过的电磁功率密度；,方向与,E,和,H,垂直，表示电磁能量传播或流动的方向。,例5-3,同轴电缆内外导体均为,理想导体,，半径分别为,a,和,b,，,a,导体之间为理想介质。设内外导体间电压为,U,，通过电流为,I,。求：穿过电缆介质横截面的电磁功率。,9/22/2024,16,解：,同轴电缆介质中,坡印亭矢量,说明电磁能量在内外导体之间的介质中沿Z轴方向流动，,穿过介质横截面的电磁功率,可见，电磁能量不是在电缆导体内部传输的，而是在导体之间的介质中传递的。,9/22/2024,17,当导体不是理想导体时,，载流导体内部存在沿电流方向的电场,E,1,=,J,/,。导体外表面的电场强度,E,2,不再垂直于导体表面。,导体外的坡印亭矢量,轴向分量,S,z,径向分量,S,r,由导体外部穿过表面进入导体内部，并在向深部传输过程中逐渐转换为焦耳热消耗掉。,9/22/2024,18,例5-4,已知长直导线半径为,a,，,电导率为,，其中通过恒定电流,I,，,求：1）单位长度导线体积消耗的功率；,2）进入单位长度导线的电磁功率,解：,导线内,导线外,9/22/2024,19,作 业,5-5,平板电容器极板为半径,R,的圆金属片，极间距离为,d,，电压为,U,，中间介质的参数分别为,、,和,。求：介质中,消耗的功率和介质中的坡印亭矢量。,5-5题图,+,U,R,d,5-6,已知自由空间中,（V/m）,求：穿过,z,为常数的平面上，半径为,2.5m,园面积的瞬时功率和平均功率。,9/22/2024,20,5.3 动态位及其波动方程,时变电磁场中，也可以引入标量电位,和矢量磁位,A,作为辅助量，但由于在时变电磁场中,和,A,不仅都是空间坐标的函数，同时又都随时间变化，故称其为动态位函数，简称,动态位,。,5.3.1 动态位的定义,由,B,=0，引入矢量磁位函数,A,，,洛仑兹规范,B,=,A,9/22/2024,21,将,B,=,A,代入麦克斯韦第二方程,即,定义标量电位函数,因此,物理意义,电荷产生的库仑场强,变化磁场产生的感应场强,9/22/2024,22,例5-5,已知自由空间中,求：磁感应强度,B,、电场强度,E,和坡印亭矢量,S,解：,由,洛仑兹条件,知,9/22/2024,23,得,在时变电磁场中不考虑静电场，取,= 0，则,= 0,所以,9/22/2024,24,5.3.2 达朗贝尔方程,在线性、各向同性媒质中,代入麦克斯韦第一方程,得,改写为,和,将,洛仑兹条件,代入上式，得,9/22/2024,25,将,代入麦克斯韦第二方程,得,即,将洛仑兹条件,代入上式，得,9/22/2024,26,1）动态磁位,A,单独地由传导电流密度,J,决定；动态电位,单独地由自由电荷体密度,决定。,当已知某一个激励源（例如,）便可求得动态电位（,）,。,2）方程的数学结构形式相同，动态位,A,和,的解答结构形式也应相同。,当求得某一个动态位（例如,）的解答，便可仿照它写出另一个动态位(,A,)的解答。,非齐次波动方程,达朗贝尔方程,9/22/2024,27,有源区,无源区,时变场,静态场,泊松方程,拉普拉斯方程,3）静电场和恒定磁场中的泊松方程和拉普拉斯方程都是达朗贝尔方程在静态情况下或无源区域的,特例,。,9/22/2024,28,5.3.3 达朗贝尔方程的解,设电荷,分布在有限区域V之中，,满足齐次波动方程,在远离,V,的场点P（,r,），由于,的分布具有球对称性，,只与,r,有关，而与,、,无关，即,=,（,r,t,）,波动方程在球坐标系中,式中,9/22/2024,29,这是（,r,）的一维波动方程,通解为,或,其中，,f,1,和,f,2,是具有二阶连续偏导数的两个任意函数,9/22/2024,30,通解的物理意义：,f,1,在,t,时间内经过,r,距离后不变,说明它是以有限速度,v,向,r,方向传播，称之为入射波。,有,当时间从,t,t,+, t,信号从,r,r,+,r,它表明：,f,1,是一个以速度,v,沿,r,方向前进的波。,9/22/2024,31,在无限大均匀媒质中没有反射波，则,f,2,=,0,它表明：,f,2,在,t,时间内, 以速度,v,向( -,r,)方向,前进了(,v, t,) 距离, 故称之为反射波。,当时间从,t,t,位置从,r,v ,t,时,图4.3.2 波的入射、反射与透射,9/22/2024,32,当电磁波在无限大均匀媒质中传播时，只有入射波，没有反射波,位于坐标原点的时变点电荷,q,(,t,)在离它,r,远处产生的动态标量位,体积,V,中任意体电荷分布,（,r,）在场点,r,产生的动态标量位,式中，,是场点到元电荷,(,r,)dV的距离,9/22/2024,33,同理，体积V中的任意体电流分布,J,（,r,）在场点,r,产生的动态矢量位,上式表明，在电磁场中某一位置,r,，在时刻,t,的动态位,和,A,决定于在此之前的某一时刻的激励源情况。,也就是说，激励源在时刻,t,的作用，要经过一定的推迟时间才能到达离它,r,远处 的场点。,真空中波速与光速相同,v,= 3,10,8,m/s。,电磁波的传播速度,电磁能量可以脱离场源而单独存在于空间的现象称为,电磁辐射,。,9/22/2024,34,5.4 正弦电磁场,以一定频率随时间作正弦规律变化的电磁场，称为正弦电磁场。即使是非正弦变化的电磁场，也可以采用傅里叶分析将其分解成各次谐波分量来研究。,5.4.1 麦克斯韦方程组的复数形式,正弦电磁场,相应的复数形式为,式中，,E,是正弦量的有效值，,是正弦量的初相角。,9/22/2024,35,麦克斯韦方程组的复数形式为：,对于线性、各向同性媒质,对时间求导,简化为,j,9/22/2024,36,5.4.2 坡印亭矢量的复数形式,在电路理论中，复功率的定义为,使用电流相量的共轭复数，从而,物理意义,：,实部为有功功率,P,，虚部为无功功率,Q,。,电磁场理论中，坡印亭矢量复数形式,9/22/2024,37,坡印亭矢量在一个周期T内的平均值为,实部,有功功率密度,，表示消耗能量的流动；,虚部,无功功率密度,，表示电磁能量的交换。,9/22/2024,38,推导坡印亭定理的复数形式：,麦克斯韦第一方程的共轭,进行体积分,坡印亭定理的复数形式,9/22/2024,39,若体积V内部不包含电源，则为,5.4.3 达朗贝尔方程的复数形式,定义,为,相位常数,， 单位rad/m,则达朗贝尔方程的复数形式为,9/22/2024,40,相应的复数形式解为,与瞬时形式的解比较,动态位在时间上推迟R/,v,秒，,相当于在相位上滞后(,R/,v,)=,R弧度。,9/22/2024,41,场点的动态位与激励源在时间上的差异，就是电磁波从激励源传播到场点所需的时间。,如果激励源变化得很快，推迟现象就比较明显；如果变化不快，虽然仍有推迟作用，但对场量的影响不太大，有时可以忽略不计。电气工程中的许多实际问题便属于这样的问题。,洛仑兹条件的复数形式,则,9/22/2024,42,作 业,5-10,已知无限大均匀媒质中，,求：,1,）,E,和,H,的复数形式；,2,）坡印亭矢量,S,的平均值；,5-7,已知某媒质中，动态磁位,求：1）,A,的散度和旋度；2）磁感应强度,B,(,z,t,)和电场强度,E,(,z,t,),9/22/2024,43,5.5 电磁辐射,空间电磁场并不取决于同一时刻的场源特性。即使当前时刻的场源已经消失，但前一时刻它释放出的电磁能量仍然单独存在于空间电磁场中，并以电磁波的形式按一定的速度在空间传播，这种现象称为,电磁辐射,。,本节研究,单元偶极子,的辐射特性,单元偶极子天线是一段很短的载流细导线,实际的线性天线可以看成由许多单元偶极子天线串联而成，电磁场是所有单元偶极子天线所辐射的电磁场的叠加。,高频信号源,单元偶极子,当电偶极子,p=qd,以简谐方式振荡时, 向外辐射电磁波,9/22/2024,44,开放电路，就必须降低电路中的电容值和电感值。,可知，要提高振荡频率、,从,LC,电路的振荡频率,以平行板电容器和长直载流螺线管为例。,增加电容器极板间距,d,，缩小极板面积,S,，减少线圈数,n,，就可达到上述目的，具体方式如图所示。,可见，开放的,LC,电路就是大家熟悉的天线！当有电荷（或电流）在天线中振荡时，就激发出变化的电磁场在空中传播。,9/22/2024,45,5.5.1单元偶极子的辐射,设,复数形式为,由于单元偶极子的长度,l,远远小于电流的,波长,和它与,观察点间的距离R，且R,r ，故,A,A,A,r,e,r,e,e,r,x,y,z,图5-7,I,l,I,9/22/2024,46,转换为球坐标，为,H,和,E,均由（,r,）不同幂次的多项式组成。,9/22/2024,47,E,线与,H,线在空间的动态分布,动态描述单元偶极子天线辐射形成的过程,时单元偶极子天线E线与H线分布,9/22/2024,48,动态描述单元偶极子天线辐射形成的过程,9/22/2024,49,5.5.2 近区场的特性,近区场,r,1,r,1,， 或,r,的区域，,磁场：,只保留括号内的含（,r,）的一项,瞬时表达式,9/22/2024,53,电场：,只保留含（,2,r,2,）的一项,瞬时表达式,9/22/2024,54,1. 远区场中的电场只有,E,分量，磁场只有,H,分量，两者,在空间上相互垂直，而且同相位；,3. 远区中任意一场点的,坡印亭矢量平均值,特点：,2.,电场和磁场的振幅都与r成反比，两者的比值称为,波阻抗,真空中,9/22/2024,55,可见，远区的电磁能量以电磁波的形式向无限远空间辐射，称为,辐射场,。,4. 单元偶极子天线的,辐射功率,：,5.单元偶极子的,等效辐射电阻,增大,辐射功率,有三个途径：1)增加天线长度；2)减少波长增大频率；3)增大发射机的电流。,9/22/2024,56,辐射的方向性用,两个相互垂直的主平面上的方向图,表示，,E,平面（电场所在平面） 和,H,平面（磁场所在平面）。,E,平面与H平面的方向性函数分别为,9/22/2024,57,6.,E,和,H,与,有关，说明电磁波具有,方向性,。,辐射的方向性用,两个相互垂直的主平面上的方向图,表示，,E,平面（电场所在平面） 和,H,平面（磁场所在平面）。,E,平面与H平面的方向性函数分别为,（a）,E,平面方向图,（ b）,H,平面方向图,立体方向图,9/22/2024,58,辐射场强随,和,角度变化的函数,f,(,) 称为天线的,方向图因子,。,根据,f,(,) 画出的描述天线辐射场强在空,间分布情况的图形称为天线的,方向图,。,几种细线天线的E平面方向图,对于单元偶极子：,=0处辐射为零，,=90,0,处辐射最强。,9/22/2024,59,例5-6,GSM系统双频移动电话天线的发射功率，当,f,=900MHz时为 0.1,2W；,当,f,=1800MHz时为 0.1,1W。,若将移动电话天线近似看作为单元偶极子天线，试分别计算距移动电话3cm处的最大功率密度。,说明：,移动电话有两个频率：900MHz电磁波,=33.3cm；1800MHz电磁波,=16.7cm。严格地说手机天线长度不符合单元偶极子,l,）的条件,。,因此只能近似计算。,解：,为了方便，将坡印亭矢量用辐射功率表示,最大功率面密度出现在,=90,0,位置,9/22/2024,60,当f=1800MHz时，,应该指出，由于1,3GHz频率范围的电磁波能够被皮肤、脂肪和肌肉吸收，使人体深处的细胞加热，导致内部器官损伤。因此，世界各国均对功率面密度限值作了规定。如,美国IEEE/ANSI标准规定功率面密度限值为1mW/cm,2,。,本例的计算结果已远远超过标准限值，因此从健康的角度考虑，不应长时间使用移动电话。,当f=900MHz时，,9/22/2024,61,9/22/2024,62,9/22/2024,63,9/22/2024,64,9/22/2024,65,5.5.4 似稳条件与似稳场,理想介质中的时变电磁场如果满足以下,似稳条件,：,1) 推迟时间,t/v,周期,T= 1/,f,；,2) 场点距离,r,波长,=,v,T,；,3) 滞后相位,r,1，,e,j,r,e,0,= 1 ；,则可以不计推迟效应，按静态场处理。,B,=,A,A,和,分别满足泊松方程,9/22/2024,66,动态位积分解的复数形式为,相应的瞬时值形式为,虽然,A,和,都是随时间变化的，但磁准静态场却遵循静态场的规律，称为,似稳场,。,只要已知电流和电荷的分布，就完全可以仿照静态情况下的公式计算。,也就是说，可以略去电磁场的波动性，认为场量与场源之间具有类似于静态场的瞬时对应关系。,9/22/2024,67,19世纪伟大的英国物理学家、数学家麦克斯韦,1847年进入爱丁堡大学学习数学和物理,1850年转入剑桥大学三一学院数学系学习,1854年以第二名的成绩获史密斯奖学金，毕业留校任职两年,1856年在苏格兰阿伯丁的马里沙耳任自然哲学教授,1860年到伦敦国王学院任自然哲学和天文学教授,1861年选为伦敦皇家学会会员,1865年春辞去教职回到家乡系统地总结他的关于电磁学的研究成果，完成了电磁场理论的经典巨著论电和磁，并于1873年出版,1871年受聘为剑桥大学新设立的卡文迪什试验物理学教授，负责筹建著名的卡文迪什实验室，1874年建成后担任这个实验室的第一任主任，直到1879年11月5日在剑桥逝世。,1831年11月13日生于苏格兰的爱丁堡,9/22/2024,68,麦克斯韦对前人和他自己的工作进行了综合概括，将电磁场理论用简洁、对称、完美数学形式表示出来，经后人整理和改写，成为经典电动力学主要基础的麦克斯韦方程组。1873年出版了科学名著电磁理论，系统、全面、完美地阐述了电磁场理论。这一理论成为经典物理学的重要支柱之一。,麦克斯韦主要从事电磁理论、分子物理学、统计物理学、光学、力学、弹性理论方面的研究。尤其是他建立的电磁场理论，将电学、磁学、光学统一起来，是19世纪物理学发展的最光辉的成果，是科学史上最伟大的综合之一。,麦克斯韦大约于1855年开始研究电磁学，在潜心研究了法拉第关于电磁学方面的新理论和思想之后，坚信法拉第的新理论包含着真理。于是他抱着给法拉第的理论“提供数学方法基础”的愿望，决心把法拉第的天才思想以清晰准确的数学形式表示出来。,麦克斯韦在前人成就的基础上，对整个电磁现象作了系统、全面的研究，凭借他高深的数学造诣和丰富的想象力接连发表了电磁场理论的三篇论文：论法拉第的力线（1855年12 月至1856年2月）；论物理的力线（1861至1862年）；电磁场的动力学理论（1864年12月8日）。,1865年他预言了电磁波的存在，电磁波只可能是横波，并计算了电磁波的传播速度等于光速，同时得出结论：光是电磁波的一种形式，揭示了光现象和电磁现象之间的联系。1888年德国物理学家赫兹用实验验证了电磁波的存在。,9/22/2024,69,作 业,5-12,设有一垂直放置的单元偶极子作为辐射天线，已知,q,=3,10,-7,库仑，,f,=5兆赫，,l,=0.5米。,求：与地面成40,0,夹角，距离单元偶极子天线中心分别为5米和5千米位置的,E,和,H,的表达式。,5-11,设导电媒质参数分别为,、,和,，已知电场强度,求：1）,E,的复数形式； 2）传导电流密度的复数形式； 3）位移电流密度的复数形式；4）传导电流密度与位移电流密度的比值,9/22/2024,70,