第16讲_随机决策分析方法(new)

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,2007,年,12,月,27,日,解放军信息工程大学 韩中庚,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,*,*,第十六章 随机性决策分析方法,1,第十六章 随机性决策分析方法,2,2024年9月22日,随机性决策问题的基本概念；,效用函数的概念；,效用与风险的关系,；,随机优势与效用函数的关系；,案例分析：彩票中的数学问题。,2,一、问题的引入彩票与数学,3,2024年9月22日,彩票中的数学知多少？,你们了解彩票吗？,你们买过彩票吗？,你们了解彩票的规则吗？,No,I dont know!,请问几个问题：,（,1,）博彩有规律可寻吗？,（,2,）现行的各种彩票方案中奖的可能性有多大？,（,3,）现行的彩票方案合理吗？哪种方案,“,好,”,？,（,4,）我们应该如何看待彩票？中国的彩票业还有多大的发展空间,？,我想应该有规律吧！,啊！有这么悬乎吗,？,3,4,2024年9月22日,一、问题的引入彩票与数学,“,彩票中的数学,”,问题（,CUMCM2002-B,）,近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。,“传统型”采用“10选6+1”方案：,中 奖,等 级,10,选,6+1,（,6+1/10,）,基 本 号 码 特别号码,说 明,一等奖,abcdef g,选,7,中（,6+1,）,二等奖,abcdef,选,7,中（,6,）,三等奖,abcdeX Xbcdef,选,7,中（,5,）,四等奖,abcdXX XbcdeX XXcdef,选,7,中（,4,）,五等奖,abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef,选,7,中（,3,）,六等奖,abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef,选,7,中（,2,）,4,5,2024年9月22日,一、问题的引入彩票与数学,“,彩票中的数学,”,问题（,CUMCM2002-B,）,“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案和“36选6+1”的方案，,中 奖,等 级,33,选,7,（,7/33,）,36,选,6+1,（,6+1/36,）,基本号码 特别号码,说 明,基 本 号 码 特别号码,说 明,一等奖,选,7,中（,7,）, ,选,7,中（,6+1,）,二等奖,选,7,中（,6+1,）,选,7,中（,6,）,三等奖,选,7,中（,6,）, ,选,7,中（,5+1,）,四等奖, ,选,7,中（,5+1,）,选,7,中（,5,）,五等奖,选,7,中（,5,）, ,选,7,中（,4+1,）,六等奖, ,选,7,中（,4+1,）,选,7,中（,4,）,七等奖,选,7,中（,4,）, ,选,7,中（,3+1,）,5,6,2024年9月22日,一、问题的引入彩票与数学,“,彩票中的数学,”,问题（,CUMCM2002-B,）,要解决的问题：,（,1,）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。,（,2,）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。,（,3,）给报纸写一篇短文，供彩民参考。,6,7,2024年9月22日,二,.,随机性决策的基本概念,随机性决策问题包含两个方面：,决策人所采取的行动方案,(,决策,);,问题的自然状态,(,状态,),；,基本特点：,后果的不确定性和后果的效用,。,后果的不确定性：,由问题的随机性，使问题会出现什么状态的不确定性，决策人做出决策后会出现后果的不确定性。,后果的效用：,后果价值的量化。由后果的不确定性，对于不同决策后果的效用是不同的。,7,8,2024年9月22日,1,、 主观概率,二,.,随机性决策的基本概念,随机性决策问题后果的不确定性是由状态的不确定性引起的，状态的不确定性不能通过在相同条件下的大量重复试验来确定其概率分布。实际中只能由,决策人主观地做出估计,，称其为,主观概率,。,主观概率,遵循客观概率应该遵循的假设、公理、性质等，客观概率的所有逻辑推理方法均适用于主观概率。,设定主观概率的方法,：主观先验分布法、无信息先验分布法、极大熵先验分布法和利用过去数据设定先验分布法等。,8,客观,(Objective),概率,：上述三种定义的概率是在多次重复试验（随机试验）中，随机事件,A,发生的可能性的大小的度量，称为客观概率。,主观,(Subjective),概率,：在实际管理决策中，许多事件的发生概率是无法通过随机试验获得的，或条件不允许，或事件本身不允许。因此需要一种方法来人为设定事件发生的概率，称为主观概率。,主观概率是人们根据经验、各方面的知识以及了解到的客观情况进行分析、推理、综合判断，对特定事件发生的可能性的信念（或意见、看法）的度量,(Savage,1954),。,公理化定义,：,E,是随机事件，,S,是,E,的样本空间，对,E,的每一事件,A,，对应有确定的实数,p,(A),，若,p,(A),满足：非负性：,p,(A)0,；规范性：,p,(S)=1,；列可加性：对两两不相容事件,A,k,，有,p,(,k,A,k,)=,k,p,(A,k,),。,(A,i,A,j,=,i,j,),9,主观概率,先验分布与先验假设,先验分布,(Prior Distribution),：根据先验信息所确定的概率分布叫先验分布，获得先验分布是贝叶斯分析的基础。,决策中先验分布的获得具有高度的主观性,。,先验假设,：为使先验分布估计规范化，需要做一定的假设。,连通性假设,：指事件,A,和事件,B,发生的可能性是可比的，即,p,(A),p,(B),p,(A),p,(B),p,(A),p,(B),p,(B),p,(C),则,p,(A),p,(C),。（满足连通性和传递性的二元关系才能构成完全序）,部分与全体关系假设,：若事件,A,是事件,B,的一部分，则,p,(B),p,(A),。,10,主观概率,先验分布估计,:,比较法,比较法,1-,离散型,（,对事件发生的各种状态加以比较确定相对似然率,）,某气象专家对当年的气候状况进行评估，认为当年气候正常,(,1,),与受灾的可能性之比约为,3:2,；如果受灾，则水灾,(,2,),、旱灾,(,3,),的可能性相当。据此，我们可推算出当年气候状况的先验分布：,(,1,)+,(,2,)+,(,3,)=1;,(,1,)/(,(,2,)+,(,3,)=3/2;,(,2,)=,(,3,),解得：,(,1,)=0.6,，,(,2,)=0.2,，,(,3,)=0.2,11,主观概率,先验分布估计：比较法,比较法,2-,连续型,离散化：同直方图法,比较赋值,选择一个似然率最大的子区间,k,作为基准，设其相对似然率为,R,k,，然后给出其他各区间,i,相对于,k,的似然率,R,i,，则,(,i,)=R,i,/R,i,由决策者给出每两个子区间似然率的比例关系：,r,ij,= (,i,)/ (,j,),，然后计算出每个状态,i,的似然率,(,i,),。,变换拟合：同直方图法,12,主观概率,先验分布估计：打赌法,打赌法（离散型）,设打赌者,(A),的个人财产为,W,。设事件,E,发生时,A,获得收入为,p,，,(,p,W,，,0,p,1),，不发生时,A,获得的收入为,1-,p,。调整,p,值使,A,感觉无论事件,E,是否发生，其收入基本相同。,则事件,E,发生的可能性,(E)=1-,p,。,13,主观概率,先验分布估计：直方图法,直方图法,（适合于自然状态,在实轴某个区间,连续,取值,）,区间离散化：把,的取值范围划分为若干子区间,1,n,赋值：估计每个区间的似然率,(,i,),，据此作出直方图,变换：将直方图拟合为概率分布函数,F,(,x,)=,x,(),不足之处：,区间数,n,难以确定,似然率,(,i,),估计困难,F,(,x,),通常有较大的尾部误差,14,主观概率,先验分布估计：分位点法,区间对分法（分位点法）,-,连续型,确定事件不可能发生的临界状态取值（如某地区人口出生率不可能低于,9,，但也不可能超过,18,）；,求中位数：当状态取值为此值时，大于或小于此值的状态出现的概率相等（如某地区人口出生率的中位数为,12.5,）；,确定上下四分位点；,确定八分位点（一般仅取到八分位点）。,15,16,主观概率,先验分布估计：分布函数法,与给定形式的分布函数相匹配,（,最常用也容易滥用,）,Matlab,工具箱：,Statistics Toolbox / Probability Distributions,均匀分布,（连续型）,：如果随机变量落在某个区间,(,a,b,),中任意等长度的子区间内的可能性相等，则它服从均匀分布，均匀分布的概率密度函数为：,Matlab,函数：,unifpdf(x,a,b,),unifit(DATA),a,b,17,主观概率,先验分布估计：分布函数法,二项分布,：,(,离散型,),每次随机试验中事件,A,出现的概率为,p,，,n,次独立试验中事件,A,出现,k,次的概率服从二项分布：,Matlab,函数：,binopdf(k,n,p),binofit(k,n),泊松分布,：,(,离散型,),每次随机试验中事件,A,出现的概率为,p,，,n,次（,n,，但,n*p=,为常数）独立试验中事件,A,出现,k,次的概率服从泊松分布：,Matlab,函数：,poisspdf(k,), poissfit(DATA),18,19,主观概率,先验分布估计：分布函数法,正态分布（高斯分布）,：,(,连续型,),若连续型随机变量,的概率密度函数为,:,则称随机变量,服从参数为、,2,的正态分布,Matlab,函数：,normpdf(x,), normfit(DATA),。,参见相关统计学书籍，看看还有哪些分布函数可供选择使用？,20,21,22,2024年9月22日,2,、 随机性决策的效用函数,二,.,随机性决策的基本概念,22,23,2024年9月22日,2,、 随机性决策的效用函数,23,24,2024年9月22日,效用函数的定义：,2,、 随机性决策的效用函数,24,25,2024年9月22日,2,、 随机性决策的效用函数,25,26,2024年9月22日,2,、 随机性决策的效用函数,26,27,2024年9月22日,实际中的决策问题对决策人的决策往往是效益和风险并存。不同的决策人对待风险的态度可分为,厌恶型、中立型和喜好型。,3,、效用与风险的关系,二,.,随机性决策的基本概念,问题：,决策人对待这一风险的态度是什么呢？,27,28,2024年9月22日,3,、效用与风险的关系,厌恶型,:,决策人认为冒此风险的期望盈利只等价于比它低的不冒风险的盈利。,喜好型,:,对待风险的态度与厌恶型相反的。,中立型：,介于二者之间的，即决策人认为这和不冒任何风险的另一行为盈利,a,元等价。,这三种不同的态度可以反映在效用函数上就是,凹函数,，,线性函数,和,凸函数,。,28,29,2024年9月22日,3,、效用与风险的关系,29,30,2024年9月22日,实际中，有的效用函数曲线呈,S,型,，即在后果的范围内，决策人会从厌恶风险变为喜好风险。,3,、效用与风险的关系,(1),反映了决策人的财产从小到大，对待风险的态度从,喜好到厌恶,的改变。,(2),反映了决策人的财产从损失到盈利的增加，对待风险的态度从,喜好到厌恶,的变化。,30,31,2024年9月22日,4,、损失函数与风险函数的关系,二,.,随机性决策的基本概念,31,32,2024年9月22日,4,、损失函数与风险函数的关系,32,33,2024年9月22日,5,、,随机优势与效用函数,二,.,随机性决策的基本概念,随机优势法,:,在有价证券问题的研究中常用的一种在一定风险的情况下确定决策的方法。,随机优势法常用的效用函数有三种：,33,34,2024年9月22日,5,、,随机优势与效用函数,（）递增的效用函数,34,35,2024年9月22日,5,、,随机优势与效用函数,（）递增的效用函数,这种类型的效用函数仅能反映出财富与风险的关系，但不能反映出决策人对待风险的态度。,35,36,2024年9月22日,5,、,随机优势与效用函数,（）递增的凹效用函数,36,37,2024年9月22日,5,、,随机优势与效用函数,（）递增的凹效用函数,事实上，可以证明：,37,（,3,）递减的厌恶风险的效用函数,38,2024年9月22日,5,、,随机优势与效用函数,38,39,2024年9月22日,（,3,）递减的厌恶风险的效用函数,5,、,随机优势与效用函数,39,40,2024年9月22日,1,、问题的提出,三、案例分析：彩票中的数学问题,要解决的问题：,（,1,）根据所给方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。,（,2,）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票管理部门提出建议。,（,3,）给报纸写一篇短文，供彩民参考。,40,41,2024年9月22日,、问题的分析,三、案例分析：彩票中的数学问题,评价一个方案的优劣，或合理性如何，主要取决于彩票公司和彩民两方面的利益。,事实上，公司和彩民各得销售总额的,50%,是确定的，双方的利益主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比。,问题是怎样才能有利于销售额的增加？即公司采用什么样的方案才能吸引广大的彩民积极踊跃购买彩票？,41,42,2024年9月22日,问题涉及到一个方案的设置使彩民获奖的,可能性,有多大、,奖金额,有多少、,中奖面,怎样、各,奖项的设置,是否合理等因素，这些都对彩民的购买彩票的吸引力有产生一定的影响，在这里可用彩民的,心理曲线,来描述一个方案对彩民的,吸引力,。,另外，一个方案对彩民的影响程度可能与区域有关，即与彩民所在地区的经济状况以及收入和消费水平有关。,为此，要考查一个方案的合理性问题，需要综合考虑以上这些因素的影响，这是建立模型的关键所在。,2,、问题的分析,42,43,2024年9月22日,、模型的建立与求解,三、案例分析：彩票中的数学问题,问题（一）：,根据所给方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。,（,1,）彩民获各项奖的概率,43,44,2024年9月22日,3,、模型的建立与求解,（,2,）综合评价各种方案的合理性,44,45,2024年9月22日,3,、模型的建立与求解,45,46,2024年9月22日,综合（,1),和（,2,）式，利用,Matlab,编程计算出,29,种方案的合理性指标值及高项奖的期望值，排在前三位的如下表：,指 标,方 案,排 序,9,7/30,4.009,10,-7,1.08610,6,20679,1410,1,11,7/31,3.784,10,-7,1.70410,6,32448,2116,2,5,7/29,3.637,10,-7,7.55710,5,35984,1714,3,3,、模型的建立与求解,46,47,2024年9月22日,问题（,2,）,设计一种更好的方案,3,、模型的建立与求解,47,48,2024年9月22日,问题（,2,）设计一种更好的方案,48,49,2024年9月22日,问题（,2,）设计一种更好的方案,49,