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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,方阵的特征值与特征向量,1,本节主要内容,1. 方阵的特征值与特征向量；,2. 特征值与特征向量的求法；,3. 特征值与特征向量的性质.,2,方阵的特征值与特征向量,方阵的特征值和特征向量反映了矩阵的内在特征.,例如,定义：设 为 阶方阵，如果存在数 与非零向量 ，使得,则称数 是方阵 的,特征值,(Eigenvalue)， 为矩阵 的,对应于,特征值 的,特征向量,.,定义：设 为 阶矩阵，含有未知量 的矩阵 称为 的,特征矩阵,；,特征矩阵的行列式 为 的 次多项式，称为 的,特征多项式,；,称为 的,特征方程,；,特征方程的根称为 的,特征根,，就是 的特征值.,3,如果 是 的特征值，则对应的特征向量为齐次方程组,的非零解.求出了齐次线性方程组的通解，就得到对应的全部特征向量（要将零解去掉）.,求矩阵 的特征值与特征向量的步骤：,(1)解关于 的 次方程 得到 的所有特征值 ；,(2)对于每个特征值 ，求齐次线性方程组 的通解；从通解中去掉零向量，得到属于 的全部特征向量.,4,例题1：求矩阵,的全部特征值和特征向量.,例题2：求矩阵,的特征值值和特征向量.,思考：对角阵的特征值都是什么？零矩阵的特征值是什么？,5,思考：,所有基础解系中向量组成的向量组的线性相关性如何？,证明,（不作证明）,结论1：n阶方阵A与它的转置矩阵有相同的特征值.,结论2：设n阶方阵A有互不相同的特征值 ，而每个特征方程 的基础解系为,则,线性无关.,6,结论3：对于方阵A的不同特征值 ，各自取一个对应的特征向量 ，则 线性无关.,结论4：设n阶方阵 的特征值为 ，则,(1),(2),结论5：设A为n阶方阵， 为A的特征值，,则 是 的特征值.,（解释：根与系数的关系）,引论：若 为A的特征值，则 为 的特征值.,例如,7,例题4 证明：n阶矩阵是不可逆矩阵的充要条件是A至少有一个特征值为零.,例题3 设A是一个三阶方阵，其特征值为1，2，3，求,(1)A的主对角线上元素之和（称为,迹,）；,(2),(3),8,小结,1. 方阵的特征值与特征向量；,2. 特征值与特征向量的求法；,3. 特征值与特征向量的性质.,练习：P81习题三,3.5,3.6,3.7,9,作业,课本P80习题三,3.1（3）,3.2,3.3,10,因此2是矩阵的特征值， 为矩阵对应于2的特征向量,因此2是矩阵的特征值， 为矩阵对应于2的特征向量,因此2是矩阵的特征值， 为矩阵对应于2的特征向量,因此3是矩阵的特征值， 为矩阵对应于3的特征向量,因此3是矩阵的特征值， 为矩阵对应于3的特征向量,11,由定义知， 是 的特征值， 是对应于 的特征向量,等价于,与 满足,与 满足,方程组 有非零解,系数行列式为零,满足以 为未知数的方程,是方程 的解,等价于,等价于,等价于,等价于,等价于,返回,12,2是方阵 的特征根，则,（1）对于函数,因此1是方阵 的特征根,（2）对于函数,因此0是方阵 的特征根,（3）对于函数,因此7是方阵 的特征根,返回,13,
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