理论力学3—平面任意力系(11321)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第三章,-,平面任意力系,平面任意力系向作用面内一点的简化,平面任意力系的平衡条件和平衡方程,物体系统的平衡,静定和超静定问题,平面简单桁架的内力计算,1.,力线平移定理,定理,：,可以把作用在刚体上点,A,的力,F,平行移到任一点,B,，但,必须同时附加一个力偶,，这个附加力偶的矩等于原来的力,F,对新作用点,B,的矩。,力线平移定理的,逆步骤,，亦可把一个力和一个力偶合成一个力。,一、 平面任意力系向作用面内一点简化,A,B,M,A,B,F,F,F,F,A,B,F,力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力,+,力偶,力平移的条件是附加一个力偶,m,，且,m,与,d,有关，,m=Fd,力的平移定理是力系简化的理论基础。,说明：,O,x,y,i,j,O,O,x,y,F,1,F,2,F,n,F,1,F,2,F,n,M,n,M,2,M,1,M,O,F,R,2.,平面任意力系向一点简化,-,主矢与主矩,2.,平面任意力系向一点简化,-,主矢与主矩,平面汇交力系,力，,F,R,(,主矢，作用在简化中心,),平面力 偶 系,力偶，,M,O,(,主矩,，作用在该平面上,),平面任意力系,平面汇交力系,+,平面力偶系,向一点简化,其中,:,平面汇交力系的,合力,为,平面力偶系的合成结果为,平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系的,主矢,。,主矢,与简化中心的位置,无关,。,2.,平面任意力系向一点简化,-,主矢与主矩,原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系对简化中心的,主矩,。一般来说，,主矩,与简化中心的位置,有关。,2.,平面任意力系向一点简化,-,主矢与主矩,平面任意力系向作用面内任一点,O,简化，可得,一个力,和,一个力偶,。这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心,O,。这个力偶的矩等于该力系对于点,O,的主矩。,主矢,与简化中心的位置,无关，主矩,和简化中心的位置,有关。,3.,平面任意力系简化结果分析,四种情况：,（,1,）,F,R,0,，,M,O,0 ;,（,2,）,F,R,0,，,M,O,0 ;,（,3,）,F,R,0,，,M,O,0 ;,（,4,）,F,R,0,，,M,O,0,（,1,）平面任意力系简化为一个力偶的情形,原力系合成为合力偶。合力偶矩,M,等于原力系对简化中心的主矩。,此时,主矩,与简化中心的位置,无关。,F,4,F,1,F,2,F,3,A,B,C,D,四个力是否平衡？,F,R,0,，,M,O,0,（,2,）平面任意力系简化为一个合力的情形合力矩定理,如果主矩等于零，主矢不等于零，则,此时平面力系简化为,一合力，作用线,恰好,通过,简化中心。,如果主矢和主矩均不等于零，,此时还可进一步简化为一合力，但其作用线,不过,简化中心。,如图：,O,O,F,R,d,F,R,F,R,F,R,M,O,F,R,O,O,d,O,O,3.,平面任意力系简化结果分析,结论：,平面任意力系的,合力,对作用面内任一点的矩,等于,力系中,各分力,对,同一点的矩,的,代数和。,这就是平面任意力系的,合力矩定理,。,F,R,d,O,O,从图中可以看出,所以,由主矩的定义知：,3.,平面任意力系简化结果分析,例,1,在长方形平板的,O,，,A,，,B,，,C,点上分别作用着有四个力：,F,1,=1 kN,，,F,2,=2 kN,，,F,3,=,F,4,=3 kN,（如图），试求以上四个力构成的力系对,O,点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。,F,1,F,2,F,3,F,4,O,A,B,C,x,y,2m,3m,30,60,求向,O,点简化结果,解：,建立如图坐标系,xOy,。,F,1,F,2,F,3,F,4,O,A,B,C,x,y,2m,3m,30,60,所以，主矢的大小,1,.,求主矢,。,2,.,求主矩,M,O,主矢的方向：,y,O,A,B,C,x,M,O,F,1,F,2,F,3,F,4,O,A,B,C,x,y,2m,3m,30,60,最后合成结果,由于主矢和主矩都不为零，所以,最后合成结果是一个合力,F,R,。如图所示。,合力,F,R,到,O,点的距离,F,R,O,A,B,C,x,y,M,O,F,R,O,A,B,C,x,y,d,二、,平面任意力系的平衡条件和平衡方程,1.,平衡条件,平面任意力系平衡的必要与充分条件是：,力系的,主矢,和对任一点的,主矩,都等于,零,。即：,2.,平衡方程,即：平面任意力系平衡的解析条件是：,力系中所有各力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零,。上式称为,平面任意力系的平衡方程,。,由于,所以,二、,平面任意力系的平衡条件和平衡方程,(1),二矩式,其中,A,、,B,两点的连线,AB,不能垂直于投影轴,x,。,由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过,A,、,B,两点的一合力或处于平衡。再加第一条件，若,AB,连线不垂直于,x,轴,(,或,y,轴）,，则力系必平衡。,3.,平衡方程的其它形式,(2),三矩式,其中,A,、,B,、,C,三点不能在同一条直线上。,注意：,以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数,。,由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过,A,、,B,两点的一合力或处于平衡，再加第三条件，力系只能简化为过,A,、,B,、,C,三点的一合力或处于平衡，若三点不在同一直线上，则力系必平衡。,例,2,例,2,求图示梁的支座反力。,解：以梁为研究对象，受力如图。,解之，得：,A,B,C,P,a,b,q,m,A,B,C,P,q,m,R,B,R,Ay,R,Ax,例,3,：,简支梁受力如图，已知,F,300N,q,=100N/m,求,A,B,处的约束反力。,F,q,A,B,C,D,2m,2m,4m,解：简支梁受力如图所示：,代入（,1,）式,例,4,已知：,P,=20kN,m,=16kN,m,q,=20kN/m,a,=0.8m,。求：,A,、,B,的支反力。,解：研究,AB,梁,解得：,例,5,如图所示为一悬臂梁，,A,为固定端，设梁上受强度为,q,的均布载荷作用，在自由端,B,受一集中力,F,和一力偶,M,作用，梁的跨度为,l,，求固定端,A,的约束力。,A,B,l,q,F,M,2.,列平衡方程,3.,解方程,1.,取梁为研究对象，受力分析如图,解,：,A,B,l,q,F,M,q,A,B,x,y,M,F,F,Ay,M,A,l,F,Ax,例,3,例,6,悬臂吊车如图所示。横梁,AB,长,l,2.5 m,，重量,P,1.2 kN,，,拉杆,CB,的倾角,a,30,，质量不计，载荷,Q,7.5,kN,。求图示位置,a,2 m,时,拉杆的拉力和铰链,A,的约束反力。,例,3,解：取横梁,AB,为研究对象。,A,B,E,H,P,Q,S,B,R,Ay,R,Ax,a,a,从,(3),式解出,代入,(1),式解出,代入,(2),式解出,力的作用线在同一平面且相互平行的力系称,平面平行力系,。,平面平行力系作为平面任意力系的,特殊情况,，当它平衡时，也应满足平面任意力系的平衡方程，选如图的坐标，则,F,x,0,自然满足。于是平面平行力系的平衡方程为：,平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：,其中,AB,连线不能与各力的作用线平行。,4.,平面平行力系的平衡方程,F,2,F,1,F,3,F,n,例,7,已知：塔式起重机,P,=700kN,W,=200kN (,最大起重量,),，尺寸如图。求：保证,满载,和,空载,时不致翻倒，平衡块,Q,=,？ 当,Q,=180kN,时，求,满载,时轨道,A,、,B,给起重机轮子的反力？,限制条件：,解： 首先考虑,满载,时，起重机不,向右翻倒,的,Q,：,空载时，,W=0,由,限制条件为：,解得,因此保证空、满载均不倒，,Q,应满足如下关系：,解得,:,求当,Q,=180kN,，,满载,W,=200kN,时，,N,A,N,B,为多少？,由平面平行力系的平衡方程可得：,解得：,以上讨论的都是,单个物体的平衡问题,。下面就来介绍有关,物系,的平衡问题。,由若干个物体通过约束所组成的系统称为,物体系统,，简称,物系,。外界物体作用于系统的力称该系统的,外力,。系统内各物体间相互作用的力称该系统的,内力,。,当整个系统平衡时，系统内每个物体都平衡。反之，系统中每个物体都平衡，则系统必然平衡。而对于物体系统的平衡问题，其,要点,在于,如何,正确,选择研究对象,，一旦确定了研究对象，则计算步骤与单个物体的计算步骤完全一样。,因此，,当研究物体系统的平衡时，研究对象可以是,整体,，也可以是,局部,，也可以是,单个物体,。,三、 物系的平衡,下面举例讲解如何正确选择研究对象的问题。,N,A,N,B,例,8,图示的人字形折梯放在光滑地面上。重,P,800N,的人站在梯子,AC,边的,中点,H,，,C,是铰链，已知,AC,BC,2m,；,AD,EB,0.5m,， 梯子的自重不计。求地面,A,、,B,两处的约束反力和绳,DE,的拉力。,D,H,A,P,C,E,B,P,D,H,A,C,E,B,75,75,y,x,解：,（,1,）先取梯子,整体,为研究对象。受力图及坐标系如图所示。,由,M,A,（,F,）,0 ,得,：,N,B,（,AC,+,BC,）,cos75,P AC,cos75,2,0,解得,N,B,200,N,由,F,y,0,，,N,A,+,N,B,P,0,；解得,N,A,600N,N,B,（,2,）为求绳子的拉力，取其所作用的杆,BC,为研究对象。,受力图如图所示。,C,E,B,T,E,R,Cy,R,Cx,由,M,C,（,F,）,0,，得：,N,B,BC,cos75,T,E,EC,sin75,0,解得,T,E,=71.5N,T,D,=71.5N,12kN,R,C,R,By,R,Bx,q=3kN/m,12kN,A,B,C,D,6m,2m,2m,2m,B,C,2m,2m,R,BY,R,Bx,R,D,q=3kN/m,R,A,A,2m,6m,D,B,例,9,求图示结构的支座反力。,（,1,）受力分析，画物体系统的受力图和关键构件的受力图；,由,M,B,= 0,：,（,2,）选择,BC,杆为研究对象：,由,F,y,= 0,：,由,F,x,= 0,：,R,D,q=3kN/m,R,A,A,2m,6m,D,B,R,BY,R,Bx,由,Fy =,0,：,由,M,A,=,0,：,（,3,）选择,AB,杆为研究对象：,注意作用与反作用关系，所以：,例,4,例,10,组合结构如图所示，求支座反力和各杆的内力。,解：先,以,整体,为研究对象,，受力如图。,解之得：,a,a,a,b,D,A,C,E,F,B,q,1,2,3,D,A,C,E,F,B,q,1,2,3,S,D,R,Ax,R,Ay,S,1,S,2,S,3,C,x,y,45,例,4,再以,铰链,C,为研究对象，受力如图，建立如图坐标。,a,a,a,b,D,A,C,E,F,B,q,1,2,3,例,7,例,11 :,求图示结构固定端的约束反力。,解：先以,BC,为研究对象，受力如图。,再以,AB,部分,为研究对象，受力如图。,求得,C,B,q,F,A,M,b,a,a,R,B,M,C,B,R,C,R,B,F,Ay,q,F,B,A,M,A,F,Ax,在静力学中求解物体系统的平衡问题时，若未知量的数目,不超过,独立平衡方程数目，则由刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这类问题称为,静定问题,。若未知量的数目,多于,独立平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学理论无法求出，这类问题称为,静不定问题,或,超静定问题,。而总未知量数与总独立平衡方程数之差称为,静不定次数,。,四、 静定和超静定问题,静不定问题在,强度力学,（,材力,结力,弹力）中用,位移谐调条件,来求解,。,静定（未知数三个）,静不定（未知数四个）,判断各图的超静定次数,例,5,例,1,：求图示三铰刚架的支座反力。,解：先以,整体,为研究对象，受力如图。,可解得：,C,B,q,a,a,a,A,F,R,Ax,R,Ay,q,C,B,A,F,R,Bx,R,By,例,5,再以,AC,杆,为研究对象，受力如图。,解得：,R,Ax,R,Ay,R,Cx,R,Cy,A,F,C,C,B,q,a,a,a,A,F,例,9,例,2:,图示结构，各杆在,A,、,E,、,F,、,G,处均为铰接，,B,处为,光滑,接触。在,C,、,D,两处分别作用力,P,1,和,P,2,，且,P,1,P,2,500 N,，,各杆自重不计,，求,F,处的约束反力。,解：先以,整体,为研究对象，受力如图。,解得：,2m,2m,2m,2m,2m,2m,A,D,E,F,G,B,C,P,1,P,2,P,1,P,2,A,D,E,F,G,B,C,R,Ax,R,Ay,N,B,例,9,再以,DF,为研究对象，受力如图。,解得：,最后以,杆,BG,为研究对象，受力如图。,解得：,P,2,D,E,F,R,Ey,R,Fy,R,Fx,R,Ex,R,Gy,R,B,F,G,B,R,Gx,R,Fy,R,Fx,2m,2m,2m,2m,2m,2m,A,D,E,F,G,B,C,P,1,P,2,例,6,例,3,:,求图示多跨静定梁的支座反力。,解：先以,CD,为研究对象，受力如图。,再以,整体,为研究对象，受力如图。,C,B,q,2,2,F,A,D,1,3,R,Cx,R,Cy,R,D,q,F,R,Ax,R,Ay,R,D,R,B,q,解得,C,D,C,B,A,D,A,B,C,D,例,10,例,4:,三根等长同重均质杆,(,重,W,),如图在铅垂面内以铰链和绳,EF,构成正方形。已知：,E,、,F,是,AB,、,BC,中点，,AB,水平，求绳,EF,的张力。,解法一：,取,AB,分析，受力如图。不妨设杆长为,l,。,再以整体为研究对象，受力如图。,A,B,C,D,R,By,R,Bx,A,B,R,Ax,R,Ay,W,F,T,W,W,W,R,Ax,R,Ay,R,Dx,R,Dy,例,10,最后以,DC,为研究对象，受力如图。,联立求解,(1),、,(2),、,(3),得：,R,Cy,R,Cx,D,C,R,Dx,R,Dy,W,A,B,C,D,解法二：,先以,BC,为研究对象，受力如图。,再以,DC,为研究对象，受力如图。,R,Cx,R,Cy,R,Bx,R,By,B,C,W,F,T,A,B,C,D,联立求解,(,4,),、,(,5,),、,(,6,),即可的同样结果。,最后以,整体,为研究对象，受力如图。,A,B,C,D,W,W,W,R,Ax,R,Ay,R,Dx,R,Dy,例,11,例,6:,三无重杆,AC,、,BD,、,CD,如图铰接，,B,处为光滑接触，,ABCD,为正方形，在,CD,杆距,C,三分之一处作用一垂直力,P,，求铰链,E,处的反力,。,解：先以,整体,为研究对象，受力如图。,解得：,P,l,D,l,2,l,/3,C,A,B,E,P,D,C,A,B,E,R,Ax,R,Ay,N,B,E,P,D,2,l,/3,C,B,例,11,下面用,不同的方法,求铰链,E,的受力。,方法,1,：,先以,DC,为研究对象。,再以,BDC,为研究对象。,类似地，亦可以,DC,为研究对象，求,F,Dy,，再以,ACD,为研究对象求解。,P,D,2,l,/3,C,R,Dx,R,Dy,R,Cx,R,Cy,N,B,R,Ex,R,Ey,R,Cx,R,Cy,例,11,方法,2,：,分别以,ACD,和,AC,为研究对象。,联立求解以上两方程即得同样结果。,类似地，亦可以,BDC,和,BD,为研究对象，进行求解。,P,2,l,/3,D,C,A,E,R,Ex,R,Ey,R,Dx,R,Dy,R,Ax,R,Ay,C,A,E,R,Ax,R,Ay,R,Ex,R,Ey,R,Cx,R,Cy,例,11,方法,3,：,分别以,BD,和,AC,为研究对象，受力如图。,用,R,E,1,、,R,E,2,表示的约束反力和用,F,Ex,、,F,Ey,表示的约束反力本质上是同一个力。,C,A,E,R,Ax,R,Ay,R,Ex,R,Ey,R,E,2,R,E,1,D,B,E,R,Dx,R,Dy,R,E,2,R,E,1,N,B,例,12,例,7,：,两根铅直梁,AB,、,CD,与水平梁,BC,铰接，,B,、,C,、,D,均为光滑铰链，,A,为固定支座，各梁的长度均为,l,2 m,，受力情况如图所示。已知水平力,F,6 kN,，,M,4 kNm,，,q,3 kN/m,。求固定端,A,及铰链,C,的约束反力。,A,B,C,D,F,2,l,/3,l,/2,M,q,0,M,B,C,R,By,R,Bx,R,Cx,R,Cy,解,: (1),取,BC,分析,求得结果为负说明与假设方向相反。,例,12,(2),取,CD,分析,F,C,D,F,Cx,F,Cy,F,Dx,F,Dy,求得结果为负说明与假设方向相反。,A,B,C,D,F,2,l,/3,l,/2,M,q,0,例,12,M,q,0,F,Cx,F,Cy,F,Ay,M,A,F,Ax,B,C,A,(3),取,AB,、,BC,分析,求得结果为负说明与假设方向相反，即为顺时针方向。,A,B,C,D,F,2,l,/3,l,/2,M,q,0,A,B,E,D,a,x,1,2,3,4,E,A,C,B,D,例,13,例,8,：,编号为,1,、,2,、,3,、,4,的四根杆件组成平面结构，其中,A,、,C,、,E,为光滑铰链，,B,、,D,为光滑接触，,E,为中点，各杆自重不计。在水平杆,2,上作用一铅垂向下的力,F,，试证明无论力,F,的位置,x,如何改变，其竖杆,1,总是受到大小等于,F,的压力。,F,解：本题为求二力杆（杆,1,）的内力,F,A,1,或,F,C,1,。为此先取杆,2,、,4,及销钉,A,为研究对象，受力如图。,F,R,A,1,R,Ey,R,Ex,R,N,D,b,上式中,F,N,D,和,F,N,B,为未知量，必须先求得；为此再分别取整体和杆,2,为研究对象。,R,N,B,例,13,A,B,F,R,Ay,R,Ax,取整体为研究对象，受力如图。,R,N,B,x,a,1,2,3,4,E,A,C,B,D,b,取水平杆,2,为研究对象，受力如图。,代入（,a,）式得,F,A,1,为负值，说明杆,1,受压，且与,x,无关。,F,R,N,D,R,Cy,R,Cx,例,14,（,习题,3-32,）,F,2,F,1,A,B,C,D,4.5,4.5,3,4,2,2,例,9,：构架尺寸如图所示,(,尺寸单位为,m),，不计各杆件自重，载荷,F,1,=120 kN,F,2,=75 kN,。求,AC,及,AD,两杆所受的力。,F,2,F,1,A,B,C,S,CD,R,Ax,R,Ay,S,AD,解,：（,1,）,取三角形,ABC,分析，其中,A,、,C,处应带有销钉：,4,3,CD,杆受压力。,（教材参考答案是,87.5 kN),例,14,（,习题,3-32,）,F,2,F,1,A,B,C,D,4.5,4.5,3,4,2,2,F,1,B,C,F,Bx,F,By,F,CA,F,CD,（,2,） 取,BC,分析，注意在,C,处应带有销钉。,本章结束,