行列式克莱姆法则

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,11.2,行列式,一. 行列式的定义,1. 二阶行列式与三阶行列式,2. n阶行列式,二. 行列式的性质,三. 行列式按行（列）展开定理及其推论,四. 方阵乘积的行列式,五. 克莱姆法则,1,用消元法解二元线性方程组,一、二阶行列式的引入,2,方程组的解为,由方程组的四个系数确定,且为一个数.,3,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排,称列）的数表,定义,即,4,主对角线,次对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,5,二、三阶行列式,定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的,三阶行列式,.,6,(1)沙路法,三阶行列式的计算,.,列标,行标,7,(2)对角线法则,注意,红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三,元素的乘积冠以负号,说明1,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,8,2,.,三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为,负.,9,例,解,按对角线法则，有,10,例3,解,方程左端,11,补充定义一阶行列式为：,观察：有什么特点？,12,2. 类似地，定义四阶行列式为：,13,3.由归纳法，从上面可以看出，可以给出任意阶行列式的定义：,(1)（余子式的定义）设n-1阶方阵的行列式已经定义，对于n阶方阵,去掉A的第i行和第j 列，其余元素不动所构成的n-1阶方阵的行列式 称为,元素 的余子式,。,14,如：,解：,15,(2) n阶行列式|A|的定义：,规定n阶行列式|A|为下式的值：,记为,：,（也将|A|记为D或D,n,）。,也称之为行列式|A|按第一行的展开式。,16,例2.计算下列行列式 ：,解：按第一行展开有,17,结论：下三角行列式（或对角行列式）的值，等于它的主对角线上的元素的乘积。,18,二、行列式的性质,性质1,行列式与它的转置行列式相等.,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,说明,行列式中行与列具有同等的地位,因此行列,式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,19,例如,20,数乘行列式,等于数乘行列式的某一行(列）的所有元素。,21,证明,22,则,D,等于下列两个行列式之和：,例如,23,性质7,把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,24,例,二、应用举例,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,25,解,26,说明：利用性质7，可将行列式化为上三角行列式,27,所有列的元素之和相等,28,所有列的元素之和相等,29,三. 行列式按行（列）展开定理及其推论,n,阶行列式,|A|,的,元素 的余子式为 ，,令：,叫做 的代数余子式。,30,按第i 行展开,按第j 列展开,说明：利用此性质，可对行列式进行,降阶运算-称之为降阶法。,选取零元素较多的行（ 列）展开,定理1.3,n阶行列式|A|的值等于它的任一行,（列）的元素与其相应的代数余子,式乘积之和。,即：,31,例1,32,证,用数学归纳法,例2,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,33,n-,1阶范德蒙德行列式,34,推论,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,35,同理,相同,36,关于代数余子式的重要性质,37,例3,计算行列式,解,按第一行展开，得,38,例,计算行列式,解,39,四. 方阵乘积的行列式,定理两个n阶方阵A与B乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积，即|AB|=|A|B|,推论1 设A,1,， A,2,， A,m,是m个n阶方阵，则| A,1,A,2, A,m,|=| A,1,| A,2,| | A,m,|,定义11.9 如果|A|,0，则称,n阶方阵A为非奇异方阵，否则称为奇异方阵。,40,推论2 设A，B是两个n阶方阵，则AB为奇异方阵的充分必要条件是A，B中至少有一个是奇异方阵。,方阵A的行列式|A|的运算性质：,41,例4：,42,小结,(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).,计算行列式常用方法：(1)利用定义;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,行列式的6个性质,43,3. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,44,思考题,求第一行各元素的代数余子式之和,45,思考题解答,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,46,设线性方程组,则称此方程组为,非,齐次线性方程组,;,此时称方程组为,齐次线性方程组,.,非齐次与齐次线性方程组的概念,47,五、克莱姆法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,48,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程,组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解,可以表为,49,二、重要定理,定理1,如果线性方程组 的系数行列式 则 一定有解,且解是唯一的 .,定理2,如果线性方程组 无解或有两个不同的,解，则它的系数行列式必为零.,50,齐次线性方程组的相关定理,定理,如果齐次线性方程组 的系数行列式,则齐次线性方程组 没有非零解.,51,定理,如果齐次线性方程组,有非零解,则它,的系数行列式必为零.,有非零解.,系数行列式,52,例1,用克莱姆则解方程组,解,53,例2,用克莱姆法则解方程组,解,54,例3,问 取何值时，齐次方程组,有非零解？,55,解,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解.,56,