课件第十部分点估计

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十章 点估计,估计问题,估计方法,点估计的优良性,1,第十章 点估计,在实际问题中，经常遇到随机变量X（即总体X）的分布,函数的形式已知，但它的一个或者多个,参数,未知的情形，,此时写不出确切的概率密度函数.若通过简单随机抽样，得,到总体X的一个样本观测值，我们自然会想到利用这一组数,据来估计这一个或多个未知,参数,.诸如此类，利用样本去估,计总体未知,参数,的问题，称为,参数,估计问题.,参数,估计问题有两类，分别是点估计和区间估计.而,参,数,估计是,统计推断的一个重要组成部分，可以这样说统计,推断的基本问题可以分为两大类:,一是参数估计问题， 二,是假设检验问题,。,2,数理统计问题：如何,选取样本,来,对总体,的种种统计,特征,作出判断,。,参数估计问题：,知道,随机变量（总体）的,分布类型,，,但,确切的形式不知道,，,根据样本来估计总体的参数,，这,类问题称为,参数估计,（,paramentric estimation,）。,参数估计的类型,点估计、区间估计,3,第七章 点估计,参数估计,点估计,区间估计,估计未知参数的值,估计未知参数的取值范围，并使此范围包含未知参数的真值的概率为给定的值,4,设 是来自总体,的一个样本，所谓统计模,型，即样本的联合分布。由于样本是独立同分布,的故可一般地表述统计模型为：,第一节 点估计问题,设总体X的分布函数,F（x，,）,是已知的,，,是未知的分布参数,，,参数,的所有可能取值组成的集合称为参数空间，常用,表示，参数估计问题就是根据样本对上述未知参数做出估计。当,X,为离散时，,F（x，,）,为分布律；当X为连续时，,F,（,x，,）,为密度函数,5,第一节 点估计问题,例某种同型号产品个，其合格率,未知，对该批产品作质量检验，从中随机抽取件（,0,未知，从中随机抽取,n,支， 为其寿命，则统计模型为,其中 只取大于0的实数值,6,第一节 点估计问题,在统计模型(1)中，若知道,，就完全知道了总体的分,布，因此在模型,(1)下，统计推断的对象或者说各种统计,推断问题都是同这个未知参数,有关。,注意：,虽然,g,(,)已知的函数，但,未知，因而函数值,g,(,),是未知的,假设模型(1)及有一个同,有关的指标,，,=g(,) ,可以是向量值。我们的问题是：基于样本 ，估计,g,(,) 。,7,其中参数,(,2,),参数空间 ，估计对象是,中的一个分量,，令,g(,)=,，,是一个定义在,上的已知函数，问题是：基于 ，由此估计未知函数值g(,) .,第一节 点估计问题,例3,：,对某地区中学生做身高调查，假定身高,X,服从,正态分布N(,2,),其,2,中均未知，调查目的是为了了解该地区中学生的平均身高.今从中抽取,n,个人。测得其身高 ，由此估计平均身高,该问题的模型是:,n,X,X,X,2,1,L,8,第一节 点估计问题,例4(续例3),要在该地区中学生中挑选生排球队员,标准是其身高必须高于1.90m.问题是估计中选率,.,由正态分布性质,可将,表示成如下的的已知函,数形式:,其中 是标准正态分布函数,这个函数在未知参,数 处的值,正是要估计的对象.,9,第一节 点估计问题,点估计的思想方法：,设总体的分布函数的形式已知，但含有一或多个未知参数：。设为总体的一个样本，构造个统计量,随机变量,10,第一节 点估计问题,当测得样本值时，代入上述方程组，即,可得到个数：,数值,称数为未知参数的,估计值,对应统计量为未知参数的,估计量,统计估计沿用以下规则：若 的一个估计，则,的估计自动地被估计为 ，称这一规则为估计的自助程序。,11,的估计为 ,的估计为,S ,则的估计是,第一节 点估计问题,说明:,1.给出 ,等同于给出,的一种估计规则,(,估计程,序,), 有了观 察数据,如何算出估计值.,2.估计量不必唯一,同一参数可以构造不同的统计量用以估计.,因此有一个估计量好环的比较,评价估计量好环的准则.,例如在例4中,12,第二节估计方法,两种常用的构造估计量的方法：,一,.,矩估计法,定义：,用样本矩来代替总体矩,从而得到总体分布中参数的一种估计,.,这种估计方法称为,矩估计法,.,它的思想实质是用样本的经验分布和样本矩去替换总体的分布和总体矩,.,也称之为,替换原则,.,特点：,不需要假定总体分布有明确的分布类型。,矩估计法,极大似然估计法,13,第二节估计方法,设总体X具有已知类型的概率函数f(x;),=(,1,k,),是k个未知参数.(X,1,X,2,X,n,)是来自总体X的一个样本.假,若X的k阶矩,k,=E(X,k,)存在,则对于ik, E(X,i,)都存在,并且,是(,1,k,)的函数,i,(,1,k,).,得到含有未知参数(,1,k,)的k个方程.解这k个联立方程,组就可以得到(,1,k,)的一组解:,14,第二节估计方法,用上面的解来估计参数,i,就是矩估计法.,15,第二节估计方法,例:,设总体X服从泊松分布，参数未知，,是来自总体的一个样本，求参数的矩估计量.,解：,总体X的期望为,从而得到方程,所以的矩估计量为,16,110，184，145，122，165，143，78，129，62，,130，168,第二节估计方法,例5 设有一批同型号灯管,其寿命(单位：h),服从参数为,的指数分布，今随机抽取其中的,11,只，测得其寿命数据如下：,用矩估计法估计,值。,解：设X为灯管的寿命，则,的矩估计,已知n=11，,的观察值为,因而,的估计值为：,17,第二节估计方法,例,6 设总体X有均值和方差 ，今有6个随机样本,的观察数据为：-1.20,0.82,0.12,0.45,-0.85,-0.30,求和 的矩估计量.,解,:,参数 是二维的. 因为,18,第二节估计方法,例7 设 是来自(,1,2,) 上均匀分布样本,1,0未知,求,得极大似然估计,解:总体X的密度函数为：,似然,函数为：,因此只能求函数,L(,),得最大值点.,34,练习,第二节估计方法,解：,总体X服从参数为的指数分布，则有,所以似然函数为:,35,取对数,令,解得的极大似然估计值为,极大似然估计量为,36,第三节点估计的优良性,对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不,同,怎么判别出哪一个“更佳”呢？,应该选用哪一种估计量,?,用何标准来评价一个估计量的好坏,?,常用,标准,(1) 无偏性,(2) 有效性,(3) 相合性,37,估计量的评选标准,无偏性,定义,设 是参数 的一个估计量，若 成立，则称,是 的,无偏估计量。,如：设 是一随机变量， 是它的一个样本。,因为,所以样本均值是总体均值的无偏估计量。,38,第三节点估计的优良性,例,10 是总体均值,的无偏估计；样本方差,不是总体方差 的无偏估计。,证明：,而,所以是有偏估计.,考虑：,若使用修正样本方差,是不是无偏估计？,39,第三节点估计的优良性,例11 均匀分布R(0,)的参数,的极大似然估计 但不是,的无偏估计.,解:,40,第三节点估计的优良性,故X(n)的密度函数,41,例4 设总体,X,的密度函数为,证,故,是,的无偏估计量,.,为常数,与,都是,的无偏估计量.,证明,为,X,的一个样本,练习,42,令,即,故,n Z,是,的无偏估计量,.,练习,43,第三节点估计的优良,都是总体参数g(,),的无偏估计量, 且,则称 比 更有效.,定义,设,有效性,参数的无偏估计可以很多，如何在无偏估计中进行选择？直观的想法是希望该估计围绕参数真值的波动越小越好，波动大小可以用方差来衡量，因此人们常用无偏估计,的方差的大小来度量无偏估计优劣的标准，这就是有效性。,定义,44,第三节点估计的优良,故得,例 设总体,X,的密度函数为,哪个估计更有效？,为常数,与,都是,的无偏估计量.,所以,比,更有效,.,解,，,45,例6,设总体,X,，且,E,(,X,)=, ,D,(,X,)=,2,为总体,X,的一个样本,证明,是,的无偏估计量,(2) 证明,比,更有效,证,(1),(1) 设常数,46,(2),而,结论,算术均值比加权均值更有效,.,47,例如,X,N,(,2,) , (,X,1,X,2,) 是一样本,.,都是,的,无偏估计量,由上例结论,最有效,.,48,第三节点估计的优良,我们知道，点估计是一个统计量，因此它是一个随机,变量，在样本量一定的条件下，我们不可能要求它完全等,同于参数的真实值。但是随着样本容量的不断增大时，,与,g(,)越来越接近，以至于最后完全重合.,定义,设,是总体参数g(,),的估计量.,若对于任意的, ,当,n, 时,依概率收敛于,g(,),即,则称,估计量,具有,相合性,.,相合性估计量仅在样本容量,n,足够大时,才显示其优越性.,相合性,49,第三节点估计的优良,相合估计量的意义在于：只要样本容量足够大，就可以,使相合估计量与参数真实值之间的差异大于的概率足够,地小，也就是估计量可以用任意接近于的概率把参数真,实值估计到任意的精度.,相合性是点估计的大样本性质，指的是：这种性质是针,对样本容量 而言，对于一个固定的样本容量n，相,合性是无意义的.,与此相对，无偏性和有效性的概念是对固定的样本而,言，不需要样本容量趋于无穷，这种性质也称为“小样本,性质”.,50,第三节点估计的优良,例12 设总体有正态分布 则修正样本方差,是 的相合估计。,证明：,因为,由切比雪夫不等式得,结论得证.,证明相合性只需证明,51,证明 是,的无偏、有效、相合估计量.,练习,52,