非线性系统和采样控制系统

,第二级,第三级,第四级,第五级,第七章 非线性系统的分析,线性控制系统：,由线性元件组成，输入输出间具有叠加性，由线性微分方程描述。,非线性控制系统：,系统中有非线性元件，输入输出间不具有叠加性，,由非线性微分方程描述。,一、非线性系统基本概念,非本质非线性:,能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。,本质非线性,用小偏差线性化方法不能解决的非线性。,输入,输出,1、死区特性,（不灵敏区特性）,特征：,当输入信号在零值附近变化时，系统没有输出。当输入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关系。,测量、放大元件的不灵敏区；调节器和执行机构的死区等等。,对系统性能的影响：,死区非线性特性导致系统产生稳态误差，且用提高增量的方法也无法消除。,二、典型非线性特性,特征,：,当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。,输入,输出,放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、功率限制等等。,2、饱和特性,饱和特性对系统性能的影响：,使系统在大信号作用下开环增益下降，因而降低了稳态精度。,输,出,输入,3、间隙特性（回环）,输入输出之间具有多值关系,齿轮传动中的齿隙、,铁磁元件的磁滞现象等。,间隙特性对系统性能的影响：,间隙,输出相位滞后，减小稳定性裕量，动态特性变坏,输入,输出,输出,输入,输出,输入,输出,输入,4、继电器特性,理想继电器,具有饱和死区的,单值继电器,具有滞环的继电器,具有死区和滞环的继电器,包含有死区、饱和、滞环特性,继电器特性对系统性能的影响,带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性的综合效果,三、非线性系统的特点,、系统的稳定性,、系统的自持振荡,、频率响应畸变,非线性系统的稳定性不仅与系统的结构参数有关，而且与初始状态有关。,非线性系统,即使无外界作用，也可能会发生,某一固定振幅和频率的振荡，称为,自持振荡。,非线性系统在输入为正弦函数时，输出为包含一定数量的高次谐波的非正弦周期函数。,对非线性系统分析研究的重点是,：,（1）系统是否稳定；,（2）有无自持振荡；,（3）若存在自持振荡，确定自持振荡的频率和振幅；,（4）研究消除或减弱自持振荡的方法。,线性系统分析可用叠加原理，在典型输入信号下系统分析的结果也适用于其它情况。,非线性系统不能应用叠加原理，没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。,相平面法是一种通过图解法求解,二阶非线性系统,的准确方法。,四、分析非线性系统的方法：相平面分析法、谐波平衡分析法,1、相平面分析法,描述二阶系统的二阶微分方程可以用两个一阶微分方程描述：,以,x,1,为横轴，以,x,2,为纵轴的二维状态平面称为,相平面,。,当,t,变化时，,x,1,(,t,)对于,x,2,(,t,)在相平面上形成的运动轨迹称为相平面轨迹，简称,相轨迹,。,相轨迹的斜率为不定值的点称为,奇点,。奇点也必然是,平衡点,。,描述函数是非线性特性的一种线性近似表示。,用描述函数后，非线性系统可近似视为线性系统，用线性系统理论去分析，甚至设计。,非线性特性的一种线性近似表示,描述函数,考虑一非线性环节,N,，其输入为,x,(,t,)，输出为,n,(,t,)。描述函数法：,找出一个线性函数,y,(,t,)去逼近,n,(,t,)，并且要求按照均方误差最小的准则衡量，这种逼近是最佳的。,2、谐波平衡分析法,针对一任意非线性系统，设输入,x,=,X,sin,t,，输出为,n,(,t,),，则可以将,n,(,t,),表示为傅立叶级数形式：,如果非线性环节,N,的特性是对称的，则,A,0,=,0,。,非线性特性的线性化表示方法：,以输出,n,(,t,)的基波分量近似地代替整个输出。,亦即略去输出的高次谐波，将输出表示为,一般高次谐波的振幅小于基波的振幅，因而为进行近似处理提供了可靠的物理基础。,描述函数,：,输入为正弦函数时，输出的基波分量与输入正弦量的复数比。,输入：,x,(,t,),=,X,sin,t,输出的基波分量：,描述函数,：,系统开环部分可分离为：,非线性环节,N,(,A,),线性部分,G,(,s,),非线性特性的,描述函数,表示了正弦输入信号作用下，输出信号的基波分量与输入信号之间在幅值和相位上的相互关系，也就是,包含有等效增益及等效相移两方面的信息,。,谐波平衡分析法：,谐波平衡法：,应用描述函数所提供的信息去分析非线性系统的性能。,非线性系统的特征方程为,即：,称 为描述函数的负倒幅相特性。,如果满足上式，表示 与 有交点，此时非线性系统将出现自持振荡。,将非线性的负倒幅特性和线性部分的极坐标图绘制在一个复平面中，根据二者的相对位置可分析非线性系统的稳定性。,一、非线性系统稳定,三、非线性系统产生自持振荡,图示系统在a点产生稳定的自持振荡。由交点可确定自持振荡的频率和幅值。,二、非线性系统不稳定,一、控制系统中的信号分类,1、模拟信号,信号是时间的连续函数,2、采样信号（离散信号）,信号是时间上的离散序列,3、数字信号,信号是时间上、幅值上离散序列,第八章 采样控制系统,二、控制系统分类,1、连续系统,2、采样系统,3、计算机控制,系统,采样周期：,是一个非常重要、特殊的参数，会影响系统的,稳定性、稳态误差、信号恢复精度！,三、连续系统与采样控制系统,相同点：,1、采用反馈控制结构（闭环控制）；,2、系统分析的内容,：稳定性、暂态性能和稳态性能；,3、系统性能不满足要求时需进行校正。,不同点：,信号的形式（采样器、保持器）,采样控制系统的优点：,高精度、高可靠、有效抑制干扰、,良好的通用性,第一节 采样过程及采样定理,一、采样过程,按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其变换为时间上离散的脉冲序列的过程称为,采样过程。,采样开关是用来实现采样过程的装置。,采样开关按周期T闭合，T称为采样周期。每次闭合时间为 ，由于在实际中总有 ，且 远小于系统中连续部分的时间常数，因此可近似认为 。,采样过程可以看成是脉冲调制过程,采样信号 是 和 的乘积，其中载波信号 决定采样时刻，它是周期为T的单位脉冲序列，采样信号在nT(n=0,1,2)时刻的值由,决定。,t,0,t,0,t,0,1,T,2T,2T,T,二、采样定理（SHANON定理）,能够将采样后的离散信号无失真地恢复为原来的连续信号的条件是：,采样定理给出了选择采样周期T的依据。,第二节 保持器,信号的复现：,把采样信号恢复为原来的连续信号称为信号的复现。,实现方法：,理想滤波器,实际使用的方法：,保持器,保持器,零阶保持器（恒值外推）,一阶保持器（线性外推）,一、零阶保持器,零阶保持器的输入输出信号,主要特点：,1、输出信号是阶梯波，含有高次谐波。,2、相位滞后。,恒值外推：将前一采样时刻的值，保持到下一个采样时刻。,二、一阶保持器,一阶保持器是一种按照线性规律外推的保持器。,一阶保持器与零阶保持器比较,1、一阶保持器幅频特性的幅值较大，高频分,量也大。,2、一阶保持器相角滞后比零阶保持器大。,3、一阶保持器的结构更复杂。,一阶保持器实际很少使用。,第四节 Z变换,Z变换的定义,对其进行拉氏变换：,采样信号：,令 ，则,F,(,z,),称为采样函数 的,z,变换。,采样函数 对应的,Z,变换是唯一的。,Z,变换只适用于离散函数，因为它只表征了连续函数在采样时刻的特性。,Z反变换表示为,用查表方法可得到函数 的,Z,变换。,常用函数的Z变换,第五节 脉冲传递函数,脉冲传递函数的定义：,采样系统的离散输出信号,线性离散系统中，在零初始条件下，系统输出采样信号的,Z,变换与输入采样信号,Z,变换之比，称为系统的脉冲传递函数。,脉冲传递函数的物理意义：,采样系统的脉冲传递函数是系统单位脉冲响应g(t)经采样后离散信号的,z,变换，即,第六节 采样系统的稳定性分析,一、,S,域到,Z,域的映射,根据,Z,变换定义，有,在,Z,平面上，上式表示单位圆,可见S平面上的虚轴，映射到Z平面，是以原点为圆心的单位圆，且左半S平面对应单位圆内的区域。,二、线性采样系统稳定的充要条件,设采样系统的闭环脉冲传递函数为,系统特征方程为,线性采样系统稳定的充要条件是：,闭环系统的全部特征根均位于Z平面的单位圆内，即满足,三、用劳斯判据判定采样系统的稳定性,首先要通过双线性变换,将Z平面的单位圆映射到W平面的虚轴，然后在W平面中应用劳斯判据。,例：求使系统稳定的K值范围。,解：1、求系统的开环脉冲传递函数,查表得：,2、特征方程为,3、对特征方程进行双线性变换，代入T=0.25s,整理得：,4、应用劳斯判据，劳斯表为：,根据劳斯判据，为使采样系统稳定，应有2.736-0.1580，得使系统稳定的K值范围是0K0。对于二阶线性采样系统，当K大于某一值，系统将不稳定，可见，,加入采样开关，对系统的稳定性不利，如果提高采样频率，稳定性将得到改善。,