理论力学动静法

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第九章 达兰贝尔原理,1,动力学普遍定理，是解决动力学问题的普遍方法，在一定条件下也是简捷而有效的方法。,本章介绍解答动力学问题的另一种方法,达兰贝尔原理,或译为,达朗伯原理,。应用这一原理，就将动力学问题从形式上转化为静力学问题，从而根据关于平衡的理论来求解。这种解答动力学问题的方法，因而也称,动静法,。,动力学,2,9-1惯性力的概念,人用手推车,动力学,力 是由于小车具有惯性，力图保持原来的运动状态，对于施力物体(人手)产生的反抗力。称为小车的,惯性力,。,定义：质点惯性力,加速运动的质点，对迫使其产生加速运动的物体的惯性反抗的总和。,3,动力学,惯性力作用在使质点产生加速度的其他施力物体上。,大小：,F,J,= ma,方向：与 相反,按不同坐标系，惯性力可分解为：,切向惯性力,法.,4,动力学,这就是,质点的达兰贝尔原理。,9-2达兰贝尔原理,非自由质点,M,，质量,m,，受主动力 ， 约束反力 作用， 、 的 合力为,由牛顿第二定律：,假象地将 作用在M上，则,即：,一、质点的,达兰贝尔原理,5,动力学,该方程对动力学问题来说只是形式上的平衡，并没有改变动力学问题的实质。采用动静法解决动力学问题的最大优点，就是可以利用静力学提供的解题方法，给动力学问题一种统一的解题格式。也就是：,对于动力学问题，假想地加上惯性力，就可以用平衡方程求解,。,6,动力学,例1,列车在水平直线轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度,，相对于车厢静止。求车厢的加速度 。,7,动力学,研究对象：单摆的摆锤,虚加惯性力,角随着加速度 的变化而变化，当 不变时，,角也不变。只要测出,角，就能知道列车的加速度 。摆式加速计的原理。,解：,得,方向与 相反,8,动力学,对整个质点系，,如果在每一个质点上都假象地加上惯性力，则主动力系、约束反力系、惯性力系在形式上构成平衡力系,。这就是,质点系的达兰贝尔原理,。可用方程表示为：,设有一质点系由,n,个质点组成，对任一质点，虚加惯性力，则有,二、质点系的,达兰贝尔原理,对于每一个研究对象，平面问题有三个平衡方程，空间问题有六个平衡方程。,9,动力学,9-3 刚体惯性力系的简化,一般质点系，在应用动静法是，可在每一质点上虚加相应的惯性力，但对于刚体这样由无穷多质点组成的质点系，则不可能逐个质点虚加惯性力。怎么办？可以采用静力学中的力系简化的理论，求出各质点惯性力所组成的惯性力系的主矢和主矩，来代替惯性力系。这样，在刚体上虚加了惯性力系的主矢和主矩，就相当于在刚体上的各个质点上虚加了惯性力。,10,动力学,一、刚体作平动,惯性力系向质心,C,简化：,故刚体平动时惯性力系合成为一过质心的合惯性力。,11,动力学,空间惯性力系平面惯性力系（质量对称面）,O,为转轴,z,与质量对称平面的交点，,向,O,点简化,：,主矢：,主矩：,二、定轴转动刚体,设刚体具有垂直于转轴的质量对称平面。,O,直线,i,： 平动， 过,M,i,点，,12,动力学,即： 向,O,点简化：,作用在,O,点,作用在,C,点,若向质心C简化，同理可得,实际应用时可将惯性主矢分解,：,13,动力学,讨论：,若=0，转轴不通过质点,C,，向转轴简化，则,若转轴过质点,C,，且,0，则,若=0,且转轴过质心C，则,14,动力学,假设刚体具有质量对称平面，并且平行于该平面作平面运动。此时，刚体的惯性力系可先简化为对称平面内的平面力系。,刚体平面运动可分解为,随基点（质点C）的平动：,绕通过质心轴的转动：,三、刚体作平面运动,作用于质心C,无论刚体作什么运动，惯性力系主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反,。,15,动力学,*例1,均质杆长,l,质量,m, 与水平面铰接, 杆由与平面成,0,角位置静止倒下。求开始倒下时杆,AB,的角加速度及,A,点支座反力。,（1）研究对象：杆,AB,（2）受力图,（3计算惯性力系的主矢、主矩,将惯性力系向A点简化：,解,：,16,动力学,（4）选轴及矩心建立平衡方程求解,17,动力学,用动量矩定理+质心运动定理再求解此题：,解,：选,AB,为研究对象,由,得：,由质心运动定理：,18,动力学,*例2,牵引车的主动轮质量为,m,，半径为,R,，沿水平直线轨道滚动，设车轮所受的主动力可简化为作用于质心的两个力 及驱动力偶矩,M,，车轮对于通过质心,C,并垂直于轮盘的轴的回转半径为,，轮与轨道间摩擦系数为,f, 试求在车轮滚动而不滑动的条件下，驱动力偶矩,M,之最大值。,取轮为研究对象,虚加惯性力系：,解：,则：,19,动力学,由(1)得,由(2)得,N= P +S,，要保证车轮不滑动，,必须,F,f N,=,f,(,mg,+,S,) (5),可见，,f,越大越不易滑动。,M,max,的值为上式右端的值。,把(5)代入(4)得：,20,动力学,根据动静法，可以用静力学平衡方程的形式来建立动力学方程。应用动静法既可求运动，例如加速度、角加速度；也可以求力。,应用动静法可以利用静力学建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意选取，二矩式，三矩式等等。因此当问题中有多个约束反力时，应用动静法求解它们时就方便得多。,动静法的应用,21,动力学,选取研究对象,。原则与静力学相同。,受力分析。,画出全部主动力和外约束反力。,运动分析。,主要是刚体质心加速度，刚体角加速度，,标出,方向。,应用动静法求动力学问题的步骤及要点：,虚加惯性力。,在受力图上画上惯性力和惯性力偶，一定要,在 正确进行运动分析的基础上。熟记刚体惯,性力系的简化结果。,22,动力学,列动静方程。,选取适当的矩心和投影轴。,建立补充方程。,运动学补充方程（运动量之间的关系）。,求解未知量。,注意,的方向及转向已在受力图中标出，建立方程时，只需按 计算即可,。,23,动力学,例1,质量为,m,1,和,m,2,的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为,r,1,和,r,2,并装在同一轴的两鼓轮上，,已知两鼓轮对于转轴,O,的转动惯量为,J,，,系统在重力作用下发生运动，,求鼓轮的角加速度及O处反力。,取系统为研究对象,解：,方法1 用动静法求解,24,动力学,虚加惯性力和惯性力偶：,则：,列补充方程：,重物1：,重物2：,轮：,25,动力学,x,y,26,动力学,方法2 用动量矩定理求解,根据动量矩定理：,取系统为研究对象,27,动力学,取系统为研究对象，任一瞬时系统的,两边除以,dt,，并求导数，得,方法3 用动能定理求解,方法2、3须用质心运动定理求O处反力,28,动力学,例2,在图示机构中，,均质圆柱体A、O重分别为,P,和,Q,，半径均为,R,，A作纯滚动。,绳子不可伸长，其质量不计，斜面倾角,，如在,O上作用一常力偶矩,M,， 试,求：(1),圆柱体,O的角加速度？,(2)绳子的拉力？,(3),轴承,O处的反力？,(4),圆柱体,A与斜面间的摩擦力,（不计滚动摩擦）？,29,动力学,解,：,（1）,取轮,O,为研究对象，虚加惯性力偶,列平衡方程：,（2）取轮,A,为研究对象，虚加惯性力 。,30,动力学,列出平衡方程：,运动学关系： ，,将 及运动学关系代入到(1)和(4)式并联立求解得：,31,动力学,代入(2)、(3)、(5)式，得：,32,动力学,方法2 用动力学普遍定理求解,(1) 用动能定理求鼓轮角加速度。,取系统为研究对象,两边对,t,求导数：,33,动力学,(2),用动量矩定理求绳子拉力,（定轴转动微分方程）,取轮,O,为研究对象，由,J,o,e,=M,O,e,得,(3),用质心运动定理求解轴承,O,处支反力,取轮,O,为研究对象，根据质心运动定理：,34,动力学,(4),用刚体,平面运动微分方程,求摩擦力,取圆柱体,A,为研究对象，,根据刚体平面运动微分方程,方法3：用动能定理求鼓轮的角加速度,用达朗伯原理求约束反力,（绳子拉力 、轴承,O,处反,力 和 及摩擦力 ）。,35,动力学,例3,均质圆柱体重,P,，半径,R,，自,O,点无滑动地沿倾斜板由静止开始滚动。板与水平成,角,，试求,OA,=,S,时板在,O,点的约束反力。板重略去不计。,解,：圆柱体作平面运动，设其质心加速度为,a,，虚加惯性力,P,（1）取圆柱体为研究对象：,36,动力学,（2）取系统体为研究对象：,37,动力学,解,：绕线轮作平面运动,由,将,F,J,、,M,O,J,代入上式，可得,例4,绕线轮重,P,，半径为,R,及,r,，对质心,O,的回转半径为,，且,2,=Rr,，,轮在常力,作用下作纯滚动， 已知,，不计滚阻，求：(1)轮心的加速度；(2)分析轮纯滚动的条件。,38,动力学,纯滚动的条件：,F,f N,39,动力学,解,：BD作平动，A相对于BD不动，所以：,例5,重W,2,的板BD由两根等长且平行的细绳悬挂，板上放置重W,1,且不计大小的物块A。系统从图示位置无初速开始运动，求此瞬时A物不在BD 上滑动的接触面的静摩擦系数。,（1）以物A及BD为研究对象：,x,将,F,A,J,、,F,C,J,代如得,a,C,= g sin,40,动力学,（2）以物A为研究对象：,A在BD上不滑动，必须,FfN,，,41,动力学,解,（1）,以AB为研究对象：,设其质心加速度为,a,C,、角加速度为,e,AB,，则,例6,图示系统，均质杆AB：,m,1,=2,m,，,l,；均质圆轮：,m,2,=2,m,，,r,；物体G：,m,3,=,m,。系统开始静止，AB水平。求A端绳突然断开的瞬时物体G和杆AB质心的加速度及O处反力。,42,动力学,（2）以物体G及轮O为研究对象：,设物体G的加速度为,a,G,、轮O的角加速度为,e,O,，虚加惯性力：,运动学关系：,43,动力学,将各惯性力及运动学关系代入（1）（5）式联立解得：,44,动力学,例7,. 图示机构位于,水平面,。已知：均质杆,AD,：,m,；,均质杆,AB,：,L,，2,m,；,套筒,E,至,AD,杆距离为,L/,2。,系统初始静止,，且,AE,=5,L/,8。,求当,AD,杆突然受到,向右的力,F,作用时,，,AB,杆,的,角加速度,e,及,套筒,E,对,AB,杆在水平面内,的约束反力,。不计套筒质量及各处摩擦。,解：,AD,杆作平动，,AB,杆作平面运动,（1）分析加速度,（a）以,E,及,AB,为研究对象，以套筒,E,为动点，,AB,为动系,a,a,=0，,a,c,=0（图示瞬时,w,AB,=0）,45,动力学,（b）以,AB,为研究对象，设,e,。以,E,为基点，则,沿,AB,， 也就是 沿,AB,。,（c）以,AB,为研究对象，以,A,为基点，则,46,动力学,（2）虚加惯性力,47,动力学,（3）以,AB,为研究对象,将惯性力代入，得：,48,动力学,（4）以整体为研究对象,将惯性力代入，得：,联立解得：,（ ）,49,动力学,1,. 物体系统由质量均为,m,的两物块,A,和,B,组成，放在光滑水平面上，,物体,A,上作用一水平力,F,，试用动静,法说明,A,物体对,B,物体作用力大小是,否等于,F,？,思考题：,解：,50,动力学,解：,2,. 质量为,M,的三棱柱体,A,以加速度 向右移动，质量为,m,的滑块,B,以加速度 相对三棱柱体的斜面滑动，试问滑块,B,的惯性力的大小和方向如何？,51,动力学,3,. 匀质轮重为,P,，半径为,r,，在水平面上作纯滚动。某瞬时角速度,，角加速度为,，求轮对质心,C,的转动惯量，轮的动量、动能，对质心的动量矩，向质心简化的惯性力系主矢与主矩。,解：,52,动力学,本章结束,53,